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Déterminez l’ensemble des zéros de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale moins neuf 𝑥 puissance quatre plus 225𝑥 carré.
Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 et on nous demande de déterminer l’ensemble des zéros de cette fonction. On peut commencer par rappeler que l’ensemble des zéros d’une fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 telles que 𝑓 évaluée en 𝑥 est égale à zéro. Par conséquent, nous pouvons déterminer l’ensemble des zéros de la fonction donnée en résolvant l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro. Cela nous donne l’équation moins neuf 𝑥 puissance quatre plus 225𝑥 carré égale zéro.
Et il existe différentes méthodes que nous pouvons utiliser pour résoudre cette équation. Une façon est de remarquer que les premier et deuxième termes du membre de gauche de notre équation ont en commun le facteur 𝑥 au carré. Ainsi, si nous factorisons par 𝑥 au carré, nous obtenons l’équation 𝑥 carré multiplié par moins neuf 𝑥 carré plus 225 égale zéro.
Nous avons donc maintenant un produit qui est égal à zéro. Pour que le produit de deux facteurs soit égal à zéro, l’un des deux facteurs doit être égal à zéro. Par conséquent, soit 𝑥 au carré est égal à zéro, soit moins neuf 𝑥 carré plus 225 est égal à zéro. Et nous pouvons résoudre chacune de ces équations séparément. Premièrement, si 𝑥 au carré est égal à zéro, alors nous savons que 𝑥 lui-même doit être égal à zéro. Il y a plusieurs façons de voir cela. Nous pourrions par exemple tracer le graphique de 𝑦 égal 𝑥 au carré et noter que la seule intersection avec l’axe des abscisses a lieu en 𝑥 égale zéro. Ou nous pourrions prendre la racine carrée des deux membres de l’équation. Normalement, nous devons avoir plus une racine carrée et moins une racine carrée. Cependant, la racine carrée de zéro est simplement zéro. Ainsi, la seule racine est 𝑥 égale zéro.
Passons maintenant à la résolution du deuxième facteur égal à zéro. Il y a plusieurs façons différentes de le faire. Puisque notre coefficient de 𝑥 au carré est négatif, multiplions l’équation entière par moins un. Cela nous donne l’équation neuf 𝑥 carré moins 225 est égal à zéro. Et maintenant, il existe plusieurs méthodes différentes que nous pourrions utiliser pour résoudre cette équation. Par exemple, nous pourrions remarquer qu’il s’agit d’une différence entre deux carrés. Cela nous permettrait de factoriser l’équation et de déterminer 𝑥. Il est plus facile cependant de résoudre directement cette équation.
Nous allons commencer par ajouter 225 aux deux membres de l’équation. Cela nous donne que neuf 𝑥 au carré est égal à 225. Ensuite, nous pouvons diviser les deux membres de l’équation par neuf. Cela nous donne que 𝑥 au carré est égal à 225 divisé par neuf. Enfin, nous devons prendre la racine carrée des deux membres de l’équation. Rappelez-vous que nous aurons une solution positive et une solution négative. Cela nous donne alors que 𝑥 est égal à plus ou moins la racine carrée de 225 divisé par neuf.
Enfin, nous pouvons simplifier ces racines en utilisant les propriétés des exposants. Nous rappelons que la racine carrée de 𝑎 divisée par 𝑏 est égale à la racine carrée de 𝑎 divisée par la racine carrée de 𝑏. Cela nous donne donc que 𝑥 est égal à plus ou moins la racine de 225 divisée par la racine de neuf. Et maintenant, nous pouvons évaluer cette expression. La racine carrée de 225 est 15 et la racine carrée de neuf est trois. Par conséquent, 𝑥 est égal à plus ou moins 15 divisé par trois. Et nous pouvons éliminer le facteur commun à savoir trois présent aussi bien au numérateur qu’au dénominateur de cette expression, ce qui nous donne que 𝑥 est égal à plus ou moins cinq. Et cela signifie que nous avons trouvé tous les zéros de notre fonction. Ainsi 𝑥 est égal soit à moins cinq, soit à zéro ou soit à cinq.
Mais rappelez-vous que la question demande que nous écrivions ceci sous forme d’un ensemble de zéros. Nous devons donc écrire ces trois éléments sous forme d’un ensemble. Nous avons donc pu montrer que l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins neuf 𝑥 puissance quatre plus 225𝑥 carré est l’ensemble contenant moins cinq, zéro et cinq.