Vidéo de la leçon : Rotations dans le repère cartésien Mathématiques

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les sommets d’une figure après avoir subi une rotation de 90, 180 ou 270 degrés par rapport à l’origine dans le sens des aiguilles d’une montre et dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Nous allons également apprendre à décrire une rotation.

Rappelons tout d’abord qu’une rotation est un type de transformation qui fait tourner une figure autour d’un point ou du centre de rotation. Il nous faudra également aborder certains points importants. Commençons par les angles. Dans cette vidéo, nous allons envisager les rotations avec des angles de 90 degrés, 180 degrés et 270 degrés. Un angle de 90 degrés est un angle droit. Un angle de 180 degrés est le type d’angle que l’on trouve sur une droite. Et un angle de 270 degrés ressemblerait à ceci. Il peut également être utile de se rappeler que cet autre angle, créé à partir d’un angle de 270 degrés, est un angle droit de 90 degrés.

Lorsque l’on parle de rotations, il est utile de revoir les deux directions différentes que nous utilisons. Il s’agit du sens des aiguilles d’une montre et du sens inverse des aiguilles d’une montre. Parfois, nous pouvons voir le sens inverse des aiguilles d’une montre appelé sens antihoraire. Le sens des aiguilles d’une montre sera dans la même direction que le mouvement des aiguilles d’une montre. Et une rotation dans le sens inverse des aiguilles d’une montre sera dans la direction opposée.

Le centre de rotation est très important lorsque nous parlons de rotations, car il détermine l’endroit où la figure est positionnée. Par exemple, si nous prenons ce rectangle et le faisons tourner de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre autour du centre de rotation marqué 𝑥, alors l’image de la figure, c’est-à-dire la figure après être tournée, ressemblerait à ceci. Si, au contraire, nous appliquions une rotation à ce rectangle de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre et que nous placions le centre de la rotation sur l’un de ses sommets, alors l’image ressemblerait à ceci. Si nous avions le centre de rotation à l’intérieur du rectangle, l’image ressemblerait alors à ceci. Et c’est pourquoi il est important, comme nous le verrons plus tard dans cette vidéo, non seulement de décrire l’angle et la direction, mais aussi de dire où se trouverait le centre de rotation.

Et avant de commencer, quelques questions. Voici un conseil utile si vous avez des difficultés avec les rotations. L’utilisation de papier calque peut nous aider à voir où une figure doit être positionnée après la rotation. Si nous n’avons pas de papier calque, nous pouvons utiliser du papier sulfurisé, ce genre que nous utilisons pour empêcher les pâtisseries de coller au plateau dans le four. Nous plaçons le papier calque ou le papier sulfurisé sur le dessin, nous traçons autour de la figure. Ensuite, par exemple, si nous devions faire une rotation de 180 degrés, nous placerions la pointe de notre crayon au centre de la rotation et nous ferions tourner le papier-calque autour. Nous pourrions alors voir où la figure tournée apparaîtrait. Voyons maintenant quelques questions dans lesquelles nous devons effectuer une rotation.

Déterminez les coordonnées des images des sommets du triangle 𝐴𝐵𝐶 après une rotation de 180 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine.

Dans cette question, nous allons effectuer une rotation. Nous allons donc faire une rotation de la figure. Nous allons faire tourner ce triangle d’un angle de 180 degrés. Et on nous dit de le faire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, bien que, pour un angle de 180 degrés, peu importe que la direction soit dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse. Le centre de rotation ici est l’origine. C’est la coordonnée zéro ; zéro. Alors, allons-y et effectuons cette rotation.

En commençant par le point 𝐴, nous pouvons voir que celui-ci est situé avec une coordonnée 𝑥 de moins huit et une coordonnée 𝑦 de sept. Donc, lorsque nous effectuons une rotation de 180 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, la coordonnée 𝑥 sera huit et la coordonnée 𝑦 sera moins sept. En d’autres termes, il y aura toujours un mouvement de huit unités dans la direction de 𝑥. C’était huit unités vers la gauche ou moins huit. Et il y a maintenant huit unités à droite ou plus huit. La coordonnée 𝑦 sera toujours à sept unités. C’était plus sept unités et c’est maintenant moins sept unités. Nous pouvons nommer l’image du sommet 𝐴 comme 𝐴 prime.

