Vidéo : Aire entre une courbe et une droite

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment appliquer l’intégration pour trouver l’aire entre la courbe d’une fonction et une droite horizontale ou verticale.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous examinerons une application importante de l’intégration pour trouver l’aire sous la courbe, par laquelle nous entendons l’aire délimitée par une courbe, l’axe des 𝑥 et deux droites verticales 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏. La recherche de aires sous les courbes est une compétence utile car elle a souvent une application pratique. Par exemple, dans le cas d’un graphique vitesse-temps, l’aire sous la courbe donne la distance totale parcourue.

Nous verrons également comment cette méthode peut être adaptée pour trouver l’aire entre la courbe d’une fonction sous la forme 𝑥 égale 𝑔 de 𝑦 et l’axe des 𝑦. Nous allons ensuite étendre ces techniques pour trouver les aires des régions délimitées par une courbe et une droite parallèle à l’un ou l’autre des axes 𝑥 ou 𝑦.

Il est également possible d’utiliser l’intégration pour trouver des volumes de solides. Et en fait, la plupart des formules que nous connaissons déjà pour trouver les volumes de solides tridimensionnels, tels que les cônes ou les sphères, peuvent être prouvées en utilisant l’intégration, bien que cela dépasse le cadre de ce que nous considérerons ici.

Prenons d’abord un exemple simple, où l’aire que nous cherchons à trouver est en fait délimitée par une droite plutôt que par une courbe. Et la droite a l’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, avec 𝑓 de 𝑥 égal à quatre 𝑥 plus sept. L’aire que nous cherchons à trouver est en fait un trapèze. Nous pouvons donc le faire sans utiliser l’intégration. Les longueurs des deux côtés parallèles de ce trapèze seront les valeurs de la fonction 𝑓 évaluées en 𝑎 et 𝑏. Ce sont les deux valeurs de 𝑥 qui ont lié cette région. 𝑓 de 𝑎 est égal à quatre 𝑎 plus sept, et 𝑓 de 𝑏 est égal à quatre 𝑏 plus sept. La hauteur perpendiculaire de ce trapèze sera la différence entre les deux 𝑥 valeurs qui délimitent cette région. Elle est donc égale à 𝑏 moins 𝑎.

Pour déterminer l’aire d’un trapèze, nous prenons la moitié de la somme de ses côtés parallèles — c’est-à-dire quatre 𝑎 plus sept plus quatre 𝑏 plus sept sur deux — puis multiplions par la hauteur du trapèze — c’est 𝑏 moins 𝑎. La simplification donne deux 𝑎 plus deux 𝑏 plus sept multipliés par 𝑏 moins 𝑎. Et puis nous pouvons distribuer les parenthèses, donnant deux 𝑎𝑏 moins deux 𝑎 au carré plus deux 𝑏 au carré moins deux 𝑎𝑏 plus sept 𝑏 moins sept 𝑎.

Et maintenant, nous voyons que les deux 𝑎𝑏 et les moins deux 𝑎𝑏 s’annuleront mutuellement, laissant juste moins deux 𝑎 au carré plus deux 𝑏 au carré plus sept 𝑏 moins sept 𝑎, que nous pouvons réécrire en deux 𝑏 au carré plus sept 𝑏 moins deux 𝑎 carré plus sept 𝑎. Nous avons donc pu trouver l’aire. Mais quel est le lien avec l’intégration ?

Eh bien, nous remarquons que la primitive de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est deux 𝑥 au carré plus sept 𝑥 plus une constante d’intégration si nécessaire. Donc, ce que nous avons est la primitive de notre fonction de 𝑥 évalué à 𝑏 moins la primitive évalué à 𝑎, que nous pouvons exprimer comme une intégrale définie. Il est égal à l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de notre fonction 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Cela suggère alors que, pour trouver l’aire entre une droite et l’axe dé 𝑥 limité par les deux droites verticales 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏, nous pouvons simplement intégrer l’équation de la fonction entre ces limites et évaluer. Nous avons vu ce travail pour un exemple de droite. Mais comment savons-nous que cela fonctionnera également lorsque la fonction 𝑓 de 𝑥 est une courbe ?

