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Vidéo de question : Détermination des composantes de trois forces agissant sur un corps pendant un certain temps en fonction de l’impulsion du corps sous forme de vecteur Mathématiques

Les forces 𝐅₁ = 𝑎𝐢 + 3𝐣, 𝐅₂ = −3𝐢 + 𝑏𝐣 et 𝐅₃ = 𝑎𝐢 - 3𝐣 ont agi sur un corps pendant 3 secondes. Si leur impulsion combinée sur le corps était de 𝐈 = 3𝐢 - 6𝐣, déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

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Transcription de vidéo

Les forces 𝐅 un égal à 𝑎𝐢 plus trois 𝐣, 𝐅 deux égal à moins trois 𝐢 plus 𝑏𝐣, et 𝐅 trois égal à 𝑎𝐢 moins trois 𝐣 ont agi sur un corps pendant trois secondes. Si leur impulsion combinée sur le corps est 𝐈 égale à trois 𝐢 moins six 𝐣, déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

Dans cette question, nous avons affaire à un corps ou un objet sur lequel trois forces agissent : 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois. Alors, on a tracé un schéma de ces forces agissant sur le corps, mais ce schéma ne peut pas être complètement précis. C’est parce que l’on manque d’informations sur chacune de ces forces. La composante 𝑥 de 𝐅 un, la composante 𝑦 de 𝐅 deux et la composante 𝑥 de 𝐅 trois sont toutes inconnues. Dans la question, ces valeurs sont représentées par les quantités 𝑎 et 𝑏, et c’est à nous de trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

La question nous donne quelques informations sur l’intervalle de temps pendant laquelle ces forces agissent sur le corps et l’impulsion qui est exercée sur le corps pendant ce temps. Pour répondre à cette question, on doit utiliser une équation qui relie la force agissant sur un objet, la durée pendant laquelle la force agit et l’impulsion qui est produite. Cette équation est 𝐼 égale 𝐹 fois Δ𝑡. L’impulsion 𝐼 produite par une force est égale à cette force 𝐹 multipliée par la durée de temps Δ𝑡 pour laquelle elle agit. Parce que l’impulsion et la force sont en fait des grandeurs vectorielles, nous pouvons tracer une demi-flèche au-dessus du 𝐈 et du 𝐅 pour l’indiquer.

Puisque on a cette équation, on peut remarquer qu’elle traite d’une seule force, alors que dans la question on a trois forces. En effet cette équation est vraie pour chacune des forces individuelles. Par exemple, l’impulsion due à 𝐅 un, que nous pouvons appeler 𝐈 un, est égale à 𝐅 un fois Δ𝑡. Mais notons que dans cette question, on parle de l’impulsion combinée. C’est l’impulsion qui est appliquée au corps en raison des effets combinés des trois forces. En d’autres termes, c’est l’impulsion due à la force résultante.

Donc, pour répondre à cette question, on peut commencer par trouver une expression de la force résultante en fonction des composantes de 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois qui nous ont été données dans la question. On peut ensuite multiplier cela par Δ𝑡, soit trois secondes, afin de trouver une expression pour l’impulsion combinée en fonction de 𝑎 et 𝑏. Nous pouvons alors comparer cette expression à l’impulsion réelle donnée dans la question afin de trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

Commençons donc par trouver une expression pour la force résultante. Ceci est égale à la somme de 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois. On nous dit que 𝐅 un est égal à 𝑎𝐢 plus trois 𝐣. Ensuite, on ajoute 𝐅 deux, ce qui est égal à moins trois 𝐢 plus 𝑏𝐣. Et puis on ajoute 𝐅 trois, ce qui est égal à 𝑎𝐢 moins trois 𝐣. Et ici, où on ajoute moins trois 𝐢, on peut simplement écrire moins trois 𝐢. Ensuite, on additionne simplement les termes 𝐢 et 𝐣 séparément. En regardant les termes 𝐢, on a 𝑎𝐢 moins trois 𝐢 plus 𝑎𝐢. Donc, au total, c’est 𝑎 moins trois plus 𝑎 fois 𝐢. Et cela se simplifie à deux 𝑎 moins trois. Ensuite, on peut faire les termes 𝐣. On a trois 𝐣 plus 𝑏𝐣 moins trois 𝐣. Donc, au total, c’est trois plus 𝑏 moins trois fois 𝐣. Trois moins trois est, bien sûr, zéro, ce qui nous laisse juste 𝑏 fois 𝐣. Ainsi, notre force 𝐅 résultante est égale à deux 𝑎 moins trois 𝐢 plus 𝑏𝐣.

Ensuite, on peut obtenir une expression pour l’impulsion combinée en multipliant 𝐅 résultante par Δ𝑡. Donc, on multiplie notre expression pour 𝐅 résultante, soit deux 𝑎 moins trois fois 𝐢 plus 𝑏𝐣, par la durée de temps pendant laquelle ces forces agissent sur le corps. On nous dit dans la question qu’il s’agit de trois secondes. Donc, on multiplie simplement tout cela par trois. Ici, on multiplie un vecteur par un scalaire. Donc, on multiplie chaque terme entre parenthèses. En d’autres termes, on multiplie chaque composante vectorielle par trois. D’abord, nous avons trois fois deux 𝑎 moins trois 𝐢, puis on a trois fois 𝑏𝐣. Ensuite, on peut simplifier ce terme en développant les parenthèses. Donc, on a trois fois deux 𝑎, qui est six 𝑎, et trois fois moins trois, ce qui est moins neuf. Celle-ci est ensuite multipliée par 𝐢, ce qui nous donne six 𝑎 moins neuf fois 𝐢 plus trois 𝑏𝐣.

Donc, on a trouvé une expression pour l’impulsion combinée des trois forces données dans la question. Cette expression est exprimée en fonction des constantes inconnues 𝑎 et 𝑏. Mais la question nous dit que ce vecteur d’impulsion est égal à trois 𝐢 moins six 𝐣. Puisque ces deux expressions décrivent le même vecteur d’impulsion, nous pouvons dire qu’elles sont égales entre elles. Et cette équation nous permet de trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Tout ce qu’il faut faire c’est égaler les composantes 𝐢 et les composantes 𝐣, séparément.

Voyons d’abord les composantes 𝐢. On peut commencer par annuler le facteur 𝐢 de chaque côté, nous laissant avec six 𝑎 moins neuf égal à trois. Ensuite on ajoute neuf des deux côtés, ce qui nous donne six 𝑎 égale 12. Et finalement, en divisant les deux côtés par six nous donne 𝑎 est égal à deux. Donc, c’est la moitié de notre réponse. Pour trouver l’autre moitié, on identifie les composantes 𝑦. Encore une fois, on peut commencer par annuler un facteur 𝐣 des deux côtés pour nous laisser avec trois 𝑏 égale moins six. Ensuite, en divisant les deux côtés par trois, on obtient 𝑏 égale moins deux. Donc, voici notre réponse finale.

En trouvant une expression pour la force résultante qui agit sur le corps, on a trouvé notre expression de l’impulsion exercée en fonction de 𝑎 et 𝑏. On peut ensuite égaliser cela à l’impulsion donnée dans la question pour déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Ainsi, lorsque les forces décrites dans la question agissent sur le corps pendant trois secondes et produisent une impulsion de trois 𝐢 moins six 𝐣, on peut déterminer que 𝑎 est égal à deux et 𝑏 est égal à moins deux.

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