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Vidéo de la leçon : Résolution d’équations linéaires simultanées à l’aide de la substitution algébrique Mathématiques

Savoir utiliser la méthode de substitution algébrique pour résoudre deux équations linéaires simultanées. Nous faisons d’une variable le sujet dans une équation et nous l’utilisons pour remplacer la variable dans l’autre, donnant une équation avec une seule inconnue qui peut être résolue.

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Transcription de vidéo

Ici, dans cette vidéo, nous allons utiliser le processus de substitution algébrique pour résoudre des systèmes d’équations linéaires. C’est un processus qui ne représente pas toujours la méthode la plus appropriée, mais il peut être vraiment utile. Donc, nous verrons quelques exemples où ce processus est bien adapté, et d’autres où il rend en fait les choses plus difficiles.

Rappelez-vous maintenant que chaque point appartenant à une droite représente une solution unique et différente de l’équation qui représente cette droite. Ainsi, par exemple, pour ce point ici, j’ai une valeur de 𝑥. Donc, si je mets une valeur de 𝑥 égale à quatre dans cette équation, la valeur correspondante de 𝑦 sera un. Si je mets une valeur de 𝑥 égale à sept dans l’équation, la valeur correspondante de 𝑦 qui vérifie l’équation sera zéro. Et comme déjà indiqué, chaque point appartenant à cette droite représente une combinaison unique de valeurs de 𝑥 et 𝑦, alors lorsque j’ajoute la valeur de 𝑥 à trois fois la valeur de 𝑦, je vais obtenir la réponse sept. Et pour l’autre droite d’équation 𝑥 plus 𝑦 égale trois, encore une fois, tous les points de cette droite représentent une combinaison unique de valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui ont une somme de trois.

Donc 𝑥 est moins un, 𝑦 est quatre ; ces valeurs ont une somme de trois. Si 𝑥 est deux et 𝑦 est un, alors leur addition nous donne trois et ainsi de suite. Mais ce qui est si spécial à propos des systèmes d’équations, c’est que dans ce cas particulier qui comporte deux droites, nous avons une paire de valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui correspondent à ces deux équations. Elles donnent trois lorsque vous les additionnez. Mais si vous ajoutez trois fois la coordonnée 𝑦 à la coordonnée 𝑥. Elles sont égales à sept aussi. C’est ce point ici sur le graphique où les deux droites se coupent. Donc, résoudre des systèmes d’équations consiste à trouver le point où ces droites se coupent.

Voici donc une question.

Utilisez la substitution algébrique pour résoudre le système d’équations 𝑦 égale trois 𝑥 moins deux et 𝑥 égale trois 𝑦 moins dix. Alors, on nous dit la méthode spécifique que nous devons utiliser et on nous indique qu’il s’agit d’un système d’équations. Maintenant, c’est toujours bien quand vous numérotez vos équations afin que vous puissiez vous référer à ces numéros lorsque vous expliquez votre raisonnement. Mais j’aime mettre une petite accolade pour indiquer que ces deux choses sont vraies simultanément. Et tout le monde ne fait pas ça, mais c’est juste que je trouve que c’est une bonne astuce pour exprimer l’idée de la simultanéité des équations. Maintenant, la méthode de la substitution implique l’utilisation de la première équation, où 𝑦 égale ce tas de choses ici, donc trois 𝑥 [moins] deux. Alors, la substitution consiste à dire - eh bien dans la seconde équation, nous remplacerons 𝑦 par tout ce tas de choses parce que ces deux choses sont vraies en même temps. Ainsi, alors que 𝑦 est représenté dans la seconde équation, nous voulons également que ce soit égal à trois 𝑥 moins deux. Donc, dans ce cas, nous allons prendre la valeur de 𝑦 dans l’équation et substituer 𝑦 dans la seconde équation.

