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Vidéo de question : Trouver le vecteur de moment total de deux forces par rapport à l’origine en trois dimensions Mathématiques

Sur la figure, si les forces 𝐅₁ = −7𝐢 - 𝐣 + 3𝐤 et 𝐅₂ = −7𝐢 + 8𝐣 - 6𝐤 agissent sur le point 𝐴, où 𝐅₁ et 𝐅₂ sont mesurées en newtons, déterminez le vecteur moment de la résultante par rapport au point 𝑂 en newton-centimètres.

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Transcription de vidéo

Sur la figure, si les forces 𝐅 un égal à moins sept 𝐢 moins 𝐣 plus trois 𝐤 et 𝐅 deux égal à moins sept 𝐢 plus huit 𝐣 moins six 𝐤 agissent sur le point 𝐴, où 𝐅 un et 𝐅 deux sont mesurées en newtons, déterminez le vecteur moment de la résultante autour du point 𝑂 en newton centimètres.

Donc, dans notre schéma, nous avons ce qui ressemble à trois tuyaux reliés ensemble. Et cet objet est positionné sur un repère d’axes en trois dimensions. Nous avons l’axe des 𝑥 pointant vers la droite, l’axe des 𝑦 pointant vers le haut et l’axe des 𝑧 pointant vers l’extérieur de l’écran. Nous avons également reçu quelques mesures, qui décrivent la hauteur, la largeur et la profondeur de l’objet. Et nous pouvons également voir que deux points, 𝑂 et 𝐴, ont été étiquetés. 𝑂 est l’origine de nos axes. Et la question nous dit que 𝐴 est le point auquel deux forces, 𝐅 un et 𝐅 deux, agissent.

Dans cette question, on nous demande de déterminer le vecteur moment de la force résultante autour du point 𝑂. Nous pouvons donc décomposer cette question en deux parties. Tout d’abord, nous devons trouver la force résultante. Et une fois que nous avons fait cela, nous devons déterminer le vecteur moment produit par cette résultante autour du point 𝑂. Dans cette question, comme il n’y a que deux forces agissant, 𝐅 un et 𝐅 deux, nous savons que la force résultante doit faire référence à la résultante de ces forces.

Maintenant, pour trouver la résultante de deux forces, nous devons simplement trouver leur somme vectorielle. En d’autres termes, la force résultante ou totale 𝐅 𝑇 est égale à la somme de 𝐅 un et 𝐅 deux. Si nous commençons par les composantes 𝑥, nous pouvons voir que 𝐅 un a une composante 𝑥 de moins sept 𝐢 et 𝐅 deux a également une composante 𝑥 de moins sept 𝐢. La somme de ceux-ci est moins 14𝐢. Ensuite, en regardant les composantes 𝑦 de 𝐅 un et 𝐅 deux, 𝐅 un a une composante 𝑦 de moins 𝐣 et 𝐅 deux a une composante 𝑦 de plus huit 𝐣. La somme de ceux-ci est sept 𝐣. Et enfin, en regardant les composantes 𝑧, nous avons plus trois 𝐤 et moins six 𝐤, qui somme à moins trois 𝐤. Voici donc la force résultante.

Nous pouvons représenter cette idée en traçant des vecteurs de force sur notre diagramme. Puisque les deux forces 𝐅 un et 𝐅 deux agissent au même point, leur effet global sur le système est le même que l’effet de leur force résultante 𝐅 𝑇. Cela signifie que lorsque nous déterminons le vecteur de moment qui est produit par cette résultante autour du point 𝑂, nous trouvons en fait le moment total qui est produit par les deux forces ensemble.

Pour ce faire, rappelons que le vecteur moment 𝐌 produit par une force agissant en un point est égal au produit vectoriel du vecteur de déplacement 𝐑 et du vecteur force 𝐅. 𝐑 est le vecteur de déplacement du point auquel la force agit, par rapport au point sur lequel nous calculons des moments. Dans cette question, nous voulons calculer le moment par rapport à l’origine 𝑂 pour les forces agissant au point 𝐴. Donc 𝐑 est le vecteur de déplacement qui nous emmène de l’origine au point 𝐴. Et puisque nous cherchons à trouver le moment qui est produit par la force résultante, le vecteur de force que nous utilisons est 𝐅 𝑇, que nous avons calculé.

Si nous voulons trouver le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 𝑇, nous devons d’abord trouver les composantes de 𝐑. Et nous pouvons le faire en utilisant les mesures données dans le diagramme. Et puisque nous avons trouvé la force résultante, retirons 𝐅 un et 𝐅 deux de notre diagramme pour le rendre un peu plus clair.

