Vidéo pop :: Divergence et Rotationnel : Le langage des équations de Maxwell, de l’écoulement des fluides et plus encore

Transcription de la vidéo

Aujourd’hui, vous et moi allons découvrir la divergence et le rotationnel, deux idées centrales du calcul vectoriel. Mais si vous me le permettez, cela vaut la peine de parler un peu de la trajectoire d’écriture qui m’a conduit ici. À l’origine, j’avais commencé à faire cette vidéo pour faire suite à la dernière, sur les différentes manières de penser à la dérivée. À savoir, cela allait être une vue de ce que cela signifie pour une fonction complexe d’avoir un dérivé.

Maintenant, ces fonctions sont intéressantes une fois que vous les connaissez. Mais jusque-là, les mots « dérivée complexe » ne sont pas exactement le meilleur moyen de retenir l’attention d’un nouvel apprenant. Je voulais donc centrer mon propos sur un exemple de motivation tangible indiquant où ces fonctions apparaissent. Et celui qui est assez intéressant et amusant d’illustrer est qu’une certaine représentation d’une fonction très simple, 𝑧 plus un divisé par 𝑧, peut être considérée comme donnant un modèle idéalisé pour l’écoulement du fluide autour d’un cylindre. Je vais expliquer ce que je veux dire par là pleinement plus tard.

Mais en un mot, ces lignes de grille déformées représentent l’endroit où les parties réelles et imaginaires de la sortie restent constantes. Et ce qui en résulte est que les lignes horizontales montrent ces lignes de courant pour l’écoulement autour d’un cylindre. Et ce flux est rapide dans les régions où les lignes verticales sont plus rapprochées et lent dans les régions où ces lignes verticales sont plus éloignées. Donc c’est plutôt intéressant. Mais ce qui est plus amusant est que si vous translatez et modifiez l’échelle de cette configuration de manière appropriée et appliquez la même fonction simple, 𝑧 plus un divisé par 𝑧, à tout. Ce que vous obtenez maintenant est un modèle simplifié pour l’écoulement autour de cette figure qui ressemble à une lame d’air. Intriguant, non ?

Et plus encore, cette même grille déformée originale a également une interprétation physique complètement différente. Imaginez que vous ayez un champ électrique uniforme, dirigé vers le haut. Cela signifie que cela pousserait les particules chargées positivement vers le haut et attirerait les particules chargées négativement vers le bas. Si vous mettez du fil de cuivre dans ce champ, avec une section transversale circulaire. Ensuite, en supposant que les charges dans ce fil sont libres de se déplacer, les charges négatives vont s’accumuler d’une certaine manière vers le fond, laissant le haut généralement chargé positivement. Et cela entraînera une modification du champ électrique autour du fil.

Maintenant, ces mêmes lignes horizontales gondolées que celles décrites précédemment pour le flux idéalisé autour d’un cylindre se trouvent être exactement les lignes de potentiel électrique pour ce nouveau champ. En d’autres termes, le passage d’une de ces lignes à une ligne adjacente correspond à une chute de tension constante. Maintenant c’est cool, non ? Parce que cela soulève beaucoup de bonnes questions. Qu’est-ce que le flux de fluide idéalisé a à voir avec le potentiel électrique ? Et qu’est-ce que ces deux éléments ont à voir avec les nombres complexes ?

Si vous voulez comprendre ce qui se passe ici, vous devez être à l’aise avec deux idées centrales du calcul vectoriel : la divergence et le rotationnel. Maintenant, pour moi, en écrivant cela, le glissement du sujet s’est finalement transformé en une sorte de division de sujets car la section donnant les fondements apparaît dans une autre vidéo. Et bien, nous y sommes maintenant. Quoi qu’il en soit, vous vous demandez peut-être pourquoi je passe vos précieuses minutes et mes précieuses heures à vous en parler, plutôt que de simplement passer directement au sujet.

