Transcription de la vidéo
Vrai ou faux : la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥.
Dans cette question, on nous demande de décider si une affirmation est vraie ou fausse. Nous devons déterminer si, dans le cas où nous savons que la limite d’une fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe et qu’elle est égale à une valeur finie 𝐿 et que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 d’une fonction 𝑔 de 𝑥 existe et qu’elle est égale à une valeur finie 𝐾 , est-il vrai que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la somme de ces fonctions 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 est égale à la somme de leurs limites individuelles, c’est-à-dire 𝐿 plus 𝐾 ? Et nous pouvons répondre directement à cette question en rappelant l’une des propriétés algébriques des limites. C’est en fait simplement la propriété d’addition des limites. Donc, la réponse à cette question est vrai.
Cependant, il n’est pas très satisfaisant de répondre à une question simplement en rappelