Vidéo de la leçon : Fonctions paires et impaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier si une fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre, à partir d’une représentation graphique de la fonction et de sa règle.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à décider si une fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre, en considérant la représentation graphique de cette fonction et à partir de son équation. Nous allons commencer, par la définition de la parité d’une fonction. La parité décrit si une fonction est paire ou impaire. Mais qu’est-ce qu’on entend par une fonction paire ou impaire ? Eh bien, pour décider si une fonction est impaire ou paire ou ni l’un ni l’autre, la première chose à faire est de vérifier le domaine de la fonction. Il faut que le domaine de définition soit centré à l’origine. Si la réponse à cette question est non, alors la fonction ne peut être ni impaire ni paire.

Par exemple, imaginons que le domaine de définition de notre fonction soit l’intervalle ouvert de moins huit à huit. 𝑥 égale zéro est exactement à mi-chemin de cet intervalle, et donc le domaine de définition est centré à 𝑥 égale zéro. Mais qu’en est-il du domaine de définition de l’intervalle gauche-fermé droit-ouvert de moins quatre à deux ? Eh bien non. 𝑥 est égal à zéro, n’est pas exactement à mi-chemin. Et donc une fonction avec ce domaine de définition n’est ni impaire ni paire. Cependant, si on est en mesure de répondre oui à la question précédente, alors on peut dire que la fonction est paire si 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥. Mais elle est impaire si 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins 𝑓 de 𝑥. Et si la fonction 𝑓 de 𝑥 ne remplit aucun de ces critères, alors elle n’est ni impaire ni paire.

Et donc, une technique pour vérifier si une fonction est impaire ou paire, ou ni l’un ni l’autre, consiste à substituer moins 𝑥 dans la fonction et à voir ce qu’on obtient. Cependant, il y a aussi une approche géométrique. Voyons d’où vient cette approche.

Déterminez si la fonction représentée par la figure suivante est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

Et puis on a une représentation graphique de la fonction. Alors rappelons comment vérifier la parité d’une fonction, comment vérifier si elle est paire ou impaire. Eh bien, la première chose qu’on fait est de se demander, le domaine de définition de cette fonction est-il centré à 𝑥 égale zéro ? On peut rappeler que le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des entrées possibles, l’ensemble des valeurs de 𝑥, qu’on peut introduire dans la fonction. Et on peut lire ce domaine de définition à partir du graphique.

Maintenant, nous devons être un peu prudents car la courbe semble indéfinie à 𝑥 égale zéro. En fait, le domaine de définition est l’union de l’intervalle gauche-fermé droite-ouvert de moins huit à zéro et l’intervalle gauche-ouvert droit-fermé de zéro à huit. Cet intervalle est centré à 𝑥 égale à zéro. Zéro est exactement à mi-chemin de ce domaine de définition. Et donc nous pouvons répondre oui à cette question. Et nous pouvons passer à la partie suivante.

On peut dire que si 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥, la fonction est paire, et elle est impaire si 𝑓 de moins 𝑥 est égale à moins 𝑓 de 𝑥. Eh bien, une façon de déterminer si une de ces conditions est vraie est de choisir une valeur de 𝑥. Par exemple, utilisons le point 𝑥 égale cinq. Lorsque 𝑥 égale cinq, la valeur de notre fonction, la valeur 𝑦, est moins un. Donc 𝑓 de cinq est égal à moins un. Et puis on a que moins 𝑥 doit être moins cinq. Et donc nous devons lire la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 égale moins cinq. 𝑓 de moins cinq est aussi moins un. Il semble donc que cela puisse être une fonction paire. Mais vérifions avec une autre valeur.

Choisissons 𝑥 égale un. 𝑓 de un est environ moins 4,1. Ensuite moins 𝑥 sera égal à moins un. Et encore une fois, 𝑓 de moins un est environ moins 4,1. Et donc pour les deux valeurs que nous avons testées, 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥. Mais en fait, si on regarde attentivement, on constate que cette fonction a une symétrie de réflexion par rapport à l’axe des 𝑦. Et donc, chaque valeur de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à chaque valeur de 𝑓 de moins 𝑥. Et nous pouvons donc dire que la fonction est paire.