Eh bien, les sujets individuels ont tendance à être moins éclairants que les liens qui les unissent. Et en apprendre davantage sur la divergence et le rotationnel risque de donner l’impression d’être arbitraire si c’est une chose que vous faites avec les produits dérivés. Mais il y a quelque chose de plus exaltant lors de l’apprentissage, si, dès le départ, vous êtes conscient de la portée de ces idées.

Pour nous assurer que nous sommes tous sur la même longueur d’onde, commençons par parler des champs de vecteurs. En gros, un champ de vecteur est ce que vous obtenez si vous associez chaque point de l’espace à un vecteur, d’une certaine norme et avec une direction. Peut-être que ces vecteurs représentent les vitesses de particules de fluide en chaque point de l’espace. Ou peut-être représentent-ils la force de gravité en différents points de l’espace, ou peut-être une force de champ magnétique.

Note rapide pour les dessiner. Souvent, si vous dessiniez les vecteurs à l’échelle, les plus longs finissent par encombrer le tout. Il est donc courant de mentir un peu et de raccourcir artificiellement ceux qui sont trop longs, en utilisant peut-être des couleurs pour donner une vague impression de longueur.

En principe, les champs de vecteurs en physique pourraient varier avec le temps. Dans presque tous les écoulements de fluide du monde réel, les vitesses de particules dans une région donnée de l’espace changeront avec le temps en fonction du contexte environnant. Le vent n’est pas une constante. Cela vient en rafales. Un champ électrique change lorsque les particules chargées qui le caractérisent se déplacent. Mais ici, nous allons simplement nous intéresser aux champs de vecteurs statiques, que vous pouvez peut-être qualifier de décrivant un système à l’état stationnaire.

En outre, bien que ces vecteurs puissent en principe être tridimensionnels, voire supérieurs, nous allons simplement l’étudier en deux dimensions. Une idée importante qui passe souvent inaperçue est que vous pouvez souvent comprendre un champ de vecteurs qui représente mieux un phénomène physique en imaginant ce qu’il représente si un phénomène physique est différent. Et si ces vecteurs décrivant la force gravitationnelle définissaient plutôt un écoulement de fluide ? À quoi ressemblerait ce flux ? Et que peuvent nous dire les propriétés de cet écoulement sur la force gravitationnelle initiale ? Et si les vecteurs définissant un écoulement de fluide décrivaient la direction de la descente d’une colline donnée ? Est-ce qu’une telle colline existe même ? Et si oui, que nous dit-il sur le flux initial ?

Ce genre de questions peut être étonnamment utile. Par exemple, les notions de divergence et de rotationnel sont particulièrement comprises lorsque le champ de vecteurs représente un écoulement de fluide, même si le champ que vous regardez est vraiment destiné à décrire autre chose, comme un champ électrique. Ici, jetez un coup d’œil à ce champ de vecteurs et imaginez que chaque vecteur décrit la vitesse d’un fluide à cet endroit.

Notez que lorsque vous faites cela, ce fluide se comporte de manière non physique très étrange. Autour de certains points, comme ceux-ci, le fluide semble surgir du néant, comme s’il y avait une sorte de source. Certains autres points agissent plus comme des éviers, où le fluide semble disparaître dans le néant. La divergence d’un champ de vecteurs en un point particulier du plan vous indique à quel point ce fluide imaginé a tendance à s’écouler de petites régions à proximité.

Par exemple, la divergence de notre champ de vecteurs évaluée en tous les points qui agissent comme des sources donnera un nombre positif. Et il ne suffit pas que tout le fluide s’écoule de là. La divergence serait également positive s’il était simplement que le fluide entrant dans une direction soit plus lent que le flux sortant dans une autre direction. Car cela insinuerait encore une certaine génération spontanée.

