Vidéo : Comment réfuter le grand théorème de Fermat ?

Dans cette vidéo, nous allons voir comment Homer Simpson a réfuté le dernier théorème de Fermat à l’aide d’un intelligent contre-exemple.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment prononcer le nom de cet homme, et nous allons parler de son dernier théorème et de la démonstration de Homer Simpson avec son contre-exemple que ce théorème est, en fait, faux.

Mais avant tout, pensons au théorème pythagoricien, ou le théorème de Pythagore comme il est souvent appelé. Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés. Donc sur cette figure, si 𝑎 est la longueur de ce côté, 𝑏 la longueur de ce côté et 𝑐 la longueur de ce côté, alors 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. Il y a plusieurs preuves que cela est vrai, même un président américain, James Garfield, avait écrit une intéressante démonstration pendant les années 1870.

Maintenant nous allons nous concentrer sur quelques cas particuliers du théorème pythagoricien où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont tous des nombres entiers ou entiers relatifs, et sont appelés triplet pythagoricien.

Par exemple, si le côté 𝑎 est de trois unités, le côté 𝑏 de quatre unités et le côté 𝑐 de cinq unités, cela va nous donner trois au carré plus quatre au carré égale cinq au carré. Et trois au carré est neuf, quatre au carré est 16 et cinq au carré est 25, et neuf plus 16 égale en effet 25. Donc trois, quatre et cinq sont tous des entiers relatifs et forment un triplet pythagoricien. En fait, il y a une infinité de triplets pythagoriciens, et il existe même une petite méthode intéressante pour les générer.

Commençons avec une paire d’entiers relatifs, 𝑚 et 𝑛, où 𝑚 est strictement supérieur à 𝑛, et 𝑛 strictement supérieur à zéro. Puis supposons que 𝑎 égale 𝑚 au carré moins 𝑛 au carré, 𝑏 égale deux fois 𝑚 fois 𝑛 et 𝑐 égale 𝑚 au carré plus 𝑛 au carré. Ainsi, 𝑎, 𝑏 et 𝑐 forment un triplet pythagoricien. Donc par exemple, si l’on dit que 𝑚 est 10 et 𝑛 est trois, alors 𝑎 sera 10 au carré moins trois au carré, donc ça fait 100 moins neuf ce qui donne 91, 𝑏 sera deux fois 10 fois trois ce qui donne 60, et 𝑐 sera 10 au carré plus trois au carré ce qui donne 109. Et si l’on vérifie 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré, on obtient 91 au carré plus 60 au carré égale 109 au carré. Et oui, ça marche.

Mais il n’y a rien de nouveau ici. On connaît le théorème de Pythagore et les triplets pythagoriciens depuis longtemps. En fait, pendant les années 1630, Pierre Fermat lisait là-dessus dans sa copie de l’ouvrage Arithmétiques de Diophante d’Alexandrie, qui a été écrit au troisième siècle A.D. Aha, nous voilà, nous avons couvert le premier de nos objectifs. Beaucoup de gens l’appellent « Fermat », mais son vrai nom est Pierre de Fermat.

Maintenant, cela a poussé Fermat à se demander s’il pouvait trouver des solutions similaires en entiers relatifs pour les équations, comme 𝑎 au cube plus 𝑏 au cube égale 𝑐 au cube, ou 𝑎 à la puissance quatre plus 𝑏 à la puissance quatre égale 𝑐 à la puissance quatre. Mais après plusieurs tentatives, il n’a trouvé que des solutions triviales où 𝑎, 𝑏 ou 𝑐 égalent zéro. Par exemple : 𝑎 est zéro, 𝑏 est cinq, 𝑐 est cinq. Alors Fermat a écrit cette conjecture dans la marge de sa copie d’Arithmétiques, bien qu’il l’ait écrite en latin : « Il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré. » Ou comme on pourrait dire, il n’existe aucune solution en entiers relatifs pour 𝑎 à la puissance 𝑛 plus 𝑏 à la puissance 𝑛 égale 𝑐 à la puissance 𝑛, où 𝑛 est strictement supérieur à deux.

Puis il a ajouté à la page : « J’en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir. » Et cela a intrigué les mathématiciens pendant des siècles. Beaucoup ont essayé, en vain, de trouver cette démonstration. Mais ce n’est qu’en octobre 1994 qu’une contemporaine démonstration a été soumise par Andrew Wiles, 358 années après la mise de cette conjecture. Bien que la démonstration d’Andrew Wiles soit certainement merveilleuse, elle n’était pas celle que Fermat avait en tête. Elle fait référence à plusieurs approches mathématiques non connues au temps de Fermat. Donc il y a toujours un défi pour vous, trouver la démonstration originale.

Alors en résumé, on a effectivement prouvé que 𝑎 à la puissance 𝑛 plus 𝑏 à la puissance 𝑛 égale 𝑐 à la puissance 𝑛 n’a pas de solutions non triviales en entiers relatifs pour 𝑛 strictement supérieur à deux.