Et nous pourrions le faire dans l’autre sens si nous voulions. L’équation numéro deux dit que 𝑥 égale trois 𝑦 moins dix. Nous aurions donc pu remplacer 𝑥 dans la première équation par trois 𝑦 moins dix. Donc, peu importe dans quelle direction vous le faites tant que vous remplacez complètement la lettre dont vous essayez de vous débarrasser. Alors maintenant, nous avons une équation ici. Appelons cette équation numéro trois, qui est purement en fonction de 𝑥. Donc, nous allons être en mesure de trouver une solution unique à celle-ci en 𝑥. Donc, en utilisant la distributivité de la multiplication, 𝑥 égale trois fois trois 𝑥 ; c’est donc neuf 𝑥 et trois fois moins deux, ce qui vaut moins six. Puis, nous devons en retirer dix aussi. Donc 𝑥 est égal à neuf 𝑥 moins six moins dix ; c’est neuf 𝑥 moins seize. Maintenant, je veux mettre tous les 𝑥 du même côté. Et c’est généralement une bonne idée d’avoir un nombre positif de 𝑥 lorsque nous faisons cela. Donc, je vais juste soustraire un 𝑥 des deux côtés, me laissant alors avec huit 𝑥 sur le membre de droite et sans 𝑥 sur le membre de gauche. Donc, nous soustrayons 𝑥 des deux côtés et comme nous l’avons dit 𝑥 moins 𝑥 sur le membre de gauche, cela nous donne zéro. Et neuf 𝑥 moins 𝑥 sur le membre de droite nous donne huit 𝑥. Maintenant, je peux ajouter seize des deux côtés pour se débarrasser de ce nombre du membre de droite. Et sur le membre de gauche, zéro plus seize n’est que seize. Et à droite, moins seize plus seize vaut zéro. Nous nous retrouvons donc avec seize égale huit 𝑥. Maintenant, je veux savoir ce que vaut 𝑥. Donc, si je divise les deux côtés par huit, sur le membre de gauche, seize divisé par huit fait deux. Et sur le membre de droite, les huit s’éliminent pour avoir 𝑥 uniquement. Donc, je sais que 𝑥 est égal à deux. Maintenant, je veux savoir 𝑦 est égal à quoi. Mais rappelez-vous que l’équation numéro un est 𝑦 égale trois 𝑥 moins deux. Donc, si je remplace cette valeur de 𝑥 dans l’équation un, j’obtiendrai immédiatement la valeur de 𝑦. Donc 𝑦 est trois fois deux moins deux. Donc, ça fait six moins deux, ce qui signifie que 𝑦 est égal à quatre.

Nous pouvons maintenant vérifier nos réponses. Nous venons d’utiliser la substitution dans l’équation numéro un pour déterminer que 𝑦 était égal à quatre. Donc, je vais utiliser l’autre équation — équation deux — juste pour vérifier que mon 𝑥 et 𝑦 correspondent aux valeurs trouvées. J’ai donc substitué deux pour 𝑥 et quatre pour 𝑦. Et j’ai deux égale trois fois quatre moins dix. Donc, deux égale douze moins dix, ce qui vaut deux. C’est correct ; donc nous sommes satisfaits de notre réponse. Et donc nous pouvons simplement mettre un bel encadré autour de notre réponse pour la rendre claire et nette. Voilà donc un exemple où vous avez une équation prête à l’emploi et où 𝑦 égale une certaine valeur ; 𝑥 correspond à une certaine valeur. Et il est très facile de remplacer 𝑥 ou 𝑦 dans l’autre équation.

Passons donc à un deuxième exemple.

Utilisez la substitution algébrique pour résoudre le système d’équations 𝑥 égale deux 𝑦 plus huit et deux 𝑥 plus trois 𝑦 égale vingt-trois. Maintenant, en regardant cette première équation, nous avons 𝑥 égale quelque chose qui n’implique pas 𝑥, donc deux 𝑦 plus huit. Il y a donc une chose évidente que nous pouvons utiliser pour effectuer la substitution dans la seconde équation. Pour savoir la valeur de 𝑦 dans la seconde équation ou même ce que 𝑥 vaut en le remplaçant de nouveau dans la première, nous devrions faire un peu de travail pour réarranger l’équation. La substitution évidente consiste donc à prendre 𝑥 de l’équation numéro un et à le substituer dans l’équation deux.

