Vidéo : Produits vectoriels

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Produits vectoriels

08:52

Transcription de vidéo

Dans la dernière vidéo, j’avais parlé du produit scalaire, montrant à la fois l’introduction standard du sujet et une vue plus détaillée de son lien avec les transformations linéaires.

J’aimerais faire la même chose pour les produits vectoriels, qui ont également une introduction standard et une compréhension plus profonde à la lumière des transformations linéaires. Mais cette fois, je le divise en deux vidéos distinctes.

Ici, je vais essayer de cerner les points principaux que l’on montre généralement aux étudiants au sujet du produit vectoriel. Et dans la vidéo suivante, je donnerai une vue moins enseignée mais vraiment satisfaisante lorsque vous l’apprendrez.

Nous allons commencer en deux dimensions. Si vous avez deux vecteurs 𝐕 et 𝐖, pensez au parallélogramme qu’ils délimitent. Ce que je veux dire par là est que si vous prenez une copie de 𝐕 et déplacer la queue à la pointe de 𝐖 et vous prenez une copie de 𝐖 et déplacer la queue à la pointe de 𝐕, les quatre vecteurs maintenant sur l’écran enferment un certain parallélogramme.

Le produit vectoriel de 𝐕 et 𝐖, écrit avec le symbole de multiplication en forme de x, est l’aire de ce parallélogramme, ou presque. Nous devons également tenir compte de l’orientation.

En fait, si 𝐕 est à droite de 𝐖, puis 𝐕 croix 𝐖 est positive et égale à l’aire du parallélogramme. Mais si 𝐕 est à gauche de 𝐖, le produit vectoriel est négatif, à savoir l’aire négative de ce parallélogramme.

Notez que cela signifie que l’ordre est important. Si vous troqué 𝐕 et 𝐖, au lieu de prendre 𝐖 croix 𝐕, le produit vectoriel deviendrait l’opposé de ce qu’il était avant. La façon dont je me souviens toujours de l’ordre ici est que lorsque vous prenez dans l’ordre le produit vectoriel des deux vecteurs de base, 𝑖 chapeau croix 𝑗 chapeau, le résultat doit être positif.

En fait, l’ordre de vos vecteurs de base est ce qui définit l’orientation. Ainsi, comme 𝑖 chapeau est à droite de 𝑗 chapeau, je me souviens que 𝐕 croix 𝐖 doit être positif lorsque 𝐕 est à droite de 𝐖.

Ainsi, par exemple, avec le vecteur montré ici, je vais simplement vous dire que l’aire de ce parallélogramme est sept. Et puisque 𝐕 est à gauche de 𝐖, le produit vectoriel doit être négatif, donc 𝐕 croix 𝐖 est moins sept. Mais bien sûr, vous voulez pouvoir calculer ceci sans que quelqu’un vous donne l’aire. C’est là que le déterminant entre en jeu.

Donc, si vous n’avez pas vu le chapitre cinq de cette série, où je parle du déterminant, ce serait vraiment le bon moment pour aller y jeter un coup d’œil. Même si vous l’avez vu, mais c’était il y a un certain temps, je vous recommande de jeter un autre coup d’œil pour vous assurer que ces idées sont fraîches dans votre esprit.

Pour le produit vectoriel 2D 𝐕 croix 𝐖, ce que vous faites c’est que vous écrivez les coordonnées de 𝐕 dans la première colonne d’une matrice et vous prenez les coordonnées de 𝐖 pour les mettre dans la deuxième colonne ; puis vous calculez le déterminant.

En effet, une matrice dont les colonnes représentent 𝐕 et 𝐖 correspond à une transformation linéaire qui déplace les vecteurs de base 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau à 𝐕 et 𝐖. Le déterminant consiste à mesurer comment les zones changent en raison d’une transformation. Et la région prototypique que nous regardons est l’unité reposant carré sur 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau.

Après la transformation, cette place devient le parallélogramme qui nous tient à cœur. Ainsi, le déterminant, qui mesure généralement le facteur de modification des aires, donne l’aire de ce parallélogramme, puisqu’il est issu d’un carré commençant par l’aire un.

De plus, si 𝐕 est à gauche de 𝐖, cela signifie que l’orientation a été inversée au cours de cette transformation, ce qui signifie que le déterminant est négatif.

À titre d’exemple, disons que 𝐕 a pour coordonnées moins trois, un et 𝐖 a les coordonnées deux, un. Le déterminant de la matrice avec ces coordonnées sous forme de colonnes est moins trois fois un moins deux fois un, ce qui donne moins cinq. Donc, évidemment, l’aire du parallélogramme que nous définissons est cinq.

Et puisque 𝐕 est à gauche de 𝐖, il est logique que cette valeur soit négative. Comme pour toute nouvelle opération que vous apprenez, je vous conseillerais de jouer avec cette notion un peu dans votre tête, juste pour avoir une idée intuitive de ce qu’est le produit vectoriel.