À l’inverse, si dans une petite région autour d’un point, il semble y avoir plus de fluidité dans celle-ci que dans celle-ci, la divergence à ce point serait un nombre négatif. Rappelez-vous que ce champ de vecteur est en réalité une fonction qui prend des entrées bidimensionnelles et crache des sorties bidimensionnelles. La divergence de ce champ de vecteur vous donne une nouvelle fonction, qui prend en entrée un seul point 2D. Mais sa sortie dépend du comportement du terrain dans un petit intervalle autour de ce point. De cette façon, c’est analogue à une dérivée. Et cette sortie est juste un nombre unique, mesurant à quel point ce point agit comme une source ou un puits.

Je retarde délibérément la discussion des calculs ici. La compréhension de ce qu’elle représente est plus importante. Remarquez, cela signifie que, pour un fluide physique réel, tel que l’eau, plutôt qu’un imaginaire utilisé pour illustrer un champ vectoriel arbitraire. Ensuite, si ce fluide est incompressible, le champ du vecteur vitesse doit présenter une divergence égale à zéro partout. C’est une contrainte importante sur les types de champs de vecteurs qui pourraient résoudre les problèmes d’écoulement de fluide dans le monde réel.

Pour le rotationnel à un moment donné, vous pensez également à la circulation du fluide autour de celle-ci. Mais cette fois, vous demandez à quel point ce fluide a tendance à tourner autour du point. Au fur et à mesure, si vous laissiez tomber une brindille dans le fluide à ce moment-là, en fixant son centre en place, aurait-il tendance à tourner ? On dit que les régions où cette rotation est dans le sens anti-horaire ont un rotationnel positif. Et les régions dans le sens des aiguilles d’une montre ont un rotationnel négatif. Et il n’est pas nécessaire que tous les vecteurs autour de l’entrée pointent dans le sens antihoraire ou dans le sens des aiguilles d’une montre.

Un point dans une région comme celle-ci, par exemple, aurait également un rotationnel non nulle. Comme le flux est lent en bas mais rapide en haut, il en résulte une influence nette dans le sens des aiguilles d’une montre. Et vraiment, le vrai rotationnel est une idée en trois dimensions. Vous associez chaque point de l’espace 3D à un nouveau vecteur caractérisant la rotation autour de ce point selon une certaine règle de la main droite. Et j’ai beaucoup de contenu de mon passage à la Khan Academy décrivant ceci plus en détail, si vous voulez.

Mais pour notre objectif principal, nous allons montrer le lien entre ces idées de calcul vectoriel et une analyse complexe. Je ferai simplement référence à la variante bidimensionnelle de rotationnel, qui associe chaque point de l’espace 2D à un seul nombre plutôt qu’à un nouveau vecteur. Comme je l’ai dit, même si ces intuitions sont données dans le contexte d’un écoulement fluide, ces deux idées sont importantes pour d’autres types de champs de vecteurs.

Un exemple très important est la façon dont l’électricité et le magnétisme sont décrits par quatre équations spéciales. Celles-ci sont connues sous le nom d’équations de Maxwell. Et ils sont écrits dans le langage de la divergence et du rotationnel. Celui-ci, par exemple, est la loi de Gauss. Indiquer que la divergence d’un champ électrique en un point donné est proportionnelle à la densité de charge en ce point.

En déballant l’intuition à ce sujet, vous pouvez imaginer des régions chargées positivement agissant comme des sources d’un fluide imaginaire et des régions chargées négativement comme des puits de ce fluide. Et dans toutes les parties de l’espace où il n’y a pas de charge, le fluide coulerait de manière incompressible, tout comme l’eau. Bien sûr, il n’y a pas de fluide électrique réellement. Mais c’est une manière très utile et très jolie de lire une équation comme celle-ci.