Eh bien, supposons maintenant que nous cherchons à trouver cette nouvelle aire qui est délimitée par la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥, l’axe des 𝑥 et les deux droites verticales 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏. Plutôt que d’essayer de trouver toute l’aire pour commencer, considérons plutôt la prise d’une très petite tranche de cette aire, avec une largeur de Δ𝑥, Δ𝑥 signifiant un très petit changement de 𝑥. Cette partie de l’aire peut être approximée par un rectangle d’une largeur de Δ𝑥 et d’une hauteur de 𝑓 de 𝑥.

Pour trouver l’aire d’un rectangle, nous multiplions ses deux dimensions ensemble. Cette aire est donc approximativement égale à 𝑓 de 𝑥 multiplié par Δ𝑥. Si nous prenions ensuite un grand nombre de ces tranches, chacune de largeur Δ𝑥, la surface totale pourrait être approximée par la somme de 𝑥 égal à 𝑎 à 𝑥 égal à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 multiplié par Δ𝑥. Afin d’améliorer notre approximation, nous devons prendre un plus grand nombre de tranches afin que leur largeur devienne de plus en plus petite.

Afin de faire de notre approximation une réponse exacte, nous devons rendre ces rectangles infiniment fins. Et donc l’aire exacte est égale à la limite lorsque Δ𝑥 tend vers zéro de cette somme. Maintenant, si vous êtes familier avec l’utilisation de la notation Δ𝑥 lorsque vous avez appris la dérivation pour la première fois, vous saurez que lorsque Δ𝑥 approche de zéro, nous utilisons la notation d𝑥 pour représenter sa limite. Nous utilisons un signe intégral pour représenter cette somme infinie des aires de rectangles infiniment minces.

Et donc nous avons que l’aire est égale à l’intégrale de 𝑥 égal à 𝑎 à 𝑥 égal à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 d𝑥. Le symbole que nous utilisons pour représenter une intégrale est en fait une forme allongée du S. Et en fait, était à l’origine juste un S pour « somme » pour représenter le fait que nous prenons la somme d’un nombre infini de tranches infiniment minces. Nous voyons alors que, tout comme dans notre exemple avec une droite, nous pouvons trouver l’aire délimitée par une courbe, l’axe des 𝑥 et les deux droites verticales 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏 en évaluant l’intégrale définie de la fonction 𝑓 de 𝑥 entre ces deux valeurs 𝑥. Voyons maintenant quelques exemples.

Soit 𝑓 de 𝑥 égal à deux 𝑥 au carré plus trois. Déterminez l’aire délimitée par la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥, l’axe des 𝑥 et les deux droites 𝑥 est égal à moins un et 𝑥 est égal à cinq.

Commençons par un croquis de la région dont nous cherchons à calculer l’aire. Il est délimité par une courbe quadratique avec un coefficient dominant positif et une ordonnée à l’origine de trois. Il est également délimité par les deux droites verticales 𝑥 est égal à moins un et 𝑥 est égal à cinq et l’axe des 𝑥. C’est donc ici que nous cherchons à trouver.

Nous rappelons que l’aire délimitée par la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥, l’axe des 𝑥 et les deux droites verticales 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏 peuvent être trouvées en évaluant l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Notre fonction 𝑓 de 𝑥 est deux 𝑥 au carré plus trois. La limite inférieure de notre intégrale, la valeur de 𝑎, est la valeur inférieure de 𝑥. C’est moins un. Et la limite supérieure, la valeur de 𝑏, est la limite supérieure de 𝑥. Ça fait cinq. Donc, l’aire que nous recherchons est égale à l’intégrale de moins un à cinq sur deux 𝑥 au carré plus trois par rapport à 𝑥.