Puis dans l’épisode La Dernière Invention d’Homer de la série Les Simpson diffusé en 1998, Homer écrit cela sur son tableau : 3987 à la puissance 12 plus 4365 à la puissance 12 égale 4472 à la puissance 12. Essayez-le sur votre calculatrice. Tapez 3987 à la puissance 12 plus 4365 à la puissance 12, puis cherchez la 12ème racine de cette réponse et, sauf si vous avez une calculatrice trop sophistiquée, vous obtiendrez probablement 4472. Ça marche ! Homer a réfuté le dernier théorème de Fermat en trouvant un contre-exemple.

La différence entre prouver et réfuter quelque chose peut être énorme. Pour prouver que quelque chose est vraie, il faut la prouver pour tous les cas possibles. Mais pour la réfuter, il suffit simplement de trouver un seul contre-exemple. Alors dans ce contre-exemple, Homer Simpson semble avoir réfuté le dernier théorème de Fermat et bouleversé la démonstration d’Andrew Wiles ; non ? Le problème ici est que la plupart des calculatrices contiennent seulement un certain nombre de chiffres significatifs, généralement 10.

Donc par exemple, 3987 à la puissance 12 est enregistré comme 1,613447461 fois 10 à la puissance 43. Maintenant c’est 16 134 474 61 avec 34 zéros après. La calculatrice a perdu le compte des chiffres et a enregistré une réponse qui n’est pas tout à fait exacte. Maintenant la vraie réponse est celle-ci, et vous pouvez voir qu’il y a une a une différence en ce qui concerne ces chiffres. Et le résultat exact pour la douzième racine de 3987 à la puissance 12 plus 4365 à la puissance 12 est ça. Mais puisque notre calculatrice ne contient que 10 chiffres significatifs, elle a pensé que la réponse est ça, donc 4472.

Regardez, si l’on fait les calculs exacts, on obtient ceci au côté gauche et cela au côté droit. Et la différence est de plus qu’un décillion. Votre calculatrice ne l’a pas repéré car elle ne se concentrait que sur ces 10 chiffres significatifs ici, et ils sont tous exactement les mêmes. Mais il y a une chose que j’aime particulièrement à propos de cet exemple, c’est que même si vous vérifiez les derniers chiffres, ils seront correspondants.

Alors par exemple, si vous remarquez que la limitation de chiffres significatifs sur votre calculatrice vous empêche d’avoir une réponse exacte, alors vous pouvez au moins vérifier la valeur du dernier chiffre. Et s’ils ne sont pas les mêmes au côté droit et au côté gauche, alors vous saurez que ce n’est pas correct.

Voyons quels sera le dernier chiffre de ce calcul. Alors, le dernier chiffre sera le résultat de la multiplication de sept par lui-même 12 fois. Et sept fois sept est 49, donc le dernier chiffre de ça est 9. Et 9 fois sept est 63, donc le dernier chiffre est 3. Trois fois sept est 21, le dernier chiffre est un. Un fois sept est sept ; évidemment, le dernier chiffre est sept. Donc on est de retour à sept fois sept égale 49, et le dernier chiffre est 9. Neuf fois sept est 63, le dernier chiffre est trois. Trois fois sept a comme dernier chiffre un. Un fois sept a comme dernier chiffre sept. Sept fois sept a comme dernier chiffre neuf. Neuf fois sept a comme dernier chiffre trois, et trois fois sept a comme dernier chiffre un.

Et pour le nombre suivant, nous obtenons le dernier chiffre en multipliant 12 cinq ensembles. Maintenant évidemment, cinq fois cinq est 25 avec comme dernier chiffre cinq, et nous allons continuer en répétant le même modèle. Cela va terminer avec un cinq. Donc le dernier chiffre au membre gauche un plus cinq ce qui fait six. Puis si l’on suit cette même procédure pour le membre droit, on trouve également que le dernier chiffre est six. Mais si ces deux chiffres étaient différents, nous aurions toute suite su que ça ne marchait pas avec cet exemple.

En fait, dans un autre épisode de Les Simpson, on a montré cet exemple qui à nouveau, marche sur votre calculatrice, mais où vous pouviez immédiatement repérer un problème car ce premier nombre à la puissance 12 terminera avec un chiffre pair, le deuxième nombre à la puissance 12 terminera avec un chiffre impair, alors que le dernier chiffre du nombre à droite doit être pair. Maintenant lorsqu’on additionne un nombre pair à un nombre impair, le résultat est impair. Donc le dernier chiffre au membre gauche est impair, mais le dernier chiffre au membre droit est pair. Il était clair que ça ne marchait pas.

Donc en résumé, nous avons parlé du théorème de Pythagore, comment prononcer Fermat, et du dernier théorème de Fermat. Et bien que son exemple soit en effet très intelligent, Homer Simpson n’a pas réfuté le dernier Théorème de Fermat.

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