Vidéo de la leçon: Aire d’un losange Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver l’aire d’un losange en utilisant la longueur de ses diagonales. Rappelons d’abord qu’un losange est un quadrilatère dans lequel les quatre côtés sont de même longueur. Ainsi, par exemple, un carré est un exemple de losange, mais tous les losanges ne sont pas des carrés. Les angles intérieurs ne sont pas toujours des angles droits. Donc, un losange peut aussi ressembler à ceci. Tant que les quatre côtés ont la même longueur, c’est un losange.

Comme un losange est en fait un cas particulier d’un parallélogramme, son aire peut être calculée à partir de la longueur de sa base et de sa hauteur perpendiculaire en utilisant la formule aire égale à la base fois la hauteur, ou 𝑏ℎ. Ce que nous allons introduire et pratiquer ici, c’est une autre méthode pour trouver l’aire d’un losange, en utilisant plutôt les longueurs de ses diagonales. Donc, ici, nous avons un losange dans lequel nous avons étiqueté les sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Nous pouvons ajouter les deux diagonales du losange, qui sont les deux segments qui relient les coins opposés. Donc, ce sont les segments 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷.

Une propriété clé de tous les parallélogrammes - donc, en particulier, pour les losanges - est que leurs diagonales se coupent en leurs milieux. Donc, dans notre figure, 𝐴𝐸 est de la même longueur que 𝐸𝐶 et 𝐷𝐸 est de la même longueur que 𝐸𝐵. Mais une autre propriété clé des losanges, qui n’est pas vraie en général pour d’autres parallélogrammes, est que les diagonales se coupent également à angles droits. Chacune des diagonales divise le losange en deux triangles superposables.

Concentrons-nous sur la diagonale 𝐵𝐷, qui divise le losange en triangles 𝐴𝐵𝐷 et 𝐶𝐵𝐷. Ces deux triangles sont superposables car chacun a deux côtés, qui sont de la même longueur que les côtés du losange d’origine. Puis ils ont un côté commun 𝐵𝐷. Ainsi, par la condition de superposition de trois côtés, ils sont identiques. L’aire du losange est donc le double de l’aire de chaque triangle. En se concentrant uniquement sur le triangle supérieur, on peut dire que l’aire du losange 𝐴𝐵𝐶𝐷 est le double de l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐷.

Maintenant, nous pouvons trouver l’aire d’un triangle en utilisant la formule de la base multipliée par la hauteur perpendiculaire sur deux. La base est 𝐵𝐷 et la hauteur perpendiculaire est 𝐴𝐸. Rappelez-vous, nous avons dit que les diagonales d’un losange sont perpendiculaires les unes aux autres. Donc 𝐴𝐸 est la hauteur perpendiculaire de ce triangle. Mais rappelez-vous, nous avons également dit que les diagonales d’un losange se coupent en leurs milieux. Ainsi, la longueur de 𝐴𝐸 est la moitié de la longueur de 𝐴𝐶. L’aire du triangle 𝐴𝐵𝐷 est alors un quart de 𝐵𝐷 multiplié par 𝐴𝐶. Et donc l’aire du losange 𝐴𝐵𝐶𝐷, qui est deux fois l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐷, est deux fois un quart fois 𝐵𝐷 fois 𝐴𝐶, ce qui est la moitié de 𝐵𝐷 multiplié par 𝐴𝐶.

Maintenant, rappelez-vous que 𝐵𝐷 et 𝐴𝐶 sont les diagonales de ce losange. Nous avons donc trouvé une formule pour calculer son aire en utilisant les longueurs de ses diagonales. C’est la moitié de leur produit. On peut donc généraliser ce résultat en utilisant 𝑑 un et 𝑑 deux pour représenter les longueurs des deux diagonales. L’aire d’un losange avec des diagonales de longueurs 𝑑 un et 𝑑 deux unités est égale à 𝑑 un 𝑑 deux sur deux, ce que nous pouvons exprimer par une phrase selon laquelle l’aire d’un losange égale la moitié du produit des longueurs de ses diagonales. Nous allons maintenant considérer quelques exemples dans lesquels nous appliquons cette formule.

La figure montre un losange à l'intérieur d'un rectangle. Déterminez l’aire du losange au centième près.

En regardant la figure, nous remarquons que les sommets du losange sont chacun au milieu de l’un des côtés du rectangle. Nous le savons parce que ces marques indiquent que, par exemple, le segment 𝐴𝑋 a la même longueur que le segment 𝑋𝐷. On peut en déduire que les diagonales du losange, soit 𝑋𝑍 et 𝑌𝑇, sont parallèles à un côté du rectangle. Et donc, elles sont également de la même longueur que les côtés du rectangle. Donc 𝑋𝑍 est de 15,8 centimètres et 𝑌𝑇 est de 30,3 centimètres.

