Vidéo de question : Simplifier et déterminer l’ensemble de définition du produit de deux fonctions rationnelles Mathématiques

Simplifiez la fonction définie par 𝑛 (𝑥) = ((𝑥³ + 343) / (2𝑥² + 14𝑥)) × ((𝑥 + 3) / (𝑥² - 7𝑥 + 49)), et déterminez son ensemble de définition.

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Transcription de vidéo

Simplifiez la fonction définie par 𝑛 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube plus 343 sur deux 𝑥 carré plus 14𝑥 fois 𝑥 plus trois sur 𝑥 carré moins sept 𝑥 plus 49, et déterminez son domaine de définition.

En inspectant 𝑛 de 𝑥 attentivement, nous remarquons qu’il s’agit du produit de deux fonctions rationnelles, une fonction rationnelle étant bien sûr le quotient d’une paire de polynômes. Alors, rappelons comment trouver un ensemble de définition lorsque nous travaillons avec une fonction qui est elle-même la combinaison de deux fonctions ou plus. Nous nous rappelons d’abord que l’ensemble de définition est simplement l’ensemble des entrées possibles de la fonction. Lorsque nous avons affaire à l’ensemble d’une fonction composée d’une combinaison de fonctions, nous devons déterminez l’intersection des ensembles de définition de ces fonctions respectives. Ainsi, si nous définissons la première fraction comme étant 𝑓 de 𝑥, nous savons que nous devons trouver l’ensemble de définition de ces fonctions individuellement, puis trouver leur intersection pour trouver le domaine de 𝑛 de 𝑥. Nous allons effectuer cette étape avant de simplifier la fraction.

Alors, commençons par réfléchir à l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. Nous avons dit que 𝑓 de 𝑥 est une fonction rationnelle. Nous pouvons dire que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble des nombres réels à l’exception de toute valeur de 𝑥 qui rend le dénominateur égal à zéro. Ainsi, l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble des nombres réels à l’exception de toutes les valeurs de 𝑥 qui rendent deux 𝑥 au carré plus 14𝑥 égaux à zéro. Pour trouver de telles valeurs de 𝑥, nous allons résoudre l’équation deux 𝑥 au carré plus 14𝑥 est égal à zéro. Puisque le côté gauche partage un facteur commun de deux 𝑥, nous factorisons pour obtenir deux 𝑥 fois 𝑥 plus sept est égal à zéro. Ensuite, pour que le produit de ces deux expressions soit nul, nous savons que l’une ou l’autre des expressions elle-même doit être nulle. Autrement dit, deux 𝑥 est égal à zéro, ce qui signifie 𝑥 est égal à zéro, ou 𝑥 plus sept est égal à zéro, ce qui signifie 𝑥 est égal à moins sept.

Ce sont les valeurs de 𝑥 que nous choisissons d’exclure de l’ensemble de définition de la fonction. Ainsi, l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble contenant moins sept et zéro. Répétons ce processus pour 𝑔 de 𝑥. Encore une fois, il s’agit d’une fonction rationnelle. Son ensemble de définition sera donc l’ensemble des nombres réels ne comprenant pas ceux qui rendent le dénominateur égal à zéro. Pour trouver les valeurs que nous devons exclure, nous fixons le dénominateur à zéro et résolvons pour 𝑥. Ainsi, 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49 est égal à zéro. Or, cette expression, 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49, ne peut pas être factorisée. En effet, il n’y a pas de nombres qui se multiplient pour faire 49 et qui s’ajoutent pour faire moins sept. En fait, nous pouvons approfondir cette question en examinant le discriminant de ce polynôme.

Pour une expression du second degré de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, le discriminant vaut 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐. Dans ce cas, cela donne moins sept au carré moins quatre fois une fois 49. Soit moins 147. Nous obtenons un nombre négatif. Il est inférieur à zéro. Cela signifie que l’équation 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49 égale zéro n’a pas de solutions réelles. Il n’y a donc pas de valeurs de 𝑥 qui rendent 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49 égal à zéro. Cela nous arrange parce que cela signifie qu’il n’y a pas de valeurs de 𝑥 que nous devons exclure de notre domaine. L’ensemble de définition de 𝑔 de 𝑥 est simplement l’ensemble des nombres réels. Ainsi, nous pouvons maintenant identifier le domaine de 𝑛 de 𝑥. Il s’agit de l’intersection des deux domaines. En d’autres termes, il s’agit de l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble contenant moins sept et zéro.

Maintenant que nous avons le domaine de 𝑛 de 𝑥, nous sommes prêts à simplifier. Remplaçons le dénominateur de 𝑓 de 𝑥 par sa forme factorisée, deux 𝑥 fois 𝑥 plus sept. Nous le faisons parce que lorsque nous simplifions une fonction, nous voulons factoriser autant que possible. Cela nous permettra ensuite d’identifier les facteurs communs que nous pouvons annuler. Nous avons déjà dit que 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49 ne peut pas être factorisée, pas plus que l’expression 𝑥 plus trois. Cependant, qu’en est-il de 𝑥 cube plus 343 ? En fait, nous savons que 343 est sept au cube. Nous pouvons donc utiliser la formule de la somme de deux cubes. Autrement dit, 𝑥 cube plus 𝑦 cube peut être écrit comme 𝑥 plus 𝑦 fois 𝑥 carré moins 𝑥𝑦 plus 𝑦 carré.

Pour identifier comment factoriser 𝑥 au cube plus 343, nous l’écrivons comme 𝑥 au cube plus sept au cube. Cela signifie que nous pouvons ensuite utiliser la formule pour obtenir 𝑥 plus sept sur 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus sept au carré, que nous pouvons ensuite écrire comme 𝑥 plus sept fois 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49. Maintenant, nous pouvons réécrire 𝑛 de 𝑥 en utilisant la forme factorisée de 𝑥 au cube plus 343. La raison pour laquelle nous faisons cela est parce que nous pouvons maintenant commencer à chercher des facteurs communs que nous pouvons annuler. Par exemple, prenez 𝑥 plus sept au numérateur et au dénominateur de notre fraction. Puisque nous avons exclu 𝑥 est égal à moins sept de notre domaine, nous ne divisons jamais zéro par zéro, ce qui est indéfini. Ainsi, 𝑥 plus sept divisé par 𝑥 plus sept donnera toujours un.

De même, nous annulons les 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49. Nous voyons qu’il reste un sur deux 𝑥 fois 𝑥 plus trois sur un. Enfin, tout ce que nous devons faire est de multiplier les fractions en multipliant leurs numérateurs et en multipliant séparément leurs dénominateurs. Cela nous donne 𝑥 plus trois sur deux 𝑥. Ainsi, 𝑛 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus trois sur deux 𝑥. L’ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble contenant moins sept et zéro.

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