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Vidéo de la leçon : Aire entre une courbe et une droite Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer des intégrales pour trouver l’aire entre la courbe d’une fonction et une droite horizontale ou verticale.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous verrons une application importante de l’intégration pour déterminer l’aire sous une courbe, c’est-à-dire l’aire délimitée par une courbe, l’axe des abscisses et deux droites verticales d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏. Savoir calculer l’aire sous une courbe est une compétence utile car il existe souvent une application pratique. Par exemple, dans le cas d’un graphique vitesse-temps, l’aire sous la courbe donne la distance totale parcourue.

Nous verrons également comment adapter cette méthode pour calculer l’aire entre la courbe d’une fonction de la forme 𝑥 égale 𝑔 de 𝑦 et l’axe des ordonnées 𝑦. Ensuite, nous étendrons ces techniques au calcul d’aires de régions délimitées par une courbe et une droite parallèle à l’axe 𝑥 ou 𝑦.

Il est également possible d’utiliser l’intégration pour calculer le volume d’un solide. En fait, de nombreuses formules qu’on connaît pour calculer les volumes de solides en trois dimensions, comme les cônes ou les sphères, se démontrent par intégration, bien que cela dépasse le cadre de ce cours.

Commençons par un exemple simple, où l’aire recherchée est délimitée par une droite et non par une courbe. Cette droite a pour équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, avec 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 plus sept. L’aire que nous recherchons est celle d’un trapèze. On peut donc la calculer sans utiliser l’intégration. Les longueurs des deux côtés parallèles de ce trapèze sont les valeurs de la fonction 𝑓 évaluée en 𝑎 et 𝑏. Ce sont les deux valeurs de 𝑥 qui délimitent cette région. 𝑓 de 𝑎 est égal à quatre 𝑎 plus sept, et 𝑓 de 𝑏 est égal à quatre 𝑏 plus sept. La hauteur de ce trapèze est la différence entre les deux valeurs 𝑥 qui délimitent cette région. Donc, c’est 𝑏 moins 𝑎.

L’aire d’un trapèze est égale à la moitié de la somme des longueurs de ses côtés parallèles — soit quatre 𝑎 plus sept plus quatre 𝑏 plus sept, le tout sur deux — multipliée par la hauteur du trapèze — 𝑏 moins 𝑎. On simplifie, ce qui donne deux 𝑎 plus deux 𝑏 plus sept multiplié par 𝑏 moins 𝑎. Puis on développe, on obtient deux 𝑎𝑏 moins deux 𝑎 au carré plus deux 𝑏 au carré moins deux 𝑎𝑏 plus sept 𝑏 moins sept 𝑎.

On voit que deux 𝑎𝑏 et moins deux 𝑎𝑏 se simplifient, il reste moins deux 𝑎 au carré plus deux 𝑏 au carré plus sept 𝑏 moins sept 𝑎, ce qu’on peut écrire deux 𝑏 au carré plus sept 𝑏 moins deux 𝑎 au carré plus sept 𝑎. On a donc trouvé l’aire. Mais quel rapport avec l’intégration ?

Eh bien, on remarque que la primitive de la fonction 𝑓 de 𝑥 est deux 𝑥 au carré plus sept 𝑥 plus une constante d’intégration si nécessaire. Donc, on a la primitive de la fonction 𝑓 de 𝑥 évaluée en 𝑏 moins la primitive évaluée en 𝑎, qu’on peut exprimer comme une intégrale définie. C’est l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de la fonction 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Ainsi, pour calculer l’aire de la région délimitée par une droite, par l’axe des abscisses 𝑥, et par les deux droites verticales d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏, on peut simplement calculer l’intégrale de la fonction entre ces deux bornes. On a vu cela pour l’exemple d’une droite. Mais comment savoir si ça fonctionne également lorsque la fonction 𝑓 de 𝑥 est une courbe ?

Supposons maintenant que nous cherchions cette nouvelle aire délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, l’axe des 𝑥 et les deux droites verticales d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏. Plutôt que de calculer l’aire complète, commençons par chercher l’aire d’une très fine tranche de cette surface, de largeur Δ𝑥, où Δ𝑥 désigne une très petite variation de 𝑥. Cette portion de surface s’approxime par un rectangle de largeur Δ𝑥 et de hauteur 𝑓 de 𝑥.