On peut alors rappeler que l’aire d’un losange est égale à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales. Si les longueurs des diagonales sont 𝑑 un et 𝑑 deux, alors l’aire d’un losange est 𝑑 un multiplié par 𝑑 deux sur deux. Ainsi, l’aire du losange 𝑋𝑇𝑍𝑌 est égale à la longueur de 𝑌𝑇 multipliée par la longueur de 𝑋𝑍 sur deux. Soit 30,3 multiplié par 15,8 sur deux, soit 293,37 centimètres carrés.

Maintenant, nous pouvons observer que l’aire du rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 est égale à sa longueur multipliée par sa largeur. Cela fait 30,3 fois 15,8, et c’est le double de l’aire du losange. Cela illustre un résultat général, c’est que l’aire d’un losange tracé à l’intérieur d’un rectangle de telle sorte que chaque sommet du losange soit au milieu de l’un des côtés du rectangle soit la moitié de l’aire du rectangle l’enfermant.

Voyons maintenant un autre exemple où on nous donne l’aire d’un losange et la relation entre ses diagonales et on nous demande de calculer leur longueur.

Une diagonale d’un losange est le double de la longueur de l’autre diagonale. Si l’aire du losange est de 81 millimètres carrés, quelles sont les longueurs des diagonales ?

Dans cette question, nous devons trouver la relation entre l’aire d’un losange et les longueurs de ses diagonales. Nous rappelons donc que l’aire d’un losange est égale à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales. C’est égal à 𝑑 un 𝑑 deux sur deux, où 𝑑 un et 𝑑 deux sont les longueurs des diagonales. On nous a dit que l’aire de ce losange est de 81 millimètres carrés, mais on ne nous a pas donné les longueurs des deux diagonales. Cependant, nous savons qu’une diagonale est le double de l’autre. Nous pourrions donc dire que la longueur de la diagonale 𝑑 un est égale à deux fois la longueur de la diagonale 𝑑 deux.

Nous pouvons alors écrire une équation. En remplaçant 𝑑 un par son expression en fonction de 𝑑 deux et l’aire du losange par 81, nous avons l’équation deux 𝑑 deux multiplié par 𝑑 deux sur deux égale 81. Les deux au numérateur et au dénominateur de cette fraction s’annulent. Et nous nous retrouvons avec 𝑑 deux multiplié par 𝑑 deux, ou 𝑑 deux au carré, est égal à 81. Pour déterminer la valeur de 𝑑 deux, nous prenons la racine carrée des deux membres de cette équation, en ne prenant que la valeur positive car 𝑑 deux représente une longueur. Donc 𝑑 deux est égal à la racine carrée positive de 81, qui est neuf.

Nous avons donc trouvé la longueur d’une diagonale. Et pour trouver la longueur de l’autre, il faut doubler cette valeur. 𝑑 un est deux fois neuf, soit 18. Donc, en rappelant que l’aire d’un losange est la moitié du produit des longueurs de ses diagonales, que nous avons utilisées pour établir puis résoudre une équation, nous avons constaté que les longueurs des diagonales de ce losange sont égales à neuf millimètres et à 18 millimètres.

Dans notre exemple suivant, nous allons résoudre un problème impliquant un losange et un carré d’aires égales.

Un losange et un carré ont la même aire. Si le périmètre du carré est de 44 et l’une des diagonales du losange est de 10, quelle est la longueur de l’autre diagonale au centième près ?

Nous avons donc un losange et un carré qui ont la même aire. Et on nous donne d’autres informations sur chaque figure. Premièrement, le périmètre du carré est de 44 unités. Et deuxièmement, l’une des diagonales du losange a une longueur de 10 unités. Comme on nous dit que les aires de ces deux figures sont les mêmes, il doit s’agir d’informations clés à utiliser. Commençons donc par calculer l’aire d’un carré. Nous savons que l’aire d’un carré est la longueur de son côté au carré. Comme nous savons que le périmètre de ce carré est de 44 unités, nous savons que quatre fois la longueur du côté est égale à 44. Puis en divisant les deux membres de cette équation par quatre, nous constatons que la longueur du côté du carré est de 11 unités. Donc, son aire est de 11 au carré, soit 121 unités carrées.

Nous savons maintenant que l’aire du carré et du losange est de 121 unités carrées. Et nous voulons utiliser cette information avec le fait qu’une diagonale du losange a une longueur de 10 unités pour calculer la longueur de l’autre diagonale. Rappelons que l’aire d’un losange est la moitié du produit des longueurs de ses diagonales, 𝑑 un 𝑑 deux sur deux. Donc, comme nous savons déjà que la longueur d’une diagonale est de 10 unités et que l’aire est de 121 unités carrées, nous avons 10 multiplié par la longueur de la seconde diagonale sur deux est égal à 121. En simplifiant, nous constatons que cinq fois la longueur de la seconde diagonale est 121. Puis en divisant les deux membres de cette équation par cinq, nous constatons que la longueur de la seconde diagonale est de 121 sur cinq ou 24,2 unités. On nous a cependant demandé de donner la réponse au centième près, soit 24,20 unités.