De même, une autre équation importante est que la divergence du champ magnétique est nulle partout. Et vous pouvez comprendre cela en disant que si le champ représente un écoulement de fluide, ce fluide serait incompressible, sans source ni puits. Il agit comme de l’eau. Cela laisse également entendre que les monopôles magnétiques, qui agissent comme le nord ou le sud d’un aimant isolé, n’existent pas. Il n’y a rien d’analogue aux charges positives et négatives dans un champ électrique.

De même, les deux dernières équations nous disent que la façon dont l’un de ces champs change dépend de la courbure de l’autre champ. Et vraiment, ceci est une idée purement tridimensionnelle et un peu en dehors de notre objectif principal ici. Mais le fait est que la divergence et le retournement apparaissent dans des contextes indépendants du flux. Et note latérale, le va-et-vient de ces deux dernières équations est ce qui donne lieu à des ondes lumineuses. Et très souvent, ces idées sont utiles dans des contextes qui ne semblent même pas initialement de nature spatiale.

Pour prendre un exemple classique que les étudiants en équations différentielles étudient souvent, supposons que vous vouliez suivre la taille des populations de deux espèces différentes, où l’une d’entre elles est peut-être un prédateur d’une autre. L’état de ce système à un moment donné, c’est-à-dire les deux tailles de population, pourrait être considéré comme un point dans l’espace bidimensionnel, que vous appelleriez « l’espace de phase » de ce système.

Pour une paire de tailles de population donnée, ces populations peuvent être enclines à évoluer en fonction de facteurs tels que le degré de reproduction des deux espèces ou le degré de satisfaction de l’une d’entre elles en manger. Ces taux de changement seraient généralement écrits analytiquement sous la forme d’un ensemble d’équations différentielles.

Ce n’est pas grave si vous ne comprenez pas ces équations particulières. Je les lance simplement pour ceux qui sont curieux, et parce que remplacer des variables par des images me fait un peu rire. Mais la pertinence ici est qu’un bon moyen de visualiser ce que dit un tel ensemble d’équations consiste à associer chaque point du plan, chaque paire de tailles de population, à un vecteur indiquant les taux de changement des deux variables.

Par exemple, quand il y a beaucoup de renards, mais relativement peu de lapins, le nombre de renards pourrait avoir tendance à diminuer en raison de la pénurie de nourriture. Et le nombre de lapins pourrait aussi avoir tendance à diminuer, car ils sont mangés par tous les renards, potentiellement à un rythme plus rapide que leur capacité à se reproduire. Ainsi, un vecteur donné vous indique comment et à quelle vitesse une paire de tailles de population donnée a tendance à changer.

Notez qu’il s’agit d’un cas où le champ de vecteurs ne concerne pas l’espace physique. Mais au lieu de cela, il s’agit d’une représentation d’un certain système dynamique comportant deux variables et de l’évolution de ce système au fil du temps. Cela peut peut-être aussi expliquer pourquoi les mathématiciens s’intéressent à l’étude de la géométrie de dimensions supérieures. Et si notre système suivait plus que deux ou trois nombres ?

Le flux associé à ce champ est appelé flux de phase pour notre équation différentielle. Et c’est une façon de conceptualiser d’un coup d’œil combien d’états de départ possibles évolueraient avec le temps. Des opérations telles que divergence et rotationnel peuvent vous aider à vous informer sur le système. La taille des populations a-t-elle tendance à converger vers une paire de nombres particulière ? Ou y a-t-il des valeurs où elles divergent ? Y a-t-il des modèles cycliques ? Et ces cycles sont-ils stables ou instables ?

Pour être tout à fait honnête avec vous, dans ce genre de situation, vous voudrez souvent intégrer des outils connexes au-delà de la simple divergence et du rotationnel. Ceux-ci vous donneraient l’histoire complète. Mais l’esprit avec la pratique de ces deux idées vous amène bien à étudier de telles configurations avec des machines mathématiques similaires.