Donc, la substitution est juste une question de dire que dans la première équation 𝑥 égale tout cela ici. Alors, là où nous voyons 𝑥 dans notre seconde équation, nous le remplacerons par tout cela. Maintenant, nous allons multiplier les parenthèses et résoudre cette équation pour trouver la valeur de 𝑦. Donc, deux fois deux 𝑦 est quatre 𝑦 ; deux fois huit égale seize. Nous avons encore nos trois 𝑦 et le tout est égal à vingt-trois. Maintenant, nous avons quatre 𝑦 et trois 𝑦 ; c’est donc sept 𝑦. Ainsi, sept 𝑦 plus seize est égal à vingt-trois. Si je soustrais seize des deux côtés, j’aurai juste sept 𝑦 sur le membre de gauche. Donc sept 𝑦 plus seize moins seize. Eh bien, seize moins seize égale zéro ; ils s’éliminent. Nous avons alors sept 𝑦 et vingt-trois moins seize, c’est juste sept. Donc, sept 𝑦 égale sept. Maintenant, si je divise les deux côtés par sept, je trouverai que 𝑦 égale un.

Et heureusement, notre première équation nous a indiqué la valeur de 𝑥 en fonction de 𝑦. J’ai donc juste besoin de remplacer cette valeur de 𝑦 dans cette équation et je découvrirai la valeur de 𝑥. Donc, si 𝑥 était deux fois 𝑦 plus huit et que nous savons que 𝑦 est égal à un, cela signifie que 𝑥 égale deux fois un plus huit. Donc 𝑥 vaut dix. C’est toujours une bonne idée de vérifier vos réponses, nous allons donc utiliser l’autre équation, l’équation deux, juste pour remplacer 𝑥 par dix et 𝑦 par un et vérifions simplement que tout fonctionne. Donc, si tout va bien, nous avons deux fois 𝑥 est dix plus trois fois 𝑦 est un et ce sera égal à vingt-trois. Eh bien, deux fois dix font vingt et trois fois un font trois. Alors oui c’est vrai ; on dirait que nous avons la bonne réponse. Voilà donc à peu près la méthode de substitution.

Regardons alors la question trois.

Utilisez la substitution algébrique pour résoudre le système d’équations trois 𝑥 plus trois 𝑦 égale vingt-sept et deux 𝑥 plus cinq 𝑦 égale trente-six. Maintenant, juste en regardant ceci, cette paire d’équations, ma première réaction serait — si on ne me dit pas quelle méthode utiliser — de me pencher probablement vers l’élimination. Je vais multiplier peut-être l’équation numéro un par deux et l’équation deux par trois, puis soustraire l’une de l’autre et éliminer 𝑥 de nos termes, ensuite déterminer la valeur de 𝑦 et effectuer sa substitution. Mais ce n’est pas le cas ; on nous a dit que nous allons spécifiquement utiliser la substitution algébrique. Donc, nous devons réarranger une de ces équations pour isoler soit 𝑥 ou 𝑦, puis effectuer la substitution dans l’autre équation. Maintenant, en regardant ces deux équations, je pense que je vais jouer avec l’équation un parce que les coefficients de 𝑥 et 𝑦 sont tous des trois. Et vingt-sept est un multiple de trois. Donc, si j’obtiens 𝑥 ou 𝑦 seul, je peux tout diviser par trois. Et je n’aurai pas de fractions dans cette situation. Alors, essayons cette démarche.

Je vais essayer d’isoler 𝑦. Tout d’abord, je dois me débarrasser du terme trois 𝑥. Alors, je vais soustraire trois 𝑥 des deux côtés de l’équation, donc en soustrayant trois 𝑥 de ce côté et en soustrayant trois 𝑥 de ce côté. Eh bien, soustraire trois 𝑥 du membre de gauche me laisse juste avec trois 𝑦, ensuite je vais soustraire trois 𝑥 du membre de droite. Je vais écrire moins trois 𝑥 plus vingt-sept. On pourrait dire vingt-sept moins trois 𝑥. Cela ne ferait aucune différence à long terme, mais je vais le faire pour l’instant. Voilà ce que vaut trois 𝑦. Donc, je dois tout diviser par trois afin de déterminer la valeur de 𝑦. Donc un tiers de trois 𝑦 est juste 𝑦, un tiers de moins trois 𝑥 est juste moins 𝑥 et un tiers de vingt-sept est plus neuf.