En fait, nous pouvons généraliser cela. Nous pouvons dire qu’une fonction paire a une symétrie de réflexion par rapport à l’axe des 𝑦. Prenez, par exemple, la courbe de 𝑓 de 𝑥 égale cos de 𝑥. Elle est totalement symétrique par rapport à l’axe des 𝑦, et donc cos de 𝑥 est une fonction paire. C’est un résultat général qu’on peut citer. Cependant, on ne peut pas dire la même chose pour une fonction impaire. Une fonction impaire a une symétrie, mais elle a une symétrie de rotation d’ordre deux par rapport à l’origine. En d’autres termes, elle reste inchangée après une rotation de 180 degrés par rapport à l’origine. Prenez, par exemple, la fonction 𝑓 de 𝑥 égale sin 𝑥. Après une rotation de la courbe de cette fonction de 180 degrés par rapport à l’origine, elle sera exactement comme la courbe qu’on avait au départ.

On peut dire la même chose pour la fonction tangente. Malgré ses asymptotes, après une rotation de son graphique de 180 degrés par rapport à l’origine, zéro, zéro, il sera identique, tant que, bien sûr, son domaine de définition est également symétrique. Son domaine de définition doit être centré à 𝑥 égale zéro. Maintenant que nous avons ces représentations graphiques, considérons un autre exemple.

La fonction représentée par la figure est-elle paire, impaire, ou ni paire ni impaire ?

Rappelons que, on peut vérifier la parité d’une fonction en considérant sa représentation graphique. Avant de le faire, on doit décider si le domaine de définition est centré à 𝑥 est égal à zéro. Si la réponse est oui, alors on passe à l’étape suivante. Mais sinon, la fonction n’est ni paire ni impaire. Déterminons le domaine de définition de notre fonction. Nous savons que le domaine de définition est l’ensemble des entrées possibles de la fonction, l’ensemble des valeurs de 𝑥 que la fonction peut prendre. La plus petite valeur de 𝑥 qui est dans notre fonction est 𝑥 égale deux, et la plus grande valeur possible de 𝑥 est 𝑥 égale six. Et nous voyons donc que le domaine de définition est l’intervalle fermé de deux à six. Et ce domaine de définition est centré à 𝑥 égal à quatre. Le point à mi-chemin est 𝑥 égale quatre. Et donc, nous répondons non à cette première question. Et donc la fonction n’est ni paire, ni impaire.

Mais considérons une erreur fréquente ici. Lorsqu’on considère la représentation graphique des fonctions, on sait que ces fonctions sont paires si elles ont une symétrie de réflexion par rapport à l’axe des 𝑦. Et elles sont impaires si elles ont une symétrie de rotation d’ordre deux par rapport à l’origine. Maintenant, notre courbe semble avoir une symétrie de rotation. Si on considère le point quatre, un comme le centre, alors elle a en effet une symétrie de rotation d’ordre deux. Après une rotation de cette courbe de 180 degrés, elle sera exactement la même. Mais ce n’est pas par rapport à l’origine. Son centre est quatre, un. Et cela nous confirme donc que cette courbe n’est ni paire ni impaire.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment décider si une fonction est paire ou impaire à partir de son équation.

La fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 puissance cinq fois tan de six 𝑥 puissance quatre est-elle paire, impaire, ou ni paire ni impaire ?

Rappelons comment vérifier la parité d’une fonction. La première chose à faire est de vérifier le domaine de définition de la fonction. Il faut que cela soit centré à 𝑥 est égal à zéro. Si la réponse est non, nous pouvons dire que la fonction n’est ni paire ni impaire sans effectuer d’autres tests. Si la réponse est oui, nous disons qu’elle sera paire si elle satisfait 𝑓 de moins 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥. Et elle sera impaire si elle satisfait 𝑓 de moins 𝑥 égale moins 𝑓 de 𝑥. Ensuite, bien sûr, si elle ne remplit aucun de ces critères, elle n’est ni paire ni impaire.