Nous rappelons que, pour intégrer des puissances de 𝑥 non égales à moins un, nous augmentons la puissance d’une unité puis la divisons par la nouvelle puissance. Donc l’intégrale de deux 𝑥 au carré est de deux 𝑥 au cube sur trois, et l’intégrale de trois est de trois 𝑥. Nous avons alors que l’aire est égale à deux 𝑥 au cube sur trois plus trois 𝑥 évalués entre moins un et un cinq.

Rappelez-vous, il n’y a pas besoin d’une constante d’intégration ici, car il s’agit d’une intégrale définie. Nous substituons ensuite les limites, en donnant deux multipliés par cinq au cube sur trois plus trois multipliés par cinq moins deux multipliés par moins un cube sur trois plus trois multipliés par moins un. C’est 250 sur trois plus 15 moins les deux tiers négatifs moins trois. Cela se simplifie en 102. Et nous pouvons donc dire que l’aire de la région délimitée par la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥, l’axe des 𝑥 et les deux droites 𝑥 est égal à moins un et 𝑥 est égal à cinq trouvé en évaluant l’intégrale définie de notre fonction 𝑓 de 𝑥 entre les limites du moins un et cinq est de 102 unités carrées.

Dans notre exemple suivant, nous verrons ce qui se passe lorsque l’aire que nous essayons de trouver se trouve en dessous de l’axe des 𝑥.

La courbe indiquée est 𝑦 égale à un sur 𝑥. Quelle est la superficie de l’aire ombrée ? Donnez une réponse exacte.

Maintenant, nous rappelons que l’aire de la région délimitée par la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥, les droites 𝑥 est égale à 𝑎 et 𝑥 est égale à 𝑏, et l’axe des 𝑥 est donné par l’intégrale de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 par rapport à 𝑥. Dans ce cas, on nous dit que la fonction 𝑓 de 𝑥 est un sur 𝑥. Et à partir du graphique, nous pouvons voir que les valeurs des limites pour cette intégrale sont moins un pour la limite inférieure et moins un tiers pour la limite supérieure. Nous avons donc l’intégrale définie de moins un à moins un tiers d’un sur 𝑥 par rapport à 𝑥.

On rappelle alors que l’intégrale de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus la constante d’intégration. Et cette valeur absolue est vraiment claire ici parce que les deux valeurs de nos limites sont toutes moins deux. Et nous rappelons que le logarithme naturel d’une valeur négative n’est pas défini. Nous devons donc nous assurer d’inclure ces signes de valeur absolue.

Nous prenons donc le logarithme naturel d’une valeur positive. Nous n’avons pas besoin de la constante d’intégration 𝑐 ici car nous effectuons une intégrale définie. La substitution des limites donne le logarithme naturel de la valeur absolue du tiers négatif moins le logarithme naturel de la valeur absolue de moins un. C’est le logarithme naturel d’un tiers moins le logarithme naturel d’un tiers. Et à ce stade, nous pouvons nous rappeler que le logarithme naturel de un est juste zéro. Notre réponse s’est donc simplifiée au logarithme naturel d’un tiers.

Maintenant, cela peut ne pas être immédiatement évident pour vous. Mais en fait, le logarithme naturel d’un tiers est une valeur négative. Nous pouvons le voir si nous rappelons l’une de nos lois de logarithmes, qui est que le logarithme de 𝑎 sur 𝑏 est égal au logarithme de 𝑎 moins le logarithme de 𝑏. Et donc le logarithme naturel d’un tiers est le logarithme naturel d’un moins le logarithme naturel de trois. Et encore une fois, nous rappelons que le logarithme naturel de un est égal à zéro. Donc, notre réponse semble être que cette aire est égale au négatif du logarithme naturel de trois.

Cela n’a pas vraiment de sens, car les domaines devraient être positifs. Ce que nous voyons alors, c’est que lorsque nous utilisons l’intégration pour évaluer une aire en dessous de l’axe des 𝑥, nous obtiendrons un résultat négatif. Cela ne signifie cependant pas que l’aire elle-même est négative. Le signe moins signifie simplement pour nous que l’aire est en dessous de l’axe des 𝑥.