Maintenant, si vous voulez vraiment maîtriser ces idées, vous voudrez apprendre à les calculer et à les mettre en pratique. Ensuite, je vous laisserai des liens vers des endroits où vous pourrez en apprendre davantage et pratiquer si vous le souhaitez. Encore une fois, j’ai réalisé des vidéos et des articles et travaillé sur des exemples pour Khan Academy sur ce sujet pendant mon séjour là-bas. Donc, trop de détails commenceront à me paraître superflus.

Mais il y a une chose qui mérite d’être soulevée, en ce qui concerne la notation associée à ces calculs. Généralement, la divergence est écrite sous forme de produit scalaire entre ce triangle et la fonction de champ vectoriel. Et le rotationnel est écrit comme un produit croisé similaire. Parfois, les élèves entendent dire qu’il ne s’agit que d’une astuce de notation. Chaque calcul implique une certaine somme de certaines dérivées. Et traiter ce triangle à l’envers comme s’il s’agissait d’un vecteur d’opérateurs dérivés peut être un moyen utile de tout garder clair. Mais il s’agit en réalité plus que d’un simple dispositif mnémonique. Il existe un lien réel entre la divergence et le produit scalaire et entre le rotationnel et le produit vectoriel.

Même si nous ne ferons pas de calculs pratiques ici, j’aimerais vous donner au moins une idée vague de la manière dont ces quatre idées sont connectées. Imaginez-vous faire de petits pas d’un point de votre champ de vecteurs à un autre. Le vecteur à ce nouveau point sera probablement un peu différent de celui du premier point. Après cette étape, la fonction sera modifiée, ce que vous constaterez peut-être en soustrayant votre vecteur d’origine de ce nouveau. Et ce genre de différence dans votre fonction sur de petites étapes est ce qu’est le calcul différentiel.

Maintenant, le produit scalaire vous donne une sorte de mesure de l’alignement de deux vecteurs, non ? Maintenant, le produit scalaire de votre vecteur de pas avec le vecteur de différence qu’il provoque a tendance à être positif dans les régions où la divergence est positive, et inversement. En fait, dans un certain sens, la divergence est une sorte de valeur moyenne pour ce produit scalaire d’une étape avec une modification de la sortie qu’elle entraîne dans toutes les directions d’étape possibles, en supposant que les choses soient redimensionnées de manière appropriée.

Je veux dire, pensez-y. Si un pas dans une direction entraîne une modification de ce vecteur dans cette même direction, cela correspond à une tendance à un écoulement sortant, à une divergence positive. Et d’un autre côté, si ces produits scalaires ont tendance à être négatifs. Cela signifie que le vecteur de différence pointe dans la direction opposée à celle du vecteur de pas. Cela correspond à la tendance au flux entrant, à la divergence négative.

De même, rappelez-vous que le produit vectoriel est une sorte de mesure de la façon dont deux vecteurs sont perpendiculaires. Ainsi, le produit vectoriel de votre vecteur de pas avec le vecteur de différence qu’il provoque a tendance à être positif dans les régions où la courbe est positive et inversement. Vous pourriez penser au rotationnel comme une sorte de moyenne de ce produit vectoriel étape-différence vecteur. Si un pas dans une direction correspond à un changement perpendiculaire à ce pas, cela correspond à une tendance à la rotation du flux.

Alors, avec ceci comme intuition de divergence et de rotationnel, notre prochaine étape consistera à comprendre comment les fonctions des nombres complexes nous offrent un moyen très élégant de produire des champs de vecteurs où la courbe et la divergence sont nulles dans une région donnée. Pensé en termes de débit, il décrit des fluides incompressibles et irrationnels. Pensé en termes d’électromagnétisme, cela donne des champs à l’état stable dans le vide, où il n’y a pas de charges et pas de courant. C’est ce dont je parlerai dans la prochaine vidéo. Nous reviendrons sur ces modèles pour un écoulement autour d’un cylindre et d’une lame d’air. Et surtout, nous allons parler de la raison pour laquelle ces modèles ne fonctionnent pas.