Par exemple, vous remarquerez peut-être que lorsque deux vecteurs sont perpendiculaires ou au moins proches de la perpendiculaire, leur produit vectoriel est plus important que si ils étaient orientés dans des directions très similaires, car la surface de ce parallélogramme est plus grande lorsque les côtés sont plus proches d’être perpendiculaires.

Quelque chose d’autre, vous remarquerez peut-être que si vous changez d’échelle l’un de ces vecteurs, peut-être en multipliant par trois 𝐕, l’aire de ce parallélogramme est également mis à l’échelle par un facteur trois. Alors cela signifie pour l’opération que trois 𝐕 croix 𝐖 sera exactement trois fois plus la valeur de 𝐕 croix 𝐖.

Maintenant, même si tout ceci est une opération mathématique parfaite, ce que je viens de décrire n’est techniquement pas le produit vectoriel. Le vrai produit vectoriel est quelque chose qui combine deux vecteurs 3D différents pour obtenir un nouveau vecteur 3D.

Tout comme avant, nous allons encore considérer le parallélogramme défini par les deux vecteurs qu’ils délimitaient ensemble. Et l’aire de ce parallélogramme va encore jouer un grand rôle. Pour être concret, disons que l’aire est de 2.5 pour les vecteurs montrés ici, mais comme je l’ai dit, le produit vectoriel n’est pas un nombre ; c’est un vecteur.

La longueur de ce nouveau vecteur sera l’aire de ce parallélogramme, qui dans ce cas est 2.5. Et la direction de ce nouveau vecteur va être perpendiculaire au parallélogramme. Mais de quelle manière, non ? Je veux dire, il y a deux vecteurs possibles de longueur 2.5 perpendiculaires à un plan donné.

C’est là que la règle de la main droite intervient. Pointez l’index de votre main droite dans le sens de 𝐕 ; pointez votre majeur dans le sens de 𝐖. Ensuite, lorsque vous pointez votre pouce, c’est la direction du produit vectoriel.

Par exemple, disons que 𝐕 est un vecteur de longueur deux pointant vers le haut dans la direction de 𝑧 et 𝐖 est un vecteur de longueur deux pointant dans la direction 𝑦. Le parallélogramme qu’ils définissent dans cet exemple simple est en fait un carré, car ils sont perpendiculaires et ont la même longueur. Et l’aire de cette région est quatre. Donc, leur produit vectoriel devrait être un vecteur de longueur quatre.

En utilisant la règle de la main droite, leur produit vectoriel doit pointer dans la direction des 𝑥 négatifs. Le produit vectoriel de ces deux vecteurs est donc moins quatre fois 𝑖 chapeau.

Pour les calculs plus généraux, il existe une formule que vous pouvez mémoriser si vous le souhaitez, mais il est courant et plus facile de se souvenir d’un processus impliquant le déterminant 3D. Au début, ce processus semble vraiment étrange. Vous écrivez une matrice 3D où les deuxième et troisième colonnes contiennent les coordonnées de 𝐕 et 𝐖. Mais pour cette première colonne, vous écrivez les vecteurs de base 𝑖 chapeau, 𝑗 chapeau et 𝑘 chapeau. Ensuite, vous calculez le déterminant de cette matrice.

La bêtise est probablement claire ici. Qu’est-ce que cela signifie de mettre un vecteur comme entrée d’une matrice ? On dit souvent aux étudiants qu’il ne s’agit que d’une astuce de notation. Lorsque vous effectuez les calculs comme si 𝑖 chapeau, 𝑗 chapeau et 𝑘 chapeau étaient des nombres, vous obtenez une combinaison linéaire de ces vecteurs de base. Et le vecteur défini par cette combinaison linéaire, les étudiants sont simplement sommés de croire que c’est le seul vecteur orthogonal à 𝐕 et 𝐖 dont l’amplitude est l’aire du parallélogramme approprié et dont la direction obéit à la règle de la main droite.

Et, bien sûr, dans un certain sens, il ne s’agit que d’une astuce de notation. Mais il y a une raison pour le faire. Ce n’est pas un hasard si le déterminant est à nouveau important. Et placer les vecteurs de base dans ces positions n’est pas simplement une chose aléatoire à faire.

Pour comprendre l’origine de tout cela, il est utile d’utiliser la notion de dualité que j’ai introduite dans la dernière vidéo. Ce concept est toutefois un peu lourd, alors je le mets dans une vidéo de suivi distincte pour ceux d’entre vous qui sont curieux d’en savoir plus.

On peut dire que cela tombe en dehors de l’essence de l’algèbre linéaire. La partie importante ici est de savoir ce que ce vecteur produit vectoriel représente géométriquement. Donc, si vous voulez ignorer cette vidéo, n’hésitez pas. Mais pour ceux d’entre vous qui souhaitent aller un peu plus loin et qui sont curieux du lien entre ce calcul et la géométrie sous-jacente, les idées dont je parlerai dans la vidéo suivante ne sont qu’un calcul vraiment élégant.

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