Vraiment alors, ce que nous aurions dû faire est d’inclure des signes de valeur absolue autour de notre signe intégral au début. Et cela signifie que bien que la valeur de l’intégrale soit négative, le logarithme naturel de trois, la valeur de l’aire en est la valeur absolue. Ce n’est donc que le logarithme naturel de trois. L’intégrale est négative pour signifier que l’aire est en dessous de l’axe des 𝑥. Mais l’aire elle-même est positive. Donc, notre réponse à la question, et c’est une réponse exacte, est que cette aire est égale au logarithme naturel de trois.

Maintenant, cela a des implications importantes dans les cas où l’aire que nous cherchons à trouver est divisée en régions situées au-dessus et en-dessous de l’axe des 𝑥. Dans un tel cas, nous devons diviser notre intégrale en différentes parties en utilisant la linéarité de l’intégration et évaluer chaque intégrale séparément, puis additionner leurs valeurs absolues ensemble. Dans notre exemple suivant, nous verrons comment trouver l’aire entre une courbe donnée sous la forme 𝑥 égale 𝑥 de 𝑦 et l’axe des 𝑦.

Trouvez l’aire entourée par le graphique de 𝑥 est égal à neuf moins 𝑦 au carré, l’axe des 𝑦 et les droites 𝑦 est égal à moins trois et 𝑦 est égal à trois.

Nous remarquons que, dans cet exemple, l’aire qu’on nous a demandé de trouver est entourée d’une courbe dont l’équation 𝑥 est égale à une fonction de 𝑦. L’aire est également délimitée par l’axe des 𝑦 plutôt que par l’axe des 𝑥 et deux droites avec des équations de la forme 𝑦 correspondent à des constantes, qui sont des droites horizontales plutôt que verticales.

Maintenant, nous pourrions répéter le processus à partir des premiers principes pour voir comment nous pouvons utiliser l’intégration pour trouver cette aire, plutôt qu’une aire délimitée par une courbe sous la forme 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et de l’axe des 𝑥. Mais en fait, c’est aussi simple que d’échanger 𝑥 et 𝑦 autour. Afin de trouver l’aire entourée d’une courbe sous la forme 𝑥 est égal à 𝑔 de 𝑦, l’axe the et les deux droites horizontales 𝑦 est égal à 𝑐 et 𝑦 est égal à 𝑑, nous évaluons l’intégrale définie de 𝑐 à 𝑑 de 𝑔 de 𝑦 par rapport à 𝑦.

Dans ce cas, nous évaluons l’intégrale définie de trois à moins trois de neuf moins 𝑦 au carré d𝑦. Notez que tout dans l’intégrale est en fonction de 𝑦, pas de 𝑥. Pour intégrer des puissances de 𝑦 non égales à une négative, nous augmentons la puissance de un et divisons par la nouvelle puissance, ce qui donne neuf 𝑦 moins 𝑦 au cube sur trois évalués entre trois et moins trois. Nous substituons ensuite nos limites, en donnant neuf multiplié par trois moins trois au cube sur trois moins neuf multiplié par moins trois moins moins trois au cube sur trois. C’est 27 moins neuf moins moins 27 plus neuf, ce qui équivaut à 36.

Nous constatons donc que l’aire donnée est de 36 unités carrées. Et dans ce problème, nous avons vu que, pour trouver une aire entourée par le graphique de 𝑥 est égale à une fonction de 𝑦, l’axe des 𝑦 et deux droites horizontales, nous pouvons simplement effectuer une intégrale définie avec tout en termes de 𝑦 plutôt que de tout en fonction de 𝑥. Notez également que, dans cette question, nous ne craignions pas qu’une partie de l’aire se trouve en dessous de l’axe des 𝑥 car cette fois, nous intégrions par rapport à 𝑦. Et toute l’aire se trouvait du même côté de l’axe des 𝑦.

