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Vidéo question :: Déterminer la limite d’une fonction rationnelle à l’infini Mathématiques

Calculez lim_ (𝑥 → +∞) (−5𝑥 - 9) / (- 2𝑥² + 5).

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Transcription de la vidéo

Déterminez la limite de moins cinq 𝑥 moins neuf sur moins deux 𝑥 au carré plus cinq lorsque 𝑥 tend vers plus ∞.

Réécrivons cette limite. On essaye de déduire ce qui se passe à la fonction lorsque 𝑥 tend vers plus ∞ - donc lorsque 𝑥 devient de plus en plus grand sans limite. Pour voir ce qui se passe à cette fonction lorsque 𝑥 devient de plus en plus grand, on peut observer son graphique.

En regardant le graphique, on peut voir que lorsque 𝑥 augmente, la valeur de la fonction représentée par l’ordonnée 𝑦 diminue en se rapprochant de plus en plus de zéro. On imagine que ce rapprochement se poursuit lorsque 𝑥 augmente sans borne, bien que ce soit en dehors du graphique. Ainsi, on pourrait supposer que la valeur de la limite que nous cherchons est zéro et nous aurions raison. Mais cette méthode suppose que nous disposions d'un ordinateur ou d'une calculatrice graphique et que le graphique produit par l'ordinateur ou la calculatrice graphique soit précis et que nous parvenions à l'interpréter correctement.

De plus, cette méthode ne nous dit pas pourquoi cette limite est égale à zéro et ne nous donne aucune indication sur les limites en général. Pour cela, il nous faut une méthode algébrique. Pour trouver la valeur de cette limite de manière algébrique, l'astuce consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de 𝑥 que vous pouvez voir.

La plus grande puissance de 𝑥 dans notre cas est 𝑥 au carré. On divise le numérateur et le dénominateur par 𝑥 au carré. Ensuite, on peut simplifier. Par exemple, dans le numérateur, on décompose moins cinq moins neuf sur 𝑥 au carré en une différence de deux fractions. On remarque alors que nous pouvons simplifier la première fraction par le facteur commun 𝑥 au numérateur et au dénominateur. Cela nous donne ce que nous voyons. Nous procédons de la même manière pour le dénominateur.

On peut alors appliquer une de nos lois sur les limites : la limite d'un quotient de fonctions est le quotient des limites des fonctions, tant que la limite du dénominateur est non nulle. On a donc maintenant deux limites : une au numérateur et une au dénominateur. Et vous êtes capable de déterminer ces limites.

Mais pour se convaincre, il faudra utiliser d'autres lois sur les limites : la limite d'une somme de fonctions est égale à la somme des limites des fonctions. Et la même chose est vraie pour la différence de fonctions. Nous avons maintenant quatre limites à calculer. La première est la limite d'une fonction constante lorsque 𝑥 tend vers plus ∞. La limite d'une fonction constante comme moins deux est exactement cette constante. Donc, dans notre cas, la limite est moins deux. Les trois autres limites sont toutes de la forme limite de 𝑐 sur 𝑥 puissance 𝑛 lorsque 𝑥 tend vers plus ∞.

Et on sait également que la limite d'une constante multipliée par une fonction lorsque 𝑥 tend vers une certaine valeur est juste cette constante fois la limite de la fonction. En utilisant une autre loi des limites, la limite de un sur 𝑥 puissance 𝑛 pour un nombre entier 𝑛 lorsque 𝑥 tend vers plus ∞, peut être associée à la limite de la fonction inverse - la limite de la puissance d'une fonction est juste la puissance de la limite de cette fonction. Donc tout ce dont on a besoin maintenant est la limite de un sur 𝑥, la fonction inverse, lorsque 𝑥 tend vers plus ∞.

On peut donc la considérer comme une autre loi des limites, que la valeur de cette limite est égale à zéro. Et donc la limite de quelque chose de la forme 𝑐 sur 𝑥 puissance 𝑛 lorsque 𝑥 tend vers plus ∞ est 𝑐 fois zéro puissance 𝑛 qui est juste zéro. On a réussi à calculer les quatre limites de notre dernière ligne : l'une d'entre elles, que nous avons trouvée avant, et trois d'entre elles sont de la forme que nous avons discutée et sont donc égales à zéro. En évaluant cette expression, nous constatons que la limite que nous cherchons est tout simplement zéro.

On pourrait bien sûr dire que le graphique de la fonction en question nous permet de la trouver immédiatement. Mais seriez-vous capable de convaincre un sceptique que la valeur de cette limite était zéro et non 0,00001 ou que la fonction ne recommençait pas à augmenter pour des valeurs de 𝑥 juste au-delà des valeurs représentées sur le graphique ? Avec la méthode algébrique, du moment qu'un sceptique accepte toutes les lois des limites que nous avons utilisées et que toutes ces lois peuvent être justifiées, alors nous serons d'accord que la valeur de la limite que nous cherchons est zéro.

Ce n'est pas très difficile de voir que les étapes que nous avons utilisées s'appliquent à toute fonction rationnelle, où le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. Ainsi, pour toute fonction rationnelle, où le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, la limite lorsque 𝑥 tend vers plus ∞ est simplement nulle. Il aurait été très difficile d'arriver à cette conclusion rien qu'en regardant le graphique de la seule fonction rationnelle de notre exemple.

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