Alors considérons le domaine de définition de notre fonction. Notre fonction est le produit de deux fonctions. C’est le produit de 𝑥 puissance cinq et de tan de six 𝑥 puissance quatre. Et donc le domaine de définition de 𝑓 de 𝑥 sera l’intersection des domaines de définition des différentes parties de la fonction. Eh bien, 𝑥 puissance cinq est un polynôme, son domaine de définition est donc l’ensemble des nombres réels ou l’intervalle ouvert de moins l’∞ à plus l’∞. Mais qu’en est-il du domaine de définition de la partie trigonométrique ? Eh bien, c’est donné par tous les nombres réels, sauf ceux pour lesquels cos six 𝑥 est égal à zéro. Mais puisque les valeurs de 𝑥 pour lesquels cos six 𝑥 est égal à zéro sont symétriques par rapport à l’axe des 𝑦, alors nous pouvons dire que le domaine de définition de tan de six 𝑥 puissance quatre est centré à 𝑥 égale zéro.

Puisque les deux domaines de définition sont centrés à 𝑥 égale zéro, alors nous pouvons répondre oui à cette première question, et nous pouvons avancer Nous voyons maintenant que c’est pair si 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥 et impair si c’est égal à moins 𝑓 de 𝑥. Et donc, évaluons 𝑓 de moins 𝑥. Pour ce faire, on remplace chaque 𝑥 dans notre fonction initiale par moins 𝑥. Et on a 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins 𝑥 puissance cinq fois tan de moins six 𝑥 puissance quatre. Nous allons évaluer chaque partie à tour de rôle. Commençons par moins 𝑥 puissance cinq. Puisque l’exposant est impair, lorsqu’on évalue cela, on obtient un résultat négatif. Moins 𝑥 puissance cinq est comme indiqué.

Mais qu’en est-il de la fonction tan ? Eh bien, nous pouvons dire que le tan de 𝑥 est impair, ce qui signifie que tan de moins 𝑥 est égal à moins tan de 𝑥 et, donc, le tan de moins six 𝑥 est égal à moins tan de six 𝑥. Mais bien sûr, cela est à la puissance quatre. L’exposant est pair. Et nous savons qu’un nombre négatif avec un exposant pair, donne un résultat positif. Et donc tan de moins six 𝑥 puissance quatre est égal à tan de six 𝑥 puissance quatre.

Et donc 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins 𝑥 puissance cinq fois tan de six 𝑥 puissance quatre. Donc, la fonction remplit-elle l’un de nos critères, est-elle paire ou impaire ? Eh bien, oui. Si on regarde cela attentivement, on voit que c’est l’équivalent de moins 𝑓 de 𝑥. 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins 𝑓 de 𝑥. Et donc la fonction est impaire.

Voyons maintenant comment ce processus pourrait fonctionner, avec une fonction définie par morceaux.

Déterminez si la fonction 𝑓 est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre, étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égal à moins neuf 𝑥 moins huit si 𝑥 est inférieur à zéro et neuf 𝑥 moins huit si 𝑥 est supérieur ou égal à zéro.

Rappelons les étapes qui nous permettent de vérifier la parité d’une fonction, si elle est paire ou impaire. Tout d’abord, on détermine si le domaine de définition est centré à 𝑥 égale zéro. Si la réponse à cette question est oui, alors on peut dire qu’elle est paire si 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥 et impaire si 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins 𝑓 de 𝑥. Eh bien, nous voyons en examinant les valeurs ici que le domaine de définition de notre fonction est l’ensemble des nombres réels. Et bien sûr, cet ensemble est évidemment centré à 𝑥 égale zéro. Et donc nous répondons oui à la première question. Et maintenant, nous allons considérer le deuxième critère.

Puisqu’il s’agit d’une fonction définie par morceaux, nous devons être très prudents. Lorsque 𝑥 est inférieur à zéro, on a 𝑓 de 𝑥 égale moins neuf 𝑥 moins huit. Et lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, on a neuf 𝑥 moins huit. Et donc, considérons les deux parties de notre fonction séparément. Prenons moins neuf 𝑥 moins huit. Et nous allons maintenant trouver 𝑓 de moins 𝑥. Ce sera moins neuf fois moins 𝑥 moins huit. Mais bien sûr, moins fois moins donne plus. Donc 𝑓 de moins 𝑥 est égal à neuf 𝑥 moins huit.

