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Déterminez l'ensemble des valeurs satisfaisant six cosinus au carré de 𝜃 moins sept cosinus 𝜃 moins cinq égale zéro, où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à 360 degrés. Donnez les réponses à la minute d’arc près.
Notez que nous avons une équation trigonométrique et que cette équation trigonométrique ressemble un peu à une équation du second degré. En effet, nous allons la traiter comme telle. Commençons par définir 𝑥 comme étant cosinus 𝜃. En remplaçant cosinus 𝜃 par 𝑥 dans notre équation trigonométrique initiale, nous constatons que six 𝑥 au carré moins sept 𝑥 moins cinq égale zéro. Nous allons donc commencer par résoudre cette équation pour déterminer 𝑥.
En fait, l'expression six 𝑥 au carré moins sept 𝑥 moins cinq est factorisable. Nous savons qu'elle peut être écrite comme le produit de deux polynômes. Le premier terme de chaque polynôme doit avoir un produit de six 𝑥 au carré, tandis que le second terme doit avoir un produit de moins cinq. Puis, lorsque nous multiplions les termes extérieurs et intérieurs et que nous trouvons leur somme, la solution doit être égale à moins sept 𝑥. La seule façon pour que ces critères soient satisfaits est que nos polynômes soient trois 𝑥 moins cinq et deux 𝑥 plus un.
Or, le produit de ces deux polynômes est nul. La seule façon pour que cela soit vrai est que soit trois 𝑥 moins cinq égale zéro, soit deux 𝑥 plus un égale zéro. Nous résolvons cette première équation en ajoutant cinq des deux côtés, puis, nous divisons par trois. Nous voyons que 𝑥 est égal à cinq tiers. De même, nous résolvons la deuxième équation de 𝑥 en soustrayant un des deux côtés, puis en divisant par deux. Nous voyons que 𝑥 est égal à moins un demi. Au départ, nous avons considéré que 𝑥 correspondait à cosinus 𝜃. Nous pouvons donc dire maintenant que cosinus 𝜃 doit être égal à cinq tiers ou à moins un demi.
Nous allons chercher à résoudre chacune de ces équations pour déterminer 𝜃. Or, nous savons que le maximum de la valeur absolue de cosinus 𝜃 est un. Cela signifie donc qu'il n'existe aucune valeur de 𝜃 telle que cosinus 𝜃 soit égal à cinq tiers. Dans ce cas, nous disons que 𝜃 est indéfini. Nous pouvons cependant résoudre la deuxième équation en trouvant la fonction réciproque du cosinus des deux côtés. Ainsi, 𝜃 sera égal au cosinus réciproque de moins un demi. Ceci nous donne que 𝜃 égale 120 degrés. Ainsi, nous avons trouvé une valeur de 𝜃 qui répond à cette équation. Cependant, ce n'est pas la seule. Il existe plusieurs façons de trouver la seconde valeur.
L'une des méthodes consiste à dessiner le graphique de 𝑦 égale cosinus 𝜃. Nous résolvons l'équation cosinus 𝜃 égale moins un demi. Nous ajoutons donc la droite 𝑦 égale moins un demi à notre graphique. Nous avons vu que la première solution est 120 degrés. Il s’agit donc du premier point d'intersection entre le graphique de cosinus 𝜃 et moins un demi. La deuxième solution est ici. En fait, nous pouvons utiliser le fait que le graphique est complètement symétrique par rapport à la droite 𝜃 égale 180 degrés pour déterminer cette valeur. Nous soustrayons 120 degrés de 360. Ensuite, nous trouvons l'autre valeur de 𝜃 dans l'intervalle 𝜃 est supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à 360, soit 240 degrés.
L'autre méthode avec laquelle vous êtes peut-être familier est l’utilisation du cercle trigonométrique. Nous sommes en train de résoudre l'équation cosinus 𝜃 égale moins un demi. Nous avons donc utilisé notre cercle trigonométrique pour identifier le fait que le cosinus est positif ici et ici. Ceci signifie donc qu'il est négatif ici et ici. Ainsi, notre première solution pour 𝜃 se trouve dans le deuxième quadrant. Nous voyons que notre deuxième solution se trouve dans le troisième quadrant. Nous savons que la somme des angles autour d'un point est de 360 degrés. Nous pouvons donc retrouver notre deuxième solution en soustrayant 120 de 360 et obtenir 240 degrés.
Ainsi, l'ensemble des valeurs satisfaisant l'équation six cosinus au carré 𝜃 moins sept cosinus 𝜃 moins cinq égale zéro, où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro et strictement inférieur à 360 degrés, sont 120 degrés et 240 degrés.