Pour calculer l’aire d’un rectangle, on multiplie ses deux dimensions. Donc, cette aire est approximativement égale à 𝑓 de 𝑥 multiplié par Δ𝑥. Si on prend un grand nombre de telles tranches, chacune de largeur Δ𝑥, l’aire totale est approximativement la somme de 𝑥 égale 𝑎 à 𝑥 égale 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 multiplié par Δ𝑥. Pour améliorer cette approximation, il faut prendre plus de tranches afin que leur largeur diminue de plus en plus.

Pour que cette approximation devienne une valeur exacte, ces rectangles doivent devenir infiniment fins. Et donc l’aire exacte est égale à la limite de cette somme lorsque Δ𝑥 tend vers zéro. Si vous avez utilisé la notation Δ𝑥 lorsque vous avez appris la dérivation, vous savez que lorsque Δ𝑥 se rapproche de zéro, on la représente par la notation d𝑥. On utilise le signe intégrale pour représenter cette somme infinie d’aires de rectangles infiniment minces.

Et donc, l’aire est égale à l’intégrale entre 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 d𝑥. Le symbole utilisé pour représenter une intégrale est en fait un S allongé. C’était en fait à l’origine un simple S comme « somme », puisqu’on calcule la somme d’un nombre infini de tranches infiniment minces. On voit donc que, comme dans l’exemple de la droite, pour calculer l’aire délimitée par une courbe, l’axe des 𝑥 et les deux droites verticales d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏, on calcule l’intégrale définie de la fonction 𝑓 de 𝑥 entre ces deux valeurs de 𝑥. Étudions maintenant quelques exemples.

Soit 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré plus trois. Déterminez l’aire de la région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, l’axe des 𝑥 et les deux droites d’équations 𝑥 égale moins un et 𝑥 égale cinq.

Commençons par dessiner cette région dont on cherche à calculer l’aire. Elle est délimitée par une courbe du second degré avec un premier coefficient positif et une ordonnée à l’origine de trois. Elle est également délimitée par les deux droites verticales d’équations 𝑥 égale moins un et 𝑥 égale cinq, et par l’axe des 𝑥. C’est donc cette aire qu’on cherche à déterminer.

Rappelons que l’aire délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, l’axe des 𝑥 et les deux droites verticales d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏, est égale à l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. La fonction 𝑓 de 𝑥 est deux 𝑥 au carré plus trois. La borne inférieure de l’intégrale, la valeur de 𝑎, est la plus petite valeur de 𝑥. C’est moins un. Et la borne supérieure, la valeur de 𝑏, est la plus haute valeur de 𝑥. C’est cinq. Ainsi, l’aire recherchée est égale à l’intégrale de moins un à cinq de deux 𝑥 au carré plus trois par rapport à 𝑥.

Rappelons que, pour intégrer les puissances de 𝑥 autres que moins un, on ajoute un à l’exposant, puis on divise par le nouvel exposant. Ainsi, l’intégrale de deux 𝑥 au carré est deux 𝑥 au cube sur trois, et l’intégrale de trois est trois 𝑥. Donc, l’aire est égale à deux 𝑥 au cube sur trois plus trois 𝑥, évalués entre moins un et cinq.

Pour rappel, il n’y a pas besoin d’une constante d’intégration ici, car il s’agit d’une intégrale définie. Puis on substitue les bornes, ce qui donne deux multiplié par cinq au cube sur trois plus trois multiplié par cinq moins deux multiplié par moins un au cube sur trois plus trois multiplié par moins un. Soit 250 sur trois plus 15 moins moins deux tiers moins trois. Ça se simplifie à 102. Et donc, l’aire de la région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, l’axe des 𝑥, et les deux droites d’équations 𝑥 égale moins un et 𝑥 égale cinq, qu’on trouve en calculant l’intégrale définie de la fonction 𝑓 de 𝑥 entre les bornes moins un et cinq, est de 102 unités carrées.

Dans l’exemple qui suit, nous verrons ce qui se passe lorsque l’aire recherchée se situe en dessous de l’axe des 𝑥.

La courbe représentée est 𝑦 égale un sur 𝑥. Quelle est l’aire de la région colorée ? Donnez une réponse exacte.

Rappelons que l’aire de la région délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, les droites d’équations 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏, et l’axe des 𝑥, est égale à l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Ici, la fonction 𝑓 de 𝑥 est un sur 𝑥. Et sur le graphique, on voit que les bornes de cette intégrale sont moins un pour la borne inférieure et moins un tiers pour la borne supérieure. On a donc l’intégrale définie, calculée entre moins un et moins un tiers, de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥.