Notez que cela est égal à la deuxième partie de notre fonction. Et ce n’est pas un problème que ce soit égal à l’autre partie, puisqu’on a changé le signe de la valeur de 𝑥. Et donc nous passons à l’autre côté de la fonction définie par morceaux. Et donc pour cette partie, oui, 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥. Donc, cette partie semble certainement paire. Mais vérifions la deuxième partie. Prenons 𝑓 de 𝑥 égale neuf 𝑥 moins huit, puis trouvons 𝑓 de moins 𝑥. C’est neuf fois moins 𝑥 moins huit, ce qui est moins neuf 𝑥 moins huit. Nous avons changé le signe de la valeur de 𝑥, et nous avons maintenant 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est inférieur à zéro. Et donc cette partie de la fonction est aussi paire. On peut dire que 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥. Et nous pouvons donc dire que notre fonction est paire.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment le domaine de définition peut affecter la parité d’une fonction.

Déterminez si la fonction 𝑓 de 𝑥 égale neuf 𝑥 au cube est paire, impaire ou ni paire ni impaire, étant donné que 𝑓 associe les nombres de l’intervalle gauche-ouvert-droit-fermé de moins sept à sept à l’ensemble des nombres réels.

Rappelons que, pour vérifier la parité d’une fonction, on vérifie d’abord si son domaine de définition est centré à 𝑥 égale zéro. Sinon, la fonction ne sera ni paire ni impaire. Mais si c’est le cas, on peut dire qu’elle est paire si elle satisfait 𝑓 de moins 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥. Et on dit qu’elle est impaire si elle satisfait 𝑓 de moins 𝑥 égale moins 𝑓 de 𝑥. Le domaine de définition de notre fonction est l’ensemble des entrées possibles. C’est l’intervalle gauche-ouvert-droit-fermé de moins sept à sept. Et à première vue, il semble que notre domaine de définition soit centré à l’origine. Mais notez que nous avons une parenthèse ici et un crochet ici. Cela signifie que notre domaine de définition n’inclut pas la valeur de 𝑥 égale moins sept, mais inclut la valeur 𝑥 égale sept. Et donc c’est un peu décalé. Son centre sera légèrement à droite de zéro. Et donc on peut dire que cette fonction n’est ni paire ni impaire.

Notez que si nous n’avions pas vérifié cela, nous aurions pu conclure que la fonction était impaire. Et ce, parce que 𝑓 de moins 𝑥 ici est neuf fois moins 𝑥 au cube. Mais moins 𝑥 au cube est moins 𝑥 au cube. Et donc 𝑓 de moins 𝑥 est égal à moins neuf 𝑥 au cube, ce qui est identique à moins 𝑓 de 𝑥. Et cela nous montre à quel point il est important de vérifier le domaine de définition. Vous pouvez également l’examiner graphiquement. Une fonction est impaire si elle a une symétrie de rotation d’ordre deux par rapport à l’origine. En d’autres termes, après une rotation de 180 degrés par rapport à zéro, zéro, elle ne change pas. Cela ne peut pas être le cas ici car lorsqu’on la fait la rotation, on prend le point qu’on inclut et on l’associe au point qu’on n’inclut pas et vice versa. Et donc cela ne sera pas exactement pareil. Et donc nous déterminons que notre fonction sous ces contraintes n’est ni paire ni impaire.

Nous allons maintenant clarifier les points clés de cette leçon. La parité décrit si une fonction est paire ou impaire. Et nous rappelons que, pour vérifier la parité, on vérifie d’abord si le domaine de définition de la fonction est centré à 𝑥 est égal à zéro. Si la réponse est non, alors la fonction ne peut être ni paire ni impaire. Mais si la réponse est oui, on dit que la fonction est paire si elle satisfait 𝑓 de moins 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥 et elle est impaire si elle satisfait 𝑓 de moins 𝑥 égale moins 𝑓 de 𝑥. Encore une fois, si elle ne remplit aucun de ces critères, elle ne peut être ni paire ni impaire.

Nous avons vu qu’on peut également utiliser les courbes des fonctions pour déterminer si elles sont paires ou impaires. Une fonction paire aura une symétrie de réflexion par rapport à l’axe des 𝑦, tandis que les fonctions impaires ont une symétrie de rotation d’ordre deux par rapport à l’origine. Elles resteront inchangées après une rotation de 180 degrés autour de zéro, zéro.

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