Maintenant, il se peut aussi que, dans d’autres types de questions, on nous demande de trouver une aire entre une courbe et l’axe des 𝑦. Mais l’équation de la courbe est donnée sous la forme 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 plutôt que 𝑥 est égal à 𝑔 de 𝑦. Dans ce cas, nous aurions besoin de réorganiser l’équation pour donner une équation sous la forme 𝑥 égale 𝑔 de 𝑦. Et nous devons nous assurer que toutes les limites qui nous ont été données ont été converties de limites en 𝑥 en limites en 𝑦 si nécessaire. Il est, cependant, au-delà de la portée de cette vidéo d’examiner cela en détail ici. Dans notre dernier exemple, nous verrons comment trouver l’aire d’une région où aucune des droites enserrant ce sont les axes 𝑥 ou 𝑦.

Trouvez l’aire de la région ombragée.

Utilisons la figure donnée pour déterminer d’abord les équations de chacune des droites qui délimitent cette région. Premièrement, nous avons la courbe 𝑦 égale trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins deux. Nous avons également les droites verticales 𝑥 égal à un et 𝑥 égal à deux. Mais plutôt que notre région ne soit délimitée par l’axe des 𝑥 ou 𝑦, la droite finale qui délimite cette région est la droite 𝑦 égale cinq.

Maintenant, si nous cherchions simplement à trouver l’aire délimitée par le graphique quadratique, les droites 𝑥 est égal à un et 𝑥 est égal à deux sur l’axe des 𝑥, nous pourrions évaluer l’intégrale définie de un à deux sur trois 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 moins deux par rapport à 𝑥. Notez cependant que cela inclurait l’aire du rectangle sous la droite 𝑦 égale cinq. Et donc pour trouver l’aire de la région rose uniquement, nous aurions besoin de soustraire l’aire de ce rectangle de notre intégrale.

L’aire de ce rectangle n’est pas difficile à trouver. Il a une hauteur verticale de cinq unités et une largeur d’une unité. C’est deux moins un. Donc, sa superficie n’est que de cinq multipliée par un ou cinq. Cela nous donne alors une méthode que nous pouvons utiliser. Nous évaluons l’intégrale définie pour trouver l’aire jusqu’à l’axe des 𝑥, puis soustrayons l’aire du rectangle orange. Le calcul sur l’intégrale donnerait une réponse de six unités carrées.

Mais il existe en fait une autre façon de répondre à cette question. L’aire sous la droite 𝑦 égale cinq peut également être trouvée en utilisant l’intégration. Il est égal à l’intégrale de un à deux sur cinq par rapport à 𝑥. Et en utilisant la propriété linéaire de l’intégration, nous pourrions alors l’exprimer comme une seule intégrale. Si vous deviez former cette intégrale, cela donnerait le même résultat.

Cela nous donne également un indice sur la façon dont nous pourrions trouver des intégrales définies entourées par une courbe et une droite diagonale, ou même deux courbes, bien que cela dépasse le cadre de cette vidéo.

Dans cette vidéo, nous avons vu que l’aire délimitée par la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥, les droites 𝑥 est égale à 𝑎, 𝑥 est égale à 𝑏, et l’axe des 𝑥 peut être trouvé en évaluant l’intervalle défini de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous avons également vu que nous devons prendre la valeur absolue de cette intégrale si l’aire est inférieure à l’axe des 𝑥. Nous avons également vu qu’un résultat très similaire peut être appliqué lorsque la région est délimitée par l’axe des 𝑦 et que la fonction de la forme 𝑥 est égale à 𝑔 de 𝑦.

Enfin, on a vu que si la région est délimitée par une droite horizontale ou verticale autre que l’axe des 𝑥 ou 𝑦, on peut soustraire l’équation de cette droite à partir de l’équation de la courbe avant d’évaluer l’intégrale définie.

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