Rappelons que l’intégrale de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥, plus la constante d’intégration. Et cette valeur absolue apparaît clairement ici, car les deux bornes sont négatives. Rappelons que le logarithme népérien d’une valeur négative n’est pas défini. Il faut donc penser à écrire ces signes valeur absolue.

Ainsi, on calcule le logarithme népérien d’une valeur positive. Ici, il n’y a pas besoin de constante d’intégration 𝑐 car on a une intégrale définie. La substitution des bornes donne le logarithme népérien de la valeur absolue de moins un tiers moins le logarithme népérien de la valeur absolue de moins un. C’est le logarithme népérien d’un tiers moins le logarithme népérien de un. C’est le moment de rappeler que le logarithme népérien de un est égal à zéro. Le résultat s’est donc simplifié au logarithme népérien d’un tiers.

Ça ne vous semblera peut-être pas immédiatement évident… Mais en fait, le logarithme népérien d’un tiers est une valeur négative. On peut le voir en rappelant une des propriétés des logarithmes, à savoir que le logarithme de 𝑎 sur 𝑏 est égal au logarithme de 𝑎 moins le logarithme de 𝑏. Et donc, le logarithme népérien d’un tiers est le logarithme népérien de un moins le logarithme népérien de trois. Encore une fois, rappelons que le logarithme népérien de un est égal à zéro. Donc, la réponse semble être que cette aire est égale à moins le logarithme népérien de trois.

Mais ça n’a pas vraiment de sens, car une aire est forcément positive. On constate que, lorsqu’on utilise l’intégration pour calculer une aire en dessous de l’axe des 𝑥, le résultat est négatif. Cela ne signifie pas pour autant que l’aire elle-même est négative. Le signe moins signifie simplement que l’aire est en dessous de l’axe des 𝑥.

En fait, ce qu’on aurait dû faire, c’est placer des signes valeur absolue autour du signe intégrale au début. Cela signifie que, bien que l’intégrale soit négative, l’aire est égale au logarithme népérien de trois, l’intégrale de la valeur absolue. Donc, l’aire est égale au logarithme népérien de trois. L’intégrale est négative pour signifier que la région est en dessous de l’axe des 𝑥. Mais son aire elle-même est positive. Donc, la réponse à la question, et c’est une réponse exacte, est que cette aire est égale au logarithme népérien de trois.

Cela a des implications importantes dans les cas où l’aire recherchée se divise en régions situées au-dessus et en-dessous de l’axe des 𝑥. Dans ce cas, il faut séparer l’intégrale en plusieurs parties en utilisant la linéarité de l’intégration, calculer chaque intégrale séparément, puis additionner leurs valeurs absolues. Dans l’exemple suivant, nous verrons comment calculer l’aire entre une courbe donnée sous la forme 𝑥 égale 𝑔 de 𝑦 et l’axe des 𝑦.

Calculez l’aire de la région délimitée par le graphe d’équation 𝑥 égale neuf moins 𝑦 au carré, l’axe des 𝑦 et les droites d’équations 𝑦 égale moins trois et 𝑦 égale trois.

On remarque que, dans cet exemple, la région est délimitée par une courbe d’équation 𝑥 égale une fonction de 𝑦. De plus, la région est délimitée par l’axe des ordonnées 𝑦 et non par l’axe des abscisses 𝑥, et par deux droites d’équations 𝑦 égale une constante, qui sont des droites horizontales et non verticales.

On pourrait recommencer la méthode en repartant de zéro et voir comment utiliser l’intégration pour déterminer cette aire, et non une aire délimitée par une courbe de la forme 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et l’axe des 𝑥. Mais en fait, le plus simple est d’intervertir 𝑥 et 𝑦. Pour calculer l’aire délimitée par une courbe de la forme 𝑥 égale 𝑔 de 𝑦, l’axe des 𝑦 et les deux droites horizontales d’équations 𝑦 égale 𝑐 et 𝑦 égale 𝑑, on calcule l’intégrale définie de 𝑐 à 𝑑 de 𝑔 de 𝑦 par rapport à 𝑦.

Dans ce cas, on calcule l’intégrale définie, entre moins trois et trois, de neuf moins 𝑦 au carré d𝑦. Notez que toute l’intégrale est en fonction de 𝑦, pas de 𝑥. Pour intégrer les puissances de 𝑦 autres que moins un, on ajoute un à la puissance et on divise par la nouvelle puissance, ce qui donne neuf 𝑦 moins 𝑦 au cube sur trois, évalués entre moins trois et trois. Puis on substitue les bornes, ce qui donne neuf multiplié par trois moins trois au cube sur trois moins neuf multiplié par moins trois moins moins trois au cube sur trois. Cela fait 27 moins neuf moins moins 27 plus neuf, ce qui est égal à 36.