À partir de l’équation un, nous savons que 𝑦 égale moins 𝑥 plus neuf ; c’est égal à tout ça. Maintenant, nous pouvons remplacer cette version de 𝑦 moins 𝑥 plus neuf dans la seconde équation. Rappelez-vous donc que notre seconde équation était deux 𝑥 plus cinq 𝑦 égale trente-six. Donc deux 𝑥 plus cinq 𝑦 ; maintenant nous disons que 𝑦 égale tout ça. Nous allons remplacer 𝑦 par ce tout cela, et multiplier par cinq, c’est égal à trente-six. Alors maintenant, nous allons multiplier les parenthèses ici, ce qui nous donne deux 𝑥 moins cinq 𝑥 plus quarante-cinq égale trente-six et deux 𝑥 moins cinq 𝑥 égale moins trois 𝑥. Donc, je vous conseille d’ajouter trois 𝑥 des deux côtés pour avoir un nombre positif de 𝑥 quelque part. Donc, ajouter trois 𝑥 au membre de gauche me donne quarante-cinq. Et en ajoutant trois 𝑥 au membre de droite, je peux dire trois 𝑥 plus trente-six ou trente-six plus trois 𝑥. Je vais le faire de cette façon cette fois juste pour varier. Ensuite, je vais soustraire trente-six des deux côtés, juste pour avoir le terme 𝑥 seul sur le membre de droite. Donc, soustraire trente-six au membre de droite me donne évidemment trois 𝑥. En soustrayant trente-six du membre de gauche, j’obtiens quarante-cinq moins trente-six égale neuf. Donc, trois 𝑥 égale neuf. Alors maintenant, je peux diviser les deux côtés par trois pour déterminer la valeur de 𝑥. Le tiers de trois 𝑥 est un 𝑥 et le tiers de neuf est trois ; donc 𝑥 est égal à trois.

Nous avons déjà dit que 𝑦 est égal à moins 𝑥 plus neuf. Appelons cette équation trois, d’accord ? Nous utilisons l’équation numéro trois, 𝑦 égale moins 𝑥 plus neuf. Nous pouvons maintenant substituer 𝑥 égale trois dans cette équation pour découvrir la valeur de 𝑦. Donc 𝑦 est l’opposé de la valeur de 𝑥 ; soit moins trois plus neuf, ce qui est égal à six. Et maintenant, je vais vérifier ces valeurs dans l’une de mes équations d’origine juste pour voir que tout s’additionne correctement. Je vais opter pour l’équation deux. Elle semble plus intéressante. D’après l’équation deux, deux fois la valeur de 𝑥 plus cinq fois la valeur de 𝑦 égale trente-six. C’est deux fois trois plus cinq fois six, ce qui fait six plus trente. Et oui, c’est le bon résultat, trente-six. Donc, notre réponse est 𝑥 égale trois et 𝑦 égale six. Alors, quand nous avons des équations compliquées au début qui n’ont pas un simple 𝑦 égal à, ou 𝑥 égal à, que l’on peut remplacer par la valeur correspondante, alors nous aurons un peu de travail à effectuer avant que nous puissions réellement passer à la substitution. Gardez donc cela à l’esprit lorsque vous utilisez cette méthode.

Maintenant, passons à la question numéro quatre, nous devons utiliser la substitution algébrique pour résoudre le système d’équations quatre 𝑥 plus trois 𝑦 égale trois et cinq 𝑥 plus quatre 𝑦 égale trois et onze douzièmes.

Donc non seulement nous n’avons pas de valeurs claires exprimées par 𝑦 égal à ou 𝑥 égal à, mais il n’est même pas facile de les réarranger pour obtenir de nombres faciles à manipuler sans fractions. Donc, vous savez, si j’essaie d’isoler 𝑦 dans l’une ou l’autre équation, j’aurai une fraction de 𝑥 puis des nombres fractionnaires ; c’est horrible. Il s’agit donc probablement d’un exemple classique où vous n’utiliseriez pas la substitution algébrique pour résoudre le système d’équations. Je vais vous le montrer rapidement de toute façon afin que vous puissiez voir à quel point ça tourne mal et juste pour que vous puissiez l’éviter vous-même à l’avenir si vous rencontrez de telles questions et si on ne vous dit pas que vous devez utiliser la substitution algébrique telle quelle.