Le sommet 𝐵 sur le triangle est en moins trois ; sept. Donc, lorsque nous le faisons tourner de 180 degrés, il aura toujours une valeur de coordonnée 𝑥 de trois, cette fois-ci de plus trois, et à une distance de sept sur l’axe des 𝑦, cette fois-ci de moins sept. Et nous pouvons nommer ce nouveau sommet comme 𝐵 prime. Pour vérifier, nous pouvons remarquer que la ligne joignant 𝐴 prime et 𝐵 prime est également horizontale de la même manière que celle joignant 𝐴𝐵. En effet, notre ligne horizontale qui a subi une rotation de 180 degrés produirait également une autre ligne horizontale. Notre sommet final, 𝐶, est en moins quatre ; trois. Son image, 𝐶 prime, sera donc à la coordonnée quatre, moins trois. Et nous pouvons compléter le dessin du triangle 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime.

Dans une rotation, l’objet et son image resteront toujours de la même taille. Il est donc utile de vérifier certaines longueurs clés pour voir si elles ont la même taille dans l’objet d’origine et son image. Nous pouvons voir que la figure originale et son image ont une longueur horizontale de cinq unités. Et les deux triangles ont une hauteur perpendiculaire de quatre unités. La question nous demande d’écrire les coordonnées des images des sommets. Nous pouvons donc écrire 𝐴 prime comme huit, moins sept, 𝐵 prime comme trois, moins sept, et 𝐶 prime est quatre, moins trois. Nous pouvons également voir dans cette question que, dans une rotation de 180 degrés autour de l’origine, un point 𝐴 avec les coordonnées 𝑥 ; 𝑦 sera tourné pour donner l’image 𝐴 prime de coordonnées moins 𝑥 ; moins 𝑦.

Si nous regardons le sommet initial 𝐴 avec la coordonnée moins huit ; sept, l’image 𝐴 prime avait la coordonnée huit, moins sept. De la même manière, la coordonnée 𝐵 en moins trois, sept est devenue 𝐵 prime en trois ; moins sept. La coordonnée 𝐶 en moins quatre, trois est devenue 𝐶 prime en quatre, moins trois. Après une rotation de 180 degrés autour de l’origine, si la valeur de 𝑥 était positive, elle devient négative et si elle était négative, elle devient positive. Il en va de même pour la valeur de 𝑦. Ce fait peut être une vérification utile lorsque nous effectuons ce type de rotation. Ici, nous pouvons déterminer nos coordonnées finales pour la réponse.

Dans la dernière question, nous avons vu comment une rotation de 180 degrés transforme un point 𝐴 de coordonnées 𝑥 ; 𝑦 en un point 𝐴 prime de coordonnées moins 𝑥 ; moins 𝑦. On peut se demander s’il existe des règles similaires pour les rotations d’autres mesures. Et la réponse est oui. Pour une rotation de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre autour de l’origine, un point 𝐴 de coordonnées 𝑥 ; 𝑦 aura une image 𝐴 prime où la coordonnée 𝑥 est la valeur initiale de 𝑦 et la coordonnée 𝑦 est la valeur négative initiale de 𝑥. Nous pouvons également appliquer cette règle pour une rotation de 270 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Il existe également une autre règle pour une rotation de 270 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre. Un point 𝐴 de coordonnées 𝑥 ; 𝑦 deviendra 𝐴 prime où la coordonnée 𝑥 est la valeur négative initiale de 𝑦 et la coordonnée 𝑦 est la valeur initiale de 𝑥. Cette règle peut également être appliquée à une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Il peut être utile de noter ces règles car elles nous aideront en travaillant. Mais il faut faire attention à ne pas oublier que ces règles de rotation ne s’appliquent que lorsque la rotation se fait autour de l’origine.

