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Vidéo de la leçon : Évènements incompatibles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier les évènements incompatibles, et à déterminer leurs probabilités.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier les évènements incompatibles, et à déterminer leurs probabilités. Avant de commencer, vous devez vous assurer de connaitre comment calculer les probabilités des évènements simples et les règles de base des probabilités. Nous allons commencer par récapituler certaines des notations dont nous aurons besoin tout au long de cette vidéo. Nous allons également utiliser des diagrammes de Venn pour les illustrer. Mais si vous ne connaissez pas les diagrammes de Venn, ne vous inquiétez pas. Ce n’est pas important pour cette leçon.

Pour décrire la probabilité qu’un seul événement 𝐴 se produise, on utilise la notation 𝑃 de 𝐴, et on peut aussi parfois l’écrire avec un 𝑝 minuscule. On utilise soit la notation 𝐴 barre, ou 𝐴 prime pour représenter le complément de l’événement 𝐴. Le complément d’un événement correspond à toutes les issues dans un espace échantillon qui ne font pas partie de l’événement lui-même. Donc, par exemple, dans le cas où on lance un dé à six faces, le complément de l’événement d’obtenir un six est donné par toutes les autres issues. Donc, il s’agit d’obtenir l’un des nombres de un à cinq. Il est également important de se rappeler que la somme des probabilités d’un événement et de son complément est égale à un car, ensemble, l’événement et son complément occupent tout l’espace échantillon sans chevauchement.

Si on a deux événements 𝐴 et 𝐵, alors on utilise cette notation ici pour représenter la probabilité qu’un événement 𝐴 ou un événement 𝐵 se produise, ou les deux si possible. Ce symbole ici est le symbole d’une union, que vous connaissez peut-être déjà des notations des ensembles. On peut lire ceci comme la probabilité de 𝐴 union 𝐵 ou la probabilité de 𝐴 ou 𝐵. Encore une fois, pour deux événements 𝐴 et 𝐵, on représente la probabilité que les deux événements se produisent avec cette notation ci. On appelle ceci l’intersection de deux événements, on peut donc lire cela comme la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 ou la probabilité de 𝐴 et 𝐵.

Enfin, l’événement 𝐴 moins 𝐵 contient tous les éléments de l’espace échantillon qui appartiennent à 𝐴 mais pas à 𝐵. Ceci est équivalent à l’intersection entre l’événement 𝐴 et le complément de l’événement 𝐵. Utilisant à nouveau notre exemple avec le dé, si 𝐴 est l’ensemble des issues qui sont des nombres premiers, c’est-à-dire deux, trois et cinq, et 𝐵 est l’ensemble des issues qui sont des nombres pairs, donc deux, quatre et six, alors 𝐴 moins 𝐵 est l’ensemble qui contient les éléments trois et cinq. Il s’agit de tous les éléments qui sont dans l’ensemble 𝐴 mais pas dans l’ensemble 𝐵. Donc, nous avons supprimé l’élément deux car il se trouve aussi dans l’ensemble 𝐵.

Rappelons ici une règle clé selon laquelle, en général, la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de l’intersection entre 𝐴 et 𝐵. Nous devrons utiliser chacune de ces notations et ces règles dans tous nos exemples. Donc, s’il y en a que vous ne connaissiez pas déjà, notez-les maintenant. Passons maintenant à ce qui est nouveau, notamment le terme incompatible. On dit que deux événements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps ou, si l’occurrence de l’un empêche l’occurrence de l’autre. En résumé, il n’y a pas de chevauchement entre les deux événements.

Par exemple, sur un dé, les évènements, le nombre est inférieur à deux et le nombre est supérieur à quatre sont incompatibles car il n’y a pas de chevauchement entre ces deux évènements ; il n’y a pas de nombres sur le dé ou même nulle part ailleurs qui soit simultanément inférieur à deux et supérieur à quatre. Plus concrètement, deux événements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles si 𝐴 intersection 𝐵 est égal à l’ensemble vide 𝜙. Cela signifie que la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est zéro car il est impossible que les deux événements se produisent ensemble. Si on utilise un diagramme de Venn pour représenter des événements incompatibles, on doit les représenter à l’aide de cercles disjoints car, comme nous l’avons vu, il n’y a pas d’intersection entre les deux événements. Voyons un exemple simple de cela.