L’exemple que nous venons de considérer impliquait de calculer l’aire d’un carré, ce que nous avons fait en mettant leurs côtés au carré, une formule que nous connaissons depuis de nombreuses années. Mais comme un carré est simplement un type spécial de losange dans lequel tous les angles intérieurs sont des angles droits, nous pouvons également calculer l’aire d’un carré en utilisant la formule que nous avons introduite dans cette vidéo. Ce serait 𝑑 un 𝑑 deux sur deux, où 𝑑 un et 𝑑 deux sont les longueurs des diagonales du carré. Cependant, il y a quelque chose de spécial dans les carrés, c’est que les diagonales sont de longueur égale. Ainsi, au lieu d’utiliser les lettres 𝑑 un et 𝑑 deux, nous pouvons simplement utiliser la lettre 𝑑 pour représenter les deux. Et la formule devient alors que l’aire d’un carré est égale à 𝑑 au carré sur deux. Nous pouvons affirmer cela comme un résultat général. L’aire d’un carré est égale à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale. Prenons maintenant un exemple où nous appliquons cette formule.

Étant donné que l’aire de chaque carré de l’échiquier est de 81 centimètres carrés, déterminez la longueur diagonale de l’échiquier.

Cet échiquier est composé de 64 carrés superposables disposés en huit rangées de huit. La longueur diagonale de l’échiquier, que nous désignerons par D majuscule, est donc égale à huit fois la longueur diagonale de chaque carré, que nous désignerons par 𝑑 minuscule. On nous donne que l’aire de chaque carré de l’échiquier est de 81 centimètres carrés. Et nous pouvons aussi rappeler que l’aire d’un carré est égale à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale, 𝑑 au carré sur deux.

Donc, en combinant ces deux informations, nous pouvons écrire une équation. 𝑑 minuscule au carré sur deux est égal à 81. En multipliant les deux membres de cette équation par deux, nous constatons que 𝑑 au carré est égal à 162. Puis en prenant la racine carrée, nous trouvons que 𝑑 est égal à la racine carrée de 162, qui, sous forme simplifiée, est égale à neuf racine deux. Nous avons donc trouvé la longueur de la diagonale de chacun des plus petits carrés à partir desquels cet échiquier est composé.

Pour trouver la longueur diagonale de l’échiquier lui-même, nous devons multiplier cette valeur par huit. 𝐷 est égal à huit multiplié par neuf racine deux, qui, sous sa forme exacte, est 72 racine deux. Et les unités pour cela sont des centimètres. Ainsi, en rappelant que l’aire d’un carré est égale à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale, nous avons constaté que la longueur diagonale de l’échiquier sous sa forme exacte est de 72 racines deux centimètres.

Voyons maintenant un dernier exemple où nous appliquerons les formules que nous avons introduites pour comparer les aires d’un carré et d’un losange.

Déterminez la différence d’aire entre un carré de diagonale de 10 centimètres et un losange de diagonales de deux centimètres et de 12 centimètres.

Bien qu’il ne soit pas essentiel de répondre à ce problème, nous allons commencer par tracer les deux figures. Nous avons un carré avec une diagonale de longueur de 10 centimètres et un losange avec des diagonales de longueurs de deux centimètres et de 12 centimètres. Nous devons ensuite nous rappeler comment trouver l’aire de chacune de ces figures à partir de la longueur de leur diagonale. L’aire d’un carré de diagonale de longueur 𝑑 unités est égale à 𝑑 au carré sur deux. L’aire est la moitié du carré de la longueur de la diagonale. Ainsi, l’aire de ce carré, qui a une diagonale de 10 centimètres, est de 10 au carré sur deux. Soit 100 sur deux, soit 50 centimètres carrés.

L’aire d’un losange, d’autre part, avec des diagonales de longueurs 𝑑 un et 𝑑 deux est 𝑑 un multiplié par 𝑑 deux sur deux. C’est la moitié du produit des longueurs de ses diagonales. Ainsi, l’aire de ce losange, qui a des diagonales de longueurs de 12 centimètres et de deux centimètres, est 12 multiplié par deux sur deux, ce qui se simplifie à 12 centimètres carrés. Pour trouver la différence d’aire, nous soustrayons l’aire de la plus petite figure, c’est le losange, de l’aire de la plus grande figure, c’est le carré, 50 moins 12, ce qui donne une différence d’aire de 38 centimètres carrés.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. L’aire d’un losange est la moitié du produit des longueurs de ses diagonales. Si ces diagonales ont des longueurs 𝑑 un et 𝑑 deux unités, alors nous pouvons l’exprimer comme l’aire d’un losange est égale à 𝑑 un multiplié par 𝑑 deux sur deux. Un carré est un type spécial de losange dans lequel tous les angles intérieurs sont des angles droits et les deux diagonales sont de longueur égale. En conséquence, l’aire d’un carré est la moitié du carré de la longueur de sa diagonale. Ainsi, l’aire d’un carré avec des diagonales de longueur 𝑑 unités est égale à 𝑑 au carré sur deux. Nous pouvons utiliser ces formules pour résoudre une variété de problèmes concernant les aires de losanges et les aires de carrés.