Vidéo question :: Détermination du moment d’un couple équivalent à trois couples agissant sur un carré Mathématiques

Transcription de la vidéo

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de 85 centimètres de côté. Des forces d’intensités 30, 55, 30 et 55 newtons agissent le long des côtés du carré, et deux forces égales d’intensité 25 racine de deux newtons agissent en 𝐴 et 𝐶 dans les directions indiquées sur la figure. Calculez le moment du couple équivalent au système.

Eh bien, en regardant notre carré 𝐴𝐵𝐶𝐷, nous voyons un certain nombre de forces qui agissent dessus. L’idée ici est que toutes ces forces, et il y en a six, équivalent à un couple. Cela signifie qu’ils ont le même effet sur le carré que deux forces égales et opposées qui ne sont pas sur la même ligne d’action. En calculant le couple équivalent à ce système de six forces, nous allons calculer l’effet de ce couple sur le carré. Sachant que la longueur de chaque côté du carré est de 85 centimètres, libérons de l’espace à l’écran et commençons à analyser les forces agissant sur notre carré, en sachant qu’elles sont équivalentes à un couple.

Il y a un instant, nous avons mentionné ce terme lignes d’action. C’est la ligne sur laquelle une force donnée agit. Ainsi, par exemple, la ligne d’action de cette force de 55 newtons ici ressemble à ceci. Il se trouve de ce côté du carré. Si nous traçons les lignes d’action pour toutes nos forces, alors nous voyons que cette ligne, cette ligne et cette ligne se croisent toutes au sommet 𝐴 de notre carré. De même, la ligne d’action de cette force de 55 newtons, cette force de 30 newtons et cette force de 25 fois racine de deux newtons se croisent au point 𝐶. En pensant à ces forces tout à fait équivalentes à un couple, on peut dire que toutes les forces dont les lignes d’action se croisent au point 𝐴 proviennent effectivement de ce point.

Cela signifie que si nous traçons à partir du point 𝐴, nous pouvons dire que la force de 30 newtons se déplace comme ceci à partir de ce point, la force de 55 newtons pointe comme ceci et la force de 25 fois racine de deux newtons comme ceci. On pourrait alors dire que ces trois forces exercent leur influence sur le carré à partir du point 𝐴. La même chose est vraie pour les trois forces dont les lignes d’action se croisent au point 𝐶. Dans ce cas, nous avons la force de 30 newtons agissant vers le bas, la force de 55 newtons agissant vers la droite et la force de 25 fois racine de deux newtons agissant vers le haut et vers la droite. Notez que les forces provenant du point 𝐶 sont égales et opposées à celles provenant du point 𝐴. Cela nous confirme qu’en effet, les six forces considérées ensemble représentent un couple.

Pour calculer l’effet de ce couple sur notre carré, nous localisons le milieu du carré, qui serait ici par rapport à 𝐴 et 𝐶. Et nous allons calculer le moment total créé sur ce point par notre couple de forces. Pour ce faire, nous allons considérer ces trois paires de forces une par une. Tout d’abord, nous allons considérer les forces de 30 newtons qui agissent vers le haut et vers le bas sur les côtés opposés du carré. Si notre carré ressemble à ceci, alors les lignes d’action des forces de 30 newtons ressembleront à ceci, ce qui signifie que chacune a une distance perpendiculaire au centre du carré de 85 sur deux centimètres.

Pour commencer à calculer le moment total créé par ce couple de forces effectif, nous pouvons écrire la contribution de ces deux forces de 30 newtons à notre moment global. Notez que cette contribution est négative car ces deux forces auraient tendance à créer un moment dans le sens des aiguilles d’une montre autour de notre centre. Et, par convention, la rotation dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est considérée comme positive. Nos deux forces de 30 newtons contribuent au moment total avec le signe négatif. Ensuite, nous examinerons la contribution au moment global de nos forces de 55 newtons. Encore une fois, la distance perpendiculaire entre les lignes d’action de ces deux forces et le centre de notre carré est de 85 sur deux centimètres. Cette fois, cependant, ces forces ont tendance à créer un moment dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, ce qui est donc positif.

Nous avons maintenant représenté deux de nos trois paires de forces. Le dernier à considérer est le couple avec nos forces de 25 racine de deux newton. Pour ces forces et leurs lignes d’action, la distance perpendiculaire entre ces deux lignes est égale à la diagonale de notre carré. Parce que tous les angles intérieurs d’un carré sont de 90 degrés, nous pouvons utiliser le fait que chacune de nos longueurs latérales est de 85 centimètres avec le théorème de Pythagore pour voir que la longueur de l’hypoténuse de ce triangle, et donc la diagonale de notre carré, est égale à la racine carrée de 85 au carré plus 85 au carré. Nous pouvons écrire cela simplement comme la racine carrée de deux fois 85 au carré.

Une fois que nous savons cela, nous pouvons dire que la distance perpendiculaire entre les lignes d’action de nos deux forces de 25 fois racine de deux newtons et le centre de notre carré est un demi de la racine carrée de deux fois 85 au carré. Et nous voyons que ces forces ont également tendance à créer une rotation dans le sens inverse des aiguilles d’une montre pour notre carré et donc un moment positif. Ce que nous avons alors pour le mouvement total est cette expression, que nous avons vue, créée par six forces équivalentes à un couple.

Avant d’évaluer cette expression, nous pouvons voir qu’une simplification se produit. Par exemple, les premiers facteurs de deux dans chaque terme se simplifie avec un facteur de moitié. Ensemble, nous obtenons un moment total de 6375. Et rappelons ici que nous multiplions les forces en unités de newtons par les distances en unités de centimètres. C’est alors le moment du couple équivalent des forces agissant sur notre carré.