Si on lance un dé une fois, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair et un nombre pair ?

Les événements de cette question sont incompatibles car ces deux événements ne peuvent pas se produire simultanément. Il n’y a pas de nombre à la fois pair et impair. L’intersection de ces deux événements 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble vide. Puisqu’il n’y a pas d’éléments dans l’ensemble 𝐴 intersection 𝐵, la probabilité que cela se produise est de zéro. Il est impossible d’avoir un nombre à la fois impair et pair.

Donc, nous avons vu que pour les événements incompatibles, la probabilité que les deux événements se produisent ou la probabilité de leur intersection est nulle. Mais qu’en est-il de la probabilité que l’un ou l’autre se produise ? Eh bien, considérons encore un dé pour voir si on peut obtenir une règle.

Nous allons appeler 𝐴 l’événement que le nombre soit impair et 𝐵 l’événement que le nombre soit six. Ces deux événements sont incompatibles car six n’est pas un nombre impair, ils ne peuvent donc pas se produire en même temps. La liste de toutes issues possibles dans l’espace échantillon est constituée des entiers de un à six. Et puisqu’on suppose que ce dé n’est pas truqué, chaque issue est équiprobable, donc chaque issue a une probabilité de un sixième. Il y a trois nombres impairs sur le dé, donc la probabilité de l’événement 𝐴 est de trois sixièmes. Il n’y a qu’un six sur le dé, donc la probabilité de l’événement 𝐵 est de un sixième.

Lorsqu’on considère 𝐴 union 𝐵, qu’on peut voir comme 𝐴 ou 𝐵, on s’intéresse à toute issue qui fait partie de l’événement 𝐴 ou de l’événement 𝐵. Donc, c’est toute issue que nous avons encerclée, quelle que soit la couleur que nous avons utilisée. Quatre issues sur six sont encerclées, donc la probabilité est de quatre sixièmes. Vous remarquerez peut-être que cela est égal à la somme des probabilités des événements 𝐴 et 𝐵, et ce n’est pas une coïncidence. Cela illustre mais ne prouve pas ce qu’on appelle la règle d’addition des événements incompatibles. La probabilité de l’union de 𝐴 et 𝐵, qu’on peut également considérer comme la probabilité de 𝐴 ou 𝐵, est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵.

Nous pouvons également visualiser cela sur un diagramme de Venn si ça peut aider. Puisque les événements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, on les représente avec deux cercles disjoints. Et si on considère que chaque cercle représente une probabilité, alors on peut obtenir la probabilité totale que l’événement 𝐴 ou l’événement 𝐵 se produise en additionnant les probabilités individuelles. Maintenant, il est important de se rappeler qu’on peut utiliser cette règle que pour des événements incompatibles. Si les événements impliqués ne sont pas incompatibles, alors on aura des cercles qui se chevauchent sur notre diagramme de Venn, et on aura donc besoin d’une règle différente.

Maintenant, on pourrait peut-être voir comment modifier la règle d’addition pour les événements qui ne sont pas incompatibles. Mais cela ne fait pas partie du cadre de cette vidéo. Voyons maintenant un exemple de comment appliquer la règle d’addition pour des événements incompatibles.

Deux événements incompatibles 𝐴 et 𝐵 sont tels que la probabilité de 𝐴 est égale à un dixième et la probabilité de 𝐵 est égale à un cinquième. Déterminez la probabilité de 𝐴 union 𝐵.

Ces deux événements sont incompatibles, et nous pouvons donc rappeler la règle d’addition. La probabilité de 𝐴 union 𝐵 est la somme des probabilités individuelles. C’est la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Pour cette question, nous savons que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est de un dixième plus un cinquième. On écrit cette fraction de un cinquième comme une fraction équivalente avec le dénominateur de 10. Ce qui est égal à deux dixièmes. Et puis la somme des deux probabilités donne trois dixièmes. En appliquant la règle d’addition pour les événements incompatibles, nous avons constaté que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est de trois dixièmes.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment appliquer cette règle d’addition à un problème un peu plus complexe.

