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Vidéo de question : Déterminer la parité d’une fonction linéaire Mathématiques

Déterminez la parité de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=4𝑥−3.

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Transcription de vidéo

Déterminez la parité de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à quatre 𝑥 moins trois.

𝑓 de 𝑥 est une fonction paire si 𝑓 de moins 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥 et 𝑓 de 𝑥 est une fonction impaire si 𝑓 de moins 𝑥 est égale à moins 𝑓 de 𝑥. Remarquez donc que la seule différence entre la définition d'une fonction paire et celle d'une fonction impaire est ce signe moins, juste ici.

Comment savoir si une fonction est paire ou impaire ? Nous calculons la valeur de 𝑓 de moins 𝑥. Alors, qu'est-ce que j'ai fait ici ? J'ai pris la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à quatre 𝑥 moins trois et j’ai remplacé 𝑥 par moins 𝑥. Ainsi, ce 𝑥 ici devient moins 𝑥 et ce 𝑥 ici devient moins 𝑥.

En gros, il s’agit exactement de la même procédure que quand nous substituons un nombre à une fonction pour la calculer. Maintenant, nous avons quatre fois moins 𝑥 donne moins quatre fois 𝑥 et nous gardons le moins trois.

Nous pouvons maintenant savoir si 𝑓 de 𝑥 est paire. Cela est vrai si 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥. Est-ce que moins quatre 𝑥 moins trois est égale à quatre 𝑥 moins trois ? Pas du tout.

Rappelez-vous que ce n'est pas une équation dans laquelle nous devons déterminer 𝑥. Nous nous demandons si ces deux fonctions sont identiques. Cela est-il vrai pour toutes les valeurs de 𝑥 ? Parfois, nous utilisons un signe égal avec trois lignes pour indiquer que cela doit être vrai pour toutes les valeurs de 𝑥 et pas seulement une ou deux.

Cependant, ceci n'est pas vrai pour toutes les valeurs de 𝑥. Cette égalité n'est pas vraie, par exemple, pour 𝑥 égale un. Quand 𝑥 est égal à un, le côté gauche est moins sept et le côté droit est un. Ainsi, ces deux fonctions ne peuvent pas être égales car elles prennent un comme valeur d'entrée et donnent des valeurs de sorties différentes.

Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 n'est pas une fonction paire. Si vous montrez qu'un nombre entier n'est pas pair, cela signifie que ce nombre entier doit être impair. Seulement, cela n'est pas vrai pour les fonctions : en effet, une fonction peut être ni paire ni impaire. Nous devons donc vérifier si 𝑓 de 𝑥 est impaire. Cela n'est pas garanti du fait qu'elle n'est pas paire.

Comment vérifions-nous que 𝑓 de 𝑥 est impaire ? Bien, cette fois-ci, nous comparons 𝑓 de moins 𝑥 à moins 𝑓 de 𝑥. Ici, il suffit d'utiliser la définition de 𝑓 de 𝑥 et de la multiplier par moins un pour trouver moins de 𝑓 de 𝑥 et, à ce moment-là, nous pouvons simplifier.

Ici, nous avons bien fait attention pour avoir ce plus ici car nous prenons le moins d'une parenthèse avec un signe moins à l’intérieur et cela devient un plus. Voici donc une démarche qui va nous permettre de savoir si 𝑓 de 𝑥 est impaire. Est-ce que moins quatre 𝑥 plus trois égale moins quatre 𝑥 moins trois ? Rappelez-vous encore une fois, nous parlons d’une égalité de fonctions, ainsi, sont-elles identiques pour chaque valeur de 𝑥 ? Encore une fois, la réponse est non. Essayez n'importe quelle valeur de 𝑥, cela ne sera pas vérifié. Or, il faut que cette relation soit vraie pour toutes les valeurs de 𝑥, cette fonction ne peut donc pas être impaire.

Voilà, nous avons vu que cette fonction n'est ni paire ni impaire, ce qui est peut-être surprenant si vous pensez aux nombres entiers qui sont toujours l'un ou l'autre. Ainsi, nous avons montré cela en utilisant la définition, qui fait intervenir 𝑓 de moins 𝑥, mais nous aurions aussi pu le voir en dessinant un graphique. Faisons-le maintenant.

Voilà une représentation schématique de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à quatre 𝑥 moins trois ; il s'agit d'une droite dont l'ordonnée à l'origine est moins trois et le coefficient directeur est quatre. Vous devez donc savoir qu'une fonction est paire si son graphique présente une symétrie axiale par rapport à l'axe des 𝑦. Si vous regardez ce graphique, vous constaterez qu'il ne présente pas de symétrie axiale par rapport à l'axe des 𝑦. Ainsi, encore une fois, nous concluons que cette fonction n'est pas paire.

Une fonction est impaire si son graphe présente une symétrie centrale par rapport à l’origine. Ainsi, si vous faites tourner ce graphique de 180 degrés autour de l'origine, obtenez-vous la même chose ? Non et, là encore, nous concluons que la fonction n'est pas impaire.

Ainsi, tout comme en utilisant la définition faisant intervenir 𝑓 de moins 𝑥, nous voyons en regardant le graphique que la fonction 𝑓 de 𝑥 n'est ni paire ni impaire.

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