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Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectangle tel que 𝐴𝐵 égale 22 centimètres et 𝐵𝐶 égale 26 centimètres. Quatre objets de masses six, sept, cinq et neuf grammes sont placés respectivement aux sommets 𝐴, 𝐷, 𝐵 et 𝐶. Un autre objet de masse huit grammes est attaché au milieu du segment 𝐴𝐷. Déterminez les coordonnées du centre de masse du système sachant que 𝐶 coïncide avec l’origine du repère et qu’une unité sur les axes représente un centimètre de distance.
Le diagramme ci-dessous représente les informations qui nous sont données, où les valeurs dans les cercles représentent les masses aux points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Nous avons également une masse de huit grammes attachée au milieu du segment 𝐴𝐷. Pour déterminer les coordonnées du centre de masse de ce système de masses, il est nécessaire de déterminer les coordonnées et le vecteur position de chaque masse. Nous pouvons les déduire à partir des deux longueurs données dans l’énoncé.
On nous dit que 𝐴𝐵 mesure 22 centimètres et que 𝐵𝐶 mesure 26 centimètres. Et puisque 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 sont les côtés d’un rectangle, nous savons bien sûr que les côtés opposés ont la même longueur. Donc 𝐴𝐷 mesure également 26 centimètres et 𝐷𝐶 mesure 22 centimètres. On sait aussi que 𝐶 coïncide avec l’origine du repère, donc ses coordonnées sont zéro, zéro. Et par conséquent, son vecteur position peut s’écrire zéro 𝑖 plus zéro 𝑗.
Déterminons à présent les coordonnées de 𝐵. Pour atteindre le point 𝐵 depuis l’origine du repère, nous devons nous déplacer de 26 centimètres le long de l’axe des 𝑥. Et puisque chaque unité sur notre diagramme représente un centimètre, nous pouvons dire que le point 𝐵 a pour coordonnées 26, zéro. Et par conséquent, son vecteur position peut s’écrire 26𝑖 plus zéro 𝑗. Pour atteindre le point 𝐴 depuis l’origine du repère, nous nous déplaçons de 26 horizontalement et 22 verticalement. Cela nous donne le vecteur position 26𝑖 plus 22𝑗. Le vecteur position de 𝐷 peut s’écrire zéro 𝑖 plus 22𝑗, car le point 𝐷 se trouve aux coordonnées zéro, 22. Nous devons aussi déterminer le vecteur position de la masse de huit grammes qui se trouve au milieu du segment 𝐴𝐷. Pour atteindre cette masse depuis l’origine du repère, nous nous déplaçons de 13 vers la droite et de 22 vers le haut. Cela nous donne le vecteur position 13𝑖 plus 22𝑗.
Nous avons maintenant suffisamment d’informations pour déterminer où se trouve le centre de masse. Nous pouvons calculer ses coordonnées en quelques étapes. Il faut tout d’abord multiplier chaque masse par son vecteur position. Puis nous additionnons tous ces produits et nous divisons cette somme par la masse totale. Ceci est représenté par la formule suivante : le vecteur position 𝐑 du centre de masse d’un système de masses est égal à un sur 𝑀, la masse totale du système, multiplié par la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝑚 indice 𝑖 fois le vecteur 𝐫 indice 𝑖. Où 𝑚 indice 𝑖 est la masse de l’objet 𝑖 et le vecteur 𝐫 indice 𝑖 est le vecteur position de l’objet 𝑖. Voyons comment appliquer cette formule à notre système de masses.
Nous pouvons commencer par calculer la masse totale du système. La masse totale 𝑀 est égale à six plus sept plus cinq plus neuf plus huit grammes, soit 35 grammes au total. Donc dans le cas de notre système, la fraction du membre de droite de notre formule est égale à un sur 35. Nous pouvons ensuite calculer les différents produits dans n’importe quel ordre. Commençons par l’objet 𝐶, dont le vecteur position est zéro 𝑖 plus zéro 𝑗. Nous multiplions sa masse par son vecteur position pour obtenir neuf fois zéro 𝑖 plus zéro 𝑗. Nous passons ensuite à l’objet 𝐵, qui a une masse de cinq et un vecteur position égal à 26𝑖 plus zéro 𝑗. Puis, pour 𝐴, nous avons une masse de six que nous multiplions par le vecteur position 26𝑖 plus 22𝑗. Pour les deux dernières masses, nous avons huit fois 39 plus 22𝑗 plus sept fois zéro 𝑖 plus 22𝑗.
Nous allons maintenant développer l’expression, où les termes avec zéro 𝑖 ou zéro 𝑗 sont simplement égaux à zéro. Cela nous donne un sur 35 multiplié par 130𝑖 plus 156𝑖 plus 132𝑗 plus 104𝑖 plus 176𝑗 plus 154𝑗. Cela se simplifie pour donner un sur 35 fois 390𝑖 plus 462𝑗. Enfin, en divisant 390𝑖 et 462𝑗 par 35, nous obtenons 78 sur sept 𝑖 plus 66 sur cinq 𝑗. N’oublions pas cependant qu’on nous demandait dans la question de donner les coordonnées du centre de masse. Nous devons convertir le vecteur position de notre centre de masse en coordonnées. Nous pouvons alors conclure que les coordonnées du centre de masse sont 78 sur sept, 66 sur cinq.