On obtient une aire de 36 unités carrées. Dans ce problème, on a vu que, pour calculer l’aire d’une région délimitée par le graphe de 𝑥 égale une fonction de 𝑦, l’axe des 𝑦, et deux droites horizontales, on calcule simplement une intégrale définie où tout est en fonction de 𝑦 et non en fonction de 𝑥. Notez également que, dans cette question, on ne craint pas qu’une partie de l’aire se trouve sous l’axe des 𝑥 car, cette fois, on intègre par rapport à 𝑦. Et toute la région se trouve du même côté de l’axe des 𝑦.

Il pourrait arriver que, dans d’autres types de questions, on demande de calculer l’aire entre une courbe et l’axe des 𝑦. Mais que l’équation de la courbe soit donnée sous la forme 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et non 𝑥 égale 𝑔 de 𝑦. Dans ce cas, il faudrait réécrire l’équation pour qu’elle soit de la forme 𝑥 égale 𝑔 de 𝑦. Il faudrait aussi que les bornes données en fonction de 𝑥 soient réécrites en fonction de 𝑦 si nécessaire. Mais cette vidéo n’a pas pour objet d’approfondir ce cas. Dans le dernier exemple, nous verrons comment calculer l’aire d’une région délimitée par des droites qui ne sont pas l’axe des 𝑥 ou des 𝑦.

Calculez l’aire de la région hachurée.

Commençons par examiner la figure donnée pour en déduire les équations de chaque droite qui délimite cette région. Premièrement, on a la courbe d’équation 𝑦 égale trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins deux. On a également les droites verticales d’équations 𝑥 égale un et 𝑥 égale deux. Mais la région n’est pas délimitée par l’axe des 𝑥 ou 𝑦 ; la dernière droite qui la délimite a pour équation 𝑦 égale cinq.

Or, si on cherchait simplement à calculer l’aire délimitée par le graphe du second degré et par les droites d’équations 𝑥 égale un et 𝑥 égale deux, au-dessus de l’axe des 𝑥, on calculerait l’intégrale entre un et deux de trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins deux par rapport à 𝑥. Notez cependant que ça inclut l’aire du rectangle sous la droite d’équation 𝑦 égale cinq. Et donc, pour déterminer l’aire de la région rose uniquement, il faut soustraire l’aire de ce rectangle de l’intégrale.

L’aire de ce rectangle n’est pas difficile à calculer. Il a une hauteur de cinq unités et une largeur d’une unité. C’est deux moins un. Donc, son aire est cinq multiplié par un ; soit cinq. Ceci nous fournit une méthode. On calcule l’intégrale définie afin de déterminer l’aire au-dessus de l’axe des 𝑥, puis on retranche l’aire du rectangle orange. Après calcul de l’intégrale, on trouve six unités carrées.

Mais il existe une autre méthode pour répondre à cette question. L’aire sous la droite d’équation 𝑦 égale cinq se trouve également par intégration. C’est l’intégrale, entre un et deux, de cinq par rapport à 𝑥. Par linéarité de l’intégration, on peut l’exprimer sous forme d’intégrale unique. Si on écrit cette intégrale, on trouve le même résultat.

Cela nous suggère aussi une idée de méthode pour calculer des intégrales définies délimitées par une courbe et par une droite oblique, voire par deux courbes, bien que cela dépasse le cadre de cette vidéo.

Dans cette vidéo, on a vu que l’aire délimitée par la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, les droites d’équations 𝑥 égale 𝑎, 𝑥 égale 𝑏, et l’axe des 𝑥, est égale à l’intégrale définie, entre 𝑎 et 𝑏, de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. On a également vu qu’il fallait prendre la valeur absolue de cette intégrale si la région est en dessous de l’axe des 𝑥. On a également vu qu’on pouvait appliquer une méthode très semblable lorsque la région est délimitée par l’axe des 𝑦 et par une fonction de la forme 𝑥 égale 𝑔 de 𝑦.

Enfin, on a vu que si la région est délimitée par une droite horizontale ou verticale autre que l’axe des 𝑥 ou des 𝑦, on peut soustraire l’équation de cette droite de l’équation de la courbe avant de calculer l’intégrale définie.

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