Supposez que 𝐴 et 𝐵 sont deux événements incompatibles. Étant donné que la probabilité de 𝐴 barre est de 0,61 et que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est de 0,76, déterminez la probabilité de 𝐵.

Rappelons tout d’abord que 𝐴 barre signifie le complément de l’événement 𝐴 et que la notation pour une union signifie qu’on examine 𝐴 ou 𝐵. Puisque ces deux événements sont incompatibles, nous pouvons rappeler la règle d’addition. La probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Nous connaissons la probabilité de 𝐴 union 𝐵. C’est donné dans la question ; c’est 0,76. Et c’est la probabilité de 𝐵 que nous devons déterminer. Mais pour ce faire, nous devons d’abord calculer la probabilité de 𝐴.

On peut résoudre ce problème, sachant que la somme des probabilités d’un événement et son complément est toujours égale à un. On a alors que la probabilité de 𝐴 plus 0,61, qui est la probabilité donnée dans la question pour la probabilité du complément de 𝐴, est un. Et donc, la probabilité de 𝐴 est un moins 0,61, ce qui est égal à 0,39. Si on substitue de nouveau cela dans la règle d’addition, on obtient 0,76 est égal à 0,39 plus la probabilité de 𝐵. Donc, la probabilité de 𝐵 est de 0,76 moins 0,39, ce qui est égal à 0,37. Rappelons que, on ne peut appliquer cette règle d’addition que parce que les événements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles.

Dans notre prochain problème, nous allons utiliser une application de l’une des lois de De Morgan. Elle stipule que pour deux événements 𝐴 et 𝐵, qui ne sont pas nécessairement incompatibles, l’union de 𝐴 barre et 𝐵 barre est égale au complément de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵. Il pourrait être utile de visualiser celui-ci sur un diagramme de Venn. Et rappelons que, les événements ne doivent pas nécessairement être incompatibles dans ce cas. Le complément de 𝐴 est tout ce qui n’est pas dans le cercle 𝐴. Le complément de 𝐵 est tout ce qui n’est pas dans le cercle 𝐵. L’union de ces deux régions est n’importe quelle zone où nous avons mis un point, qui est l’espace échantillon sauf 𝐴 intersection 𝐵. Nous avons ombragé tout le reste, donc c’est le complément de 𝐴 intersection 𝐵.

Si 𝐴 et 𝐵 sont deux événements incompatibles d’un espace échantillon d’une expérience aléatoire, déterminez la probabilité de 𝐴 barre union 𝐵 barre.

Pour résoudre ce problème, nous devons rappeler l’une des lois de De Morgan : 𝐴 barre union 𝐵 barre est équivalent au complément de 𝐴 intersection 𝐵. Et donc, il s’ensuit que la probabilité de 𝐴 barre union 𝐵 barre est la probabilité du complément de 𝐴 intersection 𝐵. Maintenant, cette loi est toujours vraie. Mais ces deux évènements dans cette question sont incompatibles. Et nous savons que pour les événements incompatibles, leur intersection est l’ensemble vide. Cela signifie que le complément de leur intersection est tout l’espace échantillon, qui a une probabilité de un.

Ou plus concrètement, on peut dire que la probabilité du complément de 𝐴 intersection 𝐵 est égale à un moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. C’est un moins zéro, qui est égal à un. Ainsi, en rappelant la loi de De Morgan et que pour les événements incompatibles la probabilité de leur intersection est de zéro, nous avons constaté que pour les deux événements incompatibles 𝐴 et 𝐵, la probabilité de 𝐴 barre union 𝐵 barre est égale à un.

Prenons maintenant un exemple dans lequel nous allons utiliser une autre loi de probabilité.

Supposez que 𝐴 et 𝐵 sont deux événements incompatibles. Si la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est de 0,52, déterminez la probabilité de 𝐴.

