Transcription de la vidéo
Les points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸 appartiennent à la même droite, telle que 𝐴𝐵 égale huit centimètres, 𝐵𝐶 égale 18 centimètres, 𝐶𝐷 égale 12 centimètres et 𝐷𝐸 égale 11 centimètres. Cinq forces d’intensités 40, 25, 20, 45 et 50 newtons agissent comme indiqué sur la figure. Déterminez leur résultante 𝑅 et la distance 𝑥 entre sa ligne d’action et le point 𝐴.
Sur notre figure, nous voyons ces cinq points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸 le long de la même droite. À chaque point il y a une force d’une certaine intensité et direction. La première chose que nous voulons faire ici est de déterminer la résultante 𝑅 de ces cinq forces. Cela équivaut à la somme algébrique des cinq, et nous les additionnerons selon la convention des signes ici ; les forces pointant vers le haut sont positives. Donc, cela signifie que ces deux forces doivent être négatives. La résultante 𝑅 est alors égale à 40 plus 25 moins 20 moins 45 plus 50, et cela est égal à 50. Toutes nos forces sont en unités de newtons, donc 𝑅 aussi. Nous avons alors la réponse à la première partie de notre question : 𝑅 est égal à 50 newtons.
Ensuite, ce que nous voulons faire, c’est déterminer la distance 𝑥 entre la ligne d’action de cette force résultante et le point 𝐴 sur le schéma. L’idée ici est que notre force résultante agit effectivement quelque part entre les points 𝐴 et 𝐸 sur la droite. Nous pouvons choisir un point au hasard et dire que 𝑅 agit à partir de là. Compte tenu de cela, l’énoncé du problème appelle 𝑥 la distance entre la ligne d’action de 𝑅 et le point 𝐴 ; c’est cette valeur que nous voulons calculer. Pour commencer, indiquons les distances qui nous sont données entre les points adjacents sur cette droite. En laissant de côté les unités, 𝐴𝐵 est égal à huit centimètres, 𝐵𝐶 est égal à 18, 𝐶𝐷 est 12 centimètres et 𝐷𝐸 est 11.
Sachant cela, faisons un peu d’espace à l’écran pour travailler ; nous pouvons noter que le moment autour du point 𝐴 créé par la force résultante agissant à une distance 𝑥 du point 𝐴 est égal à la somme des moments dus à toutes les autres forces agissant le long de cette ligne. Alors, en général, le moment créé par une force est égal à la composante de cette force qui est perpendiculaire à la distance entre le point d’application de la force et l’axe de rotation donné. Dans notre cas, notre axe de rotation est le point 𝐴. Lorsque nous commençons à calculer des moments autour de ce point, considérons les moments dans le sens inverse des aiguilles d’une montre comme positifs. Par conséquent, les moments dans le sens des aiguilles d’une montre sont négatifs.
Nous pouvons écrire une équation telle que le moment 𝑀 indice 𝑅 créé par notre force résultante lorsqu’elle agit à une distance 𝑥 du point 𝐴 est égal à la somme de tous les autres moments autour de ce même point, le point 𝐴. Ensuite, le moment dû à la force résultante 𝑅 est égal à cette force multipliée par 𝑥. Celui-ci est alors égal au moment dû à la force au point 𝐴 plus le moment dû à la force au point 𝐵 plus, et ainsi de suite, jusqu’au moment dû à la force au point 𝐸. Lorsque nous considérons le moment dû à la force au point 𝐴, car la ligne d’action de cette force passe par le point 𝐴, il n’y a pas de distance perpendiculaire entre la ligne d’action de la force et notre axe de rotation.
Par conséquent, même si une force non nulle agit au point 𝐴, le moment autour du point 𝐴 que cette force crée est zéro. Sur le moment dû à la force au point 𝐵, cela équivaut à la force de 25 newtons fois la distance de huit centimètres. Et ce moment sera positif car il crée un moment dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour du point 𝐴. En passant à 𝑀 indice 𝐶, ce moment sera négatif, car il est dans le sens horaire autour du point 𝐴, égal à la force de 20 newtons multipliée par une distance de 18 centimètres plus huit. Le moment dû à la force au point 𝐷 est également négatif, et son intensité est de 45 fois huit plus 18 plus 12.
Enfin, il y a le moment dû à la force au point 𝐸, qui est positif. Cela équivaut à 50 fois huit plus 18 plus 12 plus 11. Si nous additionnons tout ce qui se trouve à droite de cette expression, nous obtenons un résultat positif de 420. On peut alors dire que 𝑥, la distance que nous voulons calculer, est égale à 420 sur 𝑅. Or 𝑅 est égal à 50 newtons, et 420 divisé par 50 est égal à 8,4. Toutes les distances dans cet exemple sont mesurées en centimètres. Ainsi, la résultante 𝑅 de toutes ces forces est de 50 newtons. Et elle agit à une distance de 8,4 centimètres du point 𝐴.