Pour trouver le vecteur de déplacement 𝐑, réfléchissons à la façon dont nous passerions de l’origine au point 𝐴. Une façon de le faire est d’imaginer voyager le long de ce système de trois tuyaux. Donc, à partir de l’origine, nous pourrions voyager jusqu’au sommet du premier tuyau. Et nous pouvons voir sur la figure qu’il s’agit d’un déplacement de 12 centimètres dans le sens 𝑦 positif. Et voyager d’ici à la fin du prochain tuyau impliquerait un déplacement de huit centimètres dans le sens 𝑧 positif. Et enfin, voyager d’ici à 𝐴 impliquerait un déplacement de neuf centimètres dans le sens 𝑥 positif. Ainsi, au total, le vecteur de déplacement 𝐑 a une composante 𝑥 positive de neuf centimètres, une composante 𝑦 positive de 12 centimètres et une composante 𝑧 positive de huit centimètres.

Donc, en notation vectorielle, 𝐑 est égal à neuf 𝐢 plus 12𝐣 plus huit 𝐤. Nous pouvons donc maintenant trouver le vecteur de moment total en trouvant le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 𝑇. Ici, nous pouvons noter que parce que 𝐑 est exprimé en centimètres et 𝐅 𝑇 est exprimé en newtons, lorsque nous calculons le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 𝑇, le résultat sera exprimé en newton centimètres, qui sont les unités qui nous sont demandées à utiliser dans la question.

Pour calculer le produit vectoriel de ces deux vecteurs, nous devons trouver le déterminant d’une matrice trois-trois, où les éléments de la rangée supérieure sont les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Les éléments de la rangée du milieu sont les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur 𝐑, exprimées sans leurs vecteurs unitaires. Et les éléments de la rangée du bas sont les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur 𝐅 𝑇, également exprimées sans vecteurs unitaires.

Notez que l’ordre dans lequel ces vecteurs sont écrits est important. Le premier vecteur se situe dans la rangée du milieu et le deuxième vecteur dans la rangée du bas. Cela signifie que le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 𝑇 n’est pas le même que le produit vectoriel de 𝐅 𝑇 et 𝐑. Nous devons donc faire attention à nous rappeler l’ordre du vecteur de déplacement et du vecteur de force chaque fois que nous rappelons cette équation.

En revenant à notre calcul, nous pouvons maintenant remplir les composantes des deux vecteurs 𝐑 et 𝐅 𝑇. Rappelez-vous que nous écrivons ces composantes sans leurs vecteurs unitaires. Donc 𝐑 a une composante 𝑥 de neuf, une composante 𝑦 de 12 et une composante 𝑧 de huit. Et 𝐅 𝑇 a une composante 𝑥 de moins 14, une composante 𝑦 de sept et une composante 𝑧 de moins trois.

Le calcul de ce déterminant se fait en trois parties. Premièrement, nous avons le vecteur unitaire 𝐢 qui est multiplié par 12 fois moins trois moins huit fois sept. Ensuite, nous soustrayons le vecteur unitaire 𝐣 qui est multiplié par neuf fois moins trois moins huit fois moins 14. Et enfin, nous ajoutons à cela le vecteur unitaire 𝐤 multiplié par neuf fois sept moins 12 fois moins 14.

Nous pouvons maintenant simplifier chacun de ces termes. 12 fois moins trois est moins 36. Et nous soustrayons ensuite huit fois sept, soit 56. Et moins 36 moins 56 est moins 92, ce qui nous laisse moins 92𝐢. En regardant le prochain terme, neuf fois moins trois est moins 27. Et nous soustrayons ensuite huit fois moins 14, ce qui est moins 112. La soustraction de moins 112 est bien sûr la même chose que l’ajout de 112. Et moins 27 plus 112 est 85. Donc, au total, ce terme se simplifie en moins 85𝐣.

Ensuite, en regardant le troisième et dernier terme, nous en avons neuf fois sept, soit 63. Et nous soustrayons 12 fois moins 14, ce qui est moins 168. Encore une fois, nous soustrayons un nombre négatif. Donc, c’est la même chose que d’ajouter 168. Et 63 plus 168 est 231. Donc, au total, ce dernier terme est de 231𝐤. Voici donc notre réponse finale.

Le moment total produit autour du point 𝑂 est moins 92𝐢 moins 85𝐣 plus 231𝐤. Puisque nous avons exprimé 𝐑 en centimètres et 𝐅 𝑇 en newtons, notre résultat, qui est le produit vectoriel de ces deux vecteurs, est exprimé en newton centimètres.

Il convient de noter que nous aurions pu obtenir la même réponse en calculant le moment produit par la force 𝐅 un et le moment produit par la force 𝐅 deux séparément, puis en les additionnant pour trouver le moment total. Cependant, cela aurait pris plus de temps car cela impliquerait de calculer deux produits vectoriels, un pour 𝐅 un et un pour 𝐅 deux. Comme ces deux forces agissaient au même point, il est plus rapide dans ce cas de simplement additionner les deux forces et de trouver leur force résultante, puis de calculer un seul produit vectoriel. Cependant, dans les cas où nous avons des forces agissant en différents points sur un objet, nous ne pourrions pas utiliser ce raccourci. Nous devrions plutôt calculer le moment produit par chaque force, puis additionner ces moments ensemble pour trouver leur moment résultant.

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