Nous rappelons tout d’abord que l’événement 𝐴 moins 𝐵 contient tous les éléments de l’espace échantillon qui appartiennent à l’ensemble 𝐴 mais pas à l’ensemble 𝐵. Cela est équivalent à l’intersection de 𝐴 et du complément de 𝐵. Nous rappelons également une loi générale : la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de l’intersection de 𝐴 et 𝐵. Nous avons donc 0,52 est égal à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵.

Mais on nous a donné une autre information clé dans la question que nous n’avons pas encore utilisée. Ces deux événements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles. Nous savons que pour les événements incompatibles, la probabilité de leur intersection est nulle car ils ne peuvent pas se produire en même temps. Donc, la probabilité de 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐴 moins 𝐵. Soit 0,52.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment déterminer des probabilités lorsque l’espace échantillon est l’union de trois événements incompatibles.

Supposez que 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont trois événements incompatibles dans un espace échantillon 𝑆. Si 𝑆 est l’union de 𝐴, 𝐵 et 𝐶, la probabilité de 𝐴 est un cinquième de la probabilité de 𝐵, et la probabilité de 𝐶 est quatre fois la probabilité de 𝐴, déterminez la probabilité de 𝐵 union 𝐶.

La première information clé que nous avons est que l’espace échantillon est l’union de ces trois événements incompatibles. Cela signifie que ces trois événements occupent entièrement l’espace échantillon sans chevauchement. Et donc, la somme de leurs probabilités est égale à un. On nous dit aussi que la probabilité de 𝐴 est un cinquième de la probabilité de 𝐵 et que la probabilité de 𝐶 est quatre fois la probabilité de 𝐴, donc c’est quatre cinquièmes fois la probabilité de 𝐵. Nous pouvons donc écrire une équation en utilisant uniquement la probabilité de 𝐵. Un cinquième de la probabilité de 𝐵 plus la probabilité de 𝐵 plus quatre cinquièmes, de la probabilité de 𝐵 égale un.

Lorsqu’on simplifie, on obtient un cinquième, un et quatre cinquièmes comme coefficients. Donc, on a deux fois la probabilité de 𝐵 est égal à un. Et si on divise par deux, on obtient que la probabilité de 𝐵 est égale à un-demi. Maintenant, la question nous demande de déterminer la probabilité de 𝐵 union 𝐶, et nous devons donc rappeler la règle d’addition pour les événements incompatibles. Elle stipule que la probabilité de leur union est égale à la somme de leurs probabilités individuelles. Nous connaissons la probabilité de 𝐵. C’est un demi, donc il ne reste plus qu’à calculer la probabilité de 𝐶.

Nous avons déjà exprimé la probabilité de 𝐶 comme quatre cinquièmes de la probabilité de 𝐵, il s’agit donc de quatre cinquièmes fois un demi, soit quatre dixièmes. Si on utilise la règle d’addition pour des événements incompatibles, la probabilité de 𝐵 union 𝐶 est égale à un demi plus quatre dixièmes. Et si on considère un demi comme une fraction équivalente à cinq dixièmes, on a une probabilité totale de neuf dixièmes. Rappelons que, nous avons utilisé la règle d’addition et le fait que la somme des trois probabilités est égale à un uniquement parce que les trois événements 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont incompatibles.

Passons maintenant en revue les points clés que nous avons abordés dans cette vidéo. Deux évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps ou on pourrait dire qu’il n’y a pas de chevauchement entre les deux évènements. Plus formellement, l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble vide 𝜙. Et donc, la probabilité de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵 est égale à zéro. La loi d’addition pour les événements incompatibles stipule que la probabilité de l’union des événements 𝐴 et 𝐵 est la somme de leurs probabilités individuelles, la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵.

Nous avons également vu que pour les événements incompatibles, la probabilité de 𝐴 moins 𝐵, c’est-à-dire la probabilité de l’événement 𝐴 mais pas de l’événement 𝐵, est égale à la probabilité de 𝐴 qui est une adaptation de la règle générale qui stipule que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵. En effet, pour des événements incompatibles, la probabilité de leur intersection est nulle. On peut utiliser ces règles ainsi que des règles de probabilité plus élémentaires, telles que les règles sur les compléments, pour résoudre une grande variété de problèmes sur des évènements incompatibles.

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