Transcription de la vidéo
Titan est la plus grande lune de Saturne. En supposant que Titan suive une orbite circulaire, avec un rayon de 1220000 kilomètres et une vitesse orbitale de 5,57 kilomètres par seconde, calculez la masse de Saturne. Utilisez une valeur de 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cubes par kilogramme par seconde au carré pour la constante gravitationnelle universelle. Donnez votre réponse en notation scientifique à deux décimales près.
Ici, nous considérons Titan, une lune avec une orbite circulaire, un cas particulier, autour de Saturne. On nous a dit de calculer la masse de Saturne. Et au début, cela peut sembler assez compliqué. Mais nous pouvons le faire en appliquant des principes mathématiques assez simples que nous connaissons déjà.
Voyons de plus près ce que nous savons déjà sur le système. Nous connaissons le rayon orbital de Titan, que nous appellerons 𝑟, et sa vitesse orbitale, que nous appellerons 𝑣, ainsi que la valeur de la constante gravitationnelle universelle, représentée par 𝐺. Rappelons que ce sont trois des quatre termes de la formule de la vitesse orbitale 𝑣 est égal à la racine carrée de 𝐺𝑀 divisé par 𝑟. Il ne nous manque plus que 𝑀, qui représente la masse du grand corps au centre de l’orbite ou, dans ce cas, la masse de Saturne.
Donc, pour calculer la masse de Saturne, commençons par copier la formule ici et calculons 𝑀. Nous allons mettre les deux côtés de la formule au carré pour annuler le radical sous lequel apparaît 𝑀. Ensuite, nous multiplierons les deux côtés de la formule par 𝑟 divisé par 𝐺 pour annuler ces termes ici et isoler 𝑀. Maintenant, en écrivant ceci un peu plus proprement, nous avons trouvé que 𝑀 est égal à 𝑟𝑣 au carré divisé par 𝐺.
Mais avant de pouvoir remplacer ces termes dans la formule, nous devons nous assurer qu’ils sont tous exprimés en unités de base SI. Notez que le rayon orbital est actuellement écrit en kilomètres, donc nous devons le convertir en mètres. Rappelons donc qu’un kilomètre équivaut à 1000 mètres. Maintenant, nous allons multiplier 𝑟 par ce facteur de conversion, qui lui-même est égal à un. Nous pouvons donc annuler les kilomètres. Et nous avons 𝑟 est égal à 1220000000 mètres ou en notation scientifique 1,22 fois 10 puissance neuf mètres.
Maintenant, en regardant la vitesse orbitale, elle est écrite en kilomètres par seconde, convertissons-les en mètres par seconde. Encore une fois, rappelez-vous qu’un kilomètre équivaut à 1000 ou 10 puissance trois mètres. Faisons donc cette substitution au numérateur. Et nous avons 𝑣 est égal à 5,57 fois 10 puissance trois mètres par seconde. Ensuite, nous pouvons voir que 𝐺 est déjà exprimé en mètres, kilogrammes et secondes, qui sont toutes des unités de base SI. Maintenant, toutes ces valeurs sont prêtes à être substituées dans la formule 𝑀 est égal à 𝑟 fois 𝑣 au carré divisé par 𝐺.
Enfin, en calculant et en arrondissant à deux décimales près, nous trouvons que la masse de Saturne est de 5,67 fois 10 puissance 26 kilogrammes.