Transcription de la vidéo
Sachant que 𝑦 est égal à moins cinq 𝑥 au cube moins sept et 𝑧 est égal à trois 𝑥 au carré plus 16, déterminez la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 en 𝑥 est est égal à un.
Puisque la question nous donne 𝑦 en fonction de 𝑥 et 𝑧 en fonction de 𝑥, il pourrait être tentant d’essayer d’écrire 𝑧 en fonction de 𝑦. Cependant, il existe une méthode plus simple en utilisant la règle de derivation en chaîne.
Premièrement, nous rappelons que la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 est égale à la dérivée par rapport à 𝑦 de d𝑧 sur d𝑦. Nous rappelons que puisque 𝑦 et 𝑧 sont donnés comme des fonctions de 𝑥, nous pouvons calculer la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑦 en utilisant la règle de derivation en chaîne. Nous l’écrivons comme étant la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥 multipliée par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑦. Puisqu’on nous donne 𝑦 en fonction de 𝑥, au lieu de multiplier par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑦, nous pouvons plutôt diviser par la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥.
Nous sommes maintenant prêts à calculer ces éléments. Nous avons que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de moins cinq 𝑥 au cube moins sept par rapport à 𝑥. Pour dériver moins cinq 𝑥 au cube, nous devons d’abord multiplier par l’exposant, nous donnant moins cinq multiplié par trois, soit moins 15. Puis, nous réduisons l’exposant d’une unité. Nous savons que la dérivée de la constante moins sept est juste égale à zéro. Nous avons donc que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 15𝑥 au carré.
De même, nous avons que la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de trois 𝑥 au carré plus 16 par rapport à 𝑥. Pour dériver trois 𝑥 au carré, nous multiplions d’abord par l’exposant. Cela nous donne trois multiplié par deux, soit six. Puis, nous réduisons l’exposant d’une unité, ce qui nous donne 𝑥 à la puissance un, que nous pouvons simplifier pour écrire simplement 𝑥. La dérivée de la constante 16 est juste égale à zéro. Nous avons donc la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥 qui est égale à six 𝑥.
Nous sommes maintenant prêts à utiliser la formule de la règle de derivation en chaîne. Nous savons que d𝑧 sur d𝑦 est égal à d𝑧 sur d𝑥 divisé par d𝑦 sur d𝑥. En substituant d𝑧 sur d𝑥 par six 𝑥 et d𝑦 d𝑥 par moins 15𝑥 au carré, cela nous donne six 𝑥 divisé par moins 15𝑥 au carré. Nous pouvons simplifier cela en annulant le facteur commun 𝑥 au numérateur et au dénominateur et le facteur commun de trois au numérateur et au dénominateur. Cela nous donne que la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑦 est égale à moins deux divisé par cinq 𝑥.
Nous remarquons que notre fonction dérivée d𝑧 sur d𝑦 est une fonction de 𝑥. Appelons donc cette fonction 𝑓 de 𝑥. Nous voyons que la question veut que nous calculions la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦. Cela revient la même chose que de calculer la dérivée de notre fonction 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑦. Nous savons déjà comment calculer la dérivée d’une fonction de 𝑥 par rapport à 𝑦 en utilisant la règle de derivation en chaîne. Cela nous donne que la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑦 est égale à la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 multipliée par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑦.
Comme nous le faisions auparavant, au lieu de multiplier par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑦, nous pouvons diviser par la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Ainsi, nous avons que la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 est d’abord égale à la dérivée par rapport à 𝑦 de d𝑧 sur d𝑦, que nous avons défini comme étant égal à 𝑓 de 𝑥. Puis, en utilisant la règle de la chaîne, nous avons que cela est égal à d𝑓 sur d𝑥 divisé par d𝑦 sur d𝑥.
Nous avons que la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de moins deux divisé par cinq 𝑥 par rapport à 𝑥. Et nous divisons cela par la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥, que nous avons trouvée précédemment égale à moins 15𝑥 au carré. Nous pouvons réécrire moins deux divisé par cinq 𝑥 comme moins deux cinquièmes multiplié par 𝑥 à la puissance moins un. Nous pouvons dériver cela comme nous le faisions auparavant. Nous multiplions par l’exposant moins un, ce qui nous donne les deux cinquièmes. Puis, nous soustrayons un de l’exposant, nous donnant 𝑥 à la puissance moins deux.
Nous pouvons simplifier 𝑥 à la puissance moins deux en écrivant cela simplement comme un sur 𝑥 au carré, ce qui nous donne deux divisé par cinq 𝑥 au carré. Nous pouvons simplifier la division par moins 15𝑥 au carré, cela revient à multiplier par moins un divisé par 15𝑥 au carré. Si nous simplifions cela, nous avons montré que la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 est égale à moins deux divisé par 75𝑥 à la puissance quatre. Nous pouvons considérer cela comme une fonction de 𝑥.
Si nous revenons à la question, nous voyons qu’il faut trouver la valeur de la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 en 𝑥 est égal à un. Pour trouver cela, nous voulons substituer 𝑥 est égal à un dans notre équation pour la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦. Cela nous donne que la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 en 𝑥 est égal à un est égal à moins deux divisé par 75 multiplié par un à la puissance quatre. Nous pouvons évaluer ceci comme étant égal à moins deux divisé par 75.
Par conséquent, nous avons que 𝑦 est égal à moins cinq 𝑥 au cube moins sept et que 𝑧 est égal à trois 𝑥 au carré plus 16. Dans ce cas, la dérivée seconde de 𝑧 par rapport à 𝑦 en 𝑥 est égal à un est égale à moins deux divisé par 75.