Donc, je vais réarranger l’équation numéro un pour isoler 𝑦. J’ai donc retiré quatre 𝑥 des deux côtés, ce qui me donne trois 𝑦, c’est trois moins quatre 𝑥, puis j’ai divisé chaque terme des deux côtés par trois. J’ai donc 𝑦 est égal à ce tas de choses ici : un moins quatre tiers de 𝑥. Et j’ai appelé cette équation trois. Donc, je vais remplacer cette version, cette valeur de 𝑦, dans l’équation numéro deux. Nous avons donc pris cette valeur de 𝑦 et nous avons remplacé 𝑦 dans l’équation par cette valeur. L’autre chose que j’ai faite ici, c’est que j’ai converti le nombre fractionnaire trois et onze douzièmes en quarante-sept sur douze. Il est généralement plus facile de faire vos calculs avec des fractions dont le numérateur est supérieur au dénominateur que de les effectuer avec des nombres fractionnaires. Alors maintenant, nous allons multiplier les parenthèses quatre fois un et quatre fois moins quatre tiers 𝑥. Cela nous donne cinq 𝑥 plus quatre moins seize tiers 𝑥 égale quarante-sept sur douze. Donc, nous avons cinq 𝑥 et nous allons enlever seize tiers de 𝑥. Donc, vraiment, nous voulons exprimer cinq 𝑥 par une fraction avec un numérateur supérieur au dénominateur et dont le dénominateur est trois pour faciliter le calcul ; donc quinze sur trois 𝑥. Donc, cinq 𝑥 est égal à quinze sur trois 𝑥. Nous avons maintenant quinze sur trois 𝑥 moins seize sur trois 𝑥. C’est donc moins un sur trois 𝑥, donc moins un tiers de 𝑥. Si j’ajoute un tiers de 𝑥 des deux côtés, alors je vais obtenir un nombre positif de 𝑥 sur le membre de droite.

Puis, je vais soustraire quarante-sept sur douze des deux côtés. Mais en même temps, je vais convertir quatre en une fraction avec un numérateur supérieur au dénominateur et dont le dénominateur est douze. Donc ça va être quarante-huit sur douze, ce qui est égal à quatre. Alors, quatre devient quarante-huit sur douze avec une soustraction de quarante-sept sur douze. Et quand je soustrais quarante-sept sur douze du membre de droite, je me débarrasse de cette fraction; je me retrouve avec un tiers de 𝑥 uniquement. Donc quarante-huit douzièmes moins quarante-sept douzièmes n’est qu’un douzième. Maintenant, pour savoir ce que vaut 𝑥, je vais multiplier les deux membres par trois. Donc 𝑥 égale trois douzièmes, ce qui est évidemment la même chose qu’un quart. Maintenant, je peux remplacer cette valeur de 𝑥 dans cette équation que nous avions ici : 𝑦 égale un moins quatre tiers de 𝑥 et cela me détermine la valeur de 𝑦. Donc 𝑦 égale un moins quatre tiers fois un quart. Eh bien, le quatre va s’effacer ici ; c’est donc un tiers. Donc 𝑦 est égal à un moins un tiers, ce qui correspond à deux tiers.

Maintenant, je vous laisse revoir les étapes et vérifier le résultat obtenu à l’aide de l’une des équations d’origine. Mais rappelez-vous, dès que vous commencez à utiliser la substitution algébrique avec des paires d’équations difficiles, ça devient assez délicat ; car le résultat contiendra beaucoup de fractions et beaucoup de nombres négatifs. Donc, tout devient un peu compliqué. Oui, donc dans l’ensemble, la méthode de substitution algébrique est intéressante dans certains cas pour les équations linéaires. Mais cela prend tout son sens lorsque vous avez une équation non linéaire et une équation linéaire. Et vous pouvez faire une substitution belle et simple de cette façon. Alors vous pouvez regarder cette vidéo particulière lors de la résolution des systèmes d’équations non linéaires à l’aide de la substitution algébrique. Merci, c’est tout pour l’instant.

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