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Dans un réacteur à fission nucléaire, le modérateur est un matériau utilisé pour ralentir les neutrons libres dans le cœur du réacteur, ce qui augmente la probabilité qu’ils provoquent la fission d’un noyau d’uranium. Les neutrons doivent avoir des énergies cinétiques d’environ 0,0400 électron-volts. Quelle est la longueur d’onde de Broglie d’un neutron ayant cette énergie cinétique ? Utilise une valeur de 1,67 fois 10 puissance moins 27 kilogrammes pour la masse au repos d’un neutron et une valeur de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joules-secondes pour la constante de Planck. Donne ta réponse en notation scientifique à deux décimales près.
Bien que cette question contienne des informations intéressantes sur la fission nucléaire, on recherche ici la longueur d’onde de Broglie d’un neutron ayant une énergie cinétique particulière. Pour ce faire, on nous donne également la masse du neutron et la valeur de la constante de Planck. La seule autre information dont on aura besoin sera la formule de la longueur d’onde de Broglie. Cette formule relie la longueur d’onde et la quantité de mouvement d’une particule lorsque la longueur d’onde est égale à la constante de Planck divisée par la quantité de mouvement.
Or, pour utiliser cette formule, on a besoin de la quantité de mouvement de la particule. Mais on ne connait pas la quantité de mouvement de notre neutron. On connait son énergie cinétique et sa masse. Heureusement, il existe une formule simple qui relie ces trois grandeurs. Pour une particule non relativiste, l’énergie cinétique est égale au carré de la quantité de mouvement divisée par deux fois la masse. Et cette formule est issue de l’expression disant que l’énergie cinétique est égale à la moitié de la masse multipliée par la vitesse au carré. Par ailleurs, si on utilise l’énergie et la masse données pour trouver la vitesse de ces neutrons, on constatera que leur vitesse est environ cinq ordres de grandeur plus basse que la vitesse de la lumière. Ainsi, l’hypothèse non relativiste est valide.
En multipliant les deux côtés par deux fois la masse, on obtient que deux 𝑚𝐸 est égal à 𝑃 au carré. Et en prenant la racine carrée des deux côtés, on voit que la quantité de mouvement est égale à la racine carrée de deux fois la masse multipliée par l’énergie cinétique. En substituant cela à la formule de la longueur d’onde de Broglie, on arrive à une formule pour la longueur d’onde en utilisant uniquement les grandeurs qui nous sont données: la constante de Planck, la masse au repos d’un neutron et l’énergie cinétique du neutron.
Avant de substituer ces valeurs dans cette expression, on remarque que la masse est donnée en kilogrammes et la constante de Planck est donnée en joule-secondes. Les deux sont des unités de base du système international. Donc, avant de remplacer les valeurs dans la formule, il faut convertir l’énergie cinétique du neutron, donnée en électron-volts, en unités de base du système international, c’est-à-dire, les joules. Un électron-volt vaut 1,60 fois 10 puissance moins 19 joules. Donc, 0,0400 électron-volt valent 6,40 fois 10 puissance moins 21 joules.
Faisons ici un peu de place afin de pouvoir substituer ces valeurs dans notre expression de la longueur d’onde. On a 6,63 fois 10 puissance moins 34 joules-secondes divisé par la racine carrée de deux fois 1,67 fois 10 puissance moins 27 kilogrammes fois 6,40 fois 10 puissance moins 21 joules. Lorsque l’on tape cela sur une calculatrice et que l’on arrondit ensuite à deux décimales près, on obtient 1,43 fois 10 puissance moins 10. Et on sait que les unités de cette réponse sont des mètres, car on calcule une longueur d’onde qui a des unités de longueur. Et toutes les unités que l’on a utilisées, joules, secondes et kilogrammes, sont des unités de base du système international. Ainsi, leur combinaison doit également produire une unité de base du système international, dans ce cas le mètre, qui est l’unité de base de la longueur dans le système international. Ainsi, les neutrons de ce réacteur ont des longueurs d’ondes de Broglie de 1,43 fois 10 puissance moins 10 mètres.