Dans la question précédente, nous avons également vu un autre point clé sur les rotations. Il s’agit du fait que, dans une rotation, l’objet et son image ont la même forme et la même taille. En d’autres termes, ils sont superposables. Maintenant, examinons une autre question sur les rotations.

Déterminez les coordonnées des images des sommets du triangle 𝐴𝐵𝐶 après une rotation de 270 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine.

Dans cette question, nous avons une rotation, ce qui signifie que la figure va tourner. Le point autour duquel elle va tourner ou le centre de rotation est l’origine. C’est la coordonnée zéro ; zéro. L’angle de rotation est de 270 degrés et la direction est dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Donc l’angle de 270 degrés va ressembler à ceci et la direction sera comme ceci, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Cela équivaudrait également à un tour de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre. Ainsi, une rotation de 270 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre enverra notre triangle dans ce quadrant.

Commençons par examiner notre point 𝐴 et déterminons à quelle distance il se trouve par rapport au centre de rotation. Il est de moins sept unités sur l’axe des 𝑥 et de moins trois unités sur l’axe des 𝑦. Si nous considérons qu’il s’agit d’une rotation de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre, alors il sera toujours à sept unités mais cette fois-ci sur l’axe des 𝑦 et à trois unités, ou plutôt cette fois-ci à moins trois unités, sur l’axe des 𝑥. Nous pouvons nommer ce nouveau point de l’image comme 𝐴 prime. Le point 𝐵 est à moins trois unités sur l’axe des 𝑥 et à moins quatre unités sur l’axe des 𝑦. Et après la rotation, il y aura trois unités sur l’axe des 𝑦 et moins quatre unités sur l’axe des 𝑥. Nous pouvons appeler cela 𝐵 prime et tracer le segment 𝐴 prime 𝐵 prime.

Pour notre dernier point, 𝐶, nous pouvons voir qu’il est de coordonnées moins six, moins cinq. La rotation sera donc de six unités sur l’axe des 𝑦 et de moins cinq unités sur l’axe des 𝑥. Une fois que nous avons rejoint les sommets, il est toujours utile de vérifier que les dimensions de la figure initiale et celles de l’image sont identiques. Par exemple, le segment 𝐴𝐶 est à deux unités vers le bas et à une unité à droite. Et le segment 𝐴 prime 𝐶 prime est aussi de deux unités par une unité. On peut également comparer les segments 𝐵𝐶 et 𝐵 prime 𝐶 prime en remarquant qu’ils sont tous deux de trois unités par une unité.

Pour répondre à cette question, nous aurions également pu utiliser la règle selon laquelle une rotation de 270 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine signifie qu’un point 𝐴 de coordonnées 𝑥 ; 𝑦 aura une image 𝐴 prime de coordonnées 𝑦 ; moins 𝑥. Ainsi, si nous prenons notre sommet 𝐴 de coordonnées moins sept ; moins trois, alors pour trouver les coordonnées de l’image 𝐴 prime, la coordonnée 𝑥 serait la même que la coordonnée 𝑦 initiale, et pour trouver la coordonnée 𝑦, ce sera la même que la coordonnée 𝑥 initiale, mais avec un signe inversé. Donc ici, 𝐴 prime est moins trois ; sept. Et nous pouvons voir sur notre figure que c’est bien la coordonnée du sommet 𝐴 prime.

De la même manière, le sommet 𝐵 de coordonnées moins trois ; moins quatre devient le sommet 𝐵 prime où la coordonnée 𝑥 est l’initiale coordonnée 𝑦, et la valeur de 𝑦 serait la valeur négative de la valeur initiale de 𝑥. Et nous avons effectivement trouvé que 𝐵 prime a comme coordonnées moins quatre ; trois. Nous pouvons également voir, en utilisant cette règle et la figure, que 𝐶 prime est en moins cinq ; six. Nous pouvons alors déterminer les coordonnées de l’image des sommets 𝐴 prime, 𝐵 prime, et 𝐶 prime.

Dans les trois premières questions, on nous a donné une rotation et on nous a demandé de l’effectuer. Maintenant, nous allons examiner le cas où l’on nous donne une figure d’une rotation et que nous devons décrire. Lorsque nous décrivons une rotation, l’une des premières choses auxquelles nous devons penser est l’angle selon lequel la rotation est effectuée. Nous devons également décrire le sens de la rotation. Nous pouvons remarquer dans notre figure qu’il y a un angle de rotation de 90 degrés, mais nous devons aussi dire que c’est dans le sens des aiguilles d’une montre. Nous aurions donc ici une rotation de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre. Nous aurions également pu décrire cela comme une rotation de 270 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Mais il y a une dernière information que nous devons également inclure lorsque nous décrivons une rotation. Il s’agit d’indiquer le centre de rotation. Dans cet exemple, le centre de rotation serait ici à l’origine zéro ; zéro. Si nous mettons tout cela ensemble, nous pourrions décrire cela comme une rotation de 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre autour de l’origine. Nous allons maintenant voir une question où nous décrivons la rotation d’un point.

Un triangle tracé sur le repère a un sommet en le point six ; zéro. Laquelle des rotations suivantes déplacerait le sommet vers le point zéro ; six ? Option (A) 90 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre autour de l’origine. Option (B) 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine. Ou option (C) 180 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine.

Nous pourrions commencer cette question en dessinant l’endroit où se trouve le sommet d’origine. On nous dit que ce sommet est en six ; zéro. Appelons ce sommet initial 𝐴. L’image de ce sommet après la rotation est en zéro ; six. Appelons-le 𝐴 prime. Alors comment décrirait-on la rotation de 𝐴 en 𝐴 prime ? Nous pouvons rappeler que, pour décrire une rotation, nous devons dire trois choses, l’angle, la direction et le centre de rotation. Si nous devions tracer l’angle entre 𝐴 et 𝐴 prime, nous verrions qu’il y a un angle droit de 90 degrés.

En ce qui concerne la direction, la direction opposée à celle dans laquelle tournent les aiguilles d’une montre est appelée sens inverse des aiguilles d’une montre, et c’est la direction que nous pouvons voir ici. Le centre de rotation sera l’origine ou le point de coordonnées zéro ; zéro. Pour mettre ces trois informations ensemble, nous dirons qu’il s’agit d’une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine. Mais il y a une autre façon d’effectuer cette rotation. Nous aurions pu passer du sommet 𝐴 au sommet 𝐴 prime en allant dans la direction opposée à travers un angle de 270 degrés.

Ici, le centre de rotation serait resté le même, mais nous aurions décrit la rotation comme une rotation de 270 degrés dans le sens des aiguilles d’une montre autour de l’origine. Cependant, sur ces deux descriptions, une seule apparaît dans nos options de réponse. Et c’est celle donnée dans l’option (B), une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine.

Maintenant, résumons les points clés de cette vidéo. Nous avons appris qu’une rotation est une transformation qui fait tourner une figure autour d’un centre de rotation. L’angle de rotation peut être de n’importe quelle mesure. Dans cette vidéo, nous avons particulièrement étudié les rotations de 90 degrés, 180 degrés et 270 degrés. Nous avons vu qu’il y a deux directions que nous utilisons lorsque nous discutons des rotations, le sens des aiguilles d’une montre et le sens inverse des aiguilles d’une montre. Nous avons vu que, dans une rotation, l’objet et son image sont superposables. Cela signifie qu’ils ont la même forme et la même taille. Nous avons vu trois règles différentes sur la façon dont les coordonnées d’un sommet changent lors des rotations autour de l’origine. Et enfin, nous avons vu que lorsque nous décrivons une rotation, nous devons indiquer l’angle, la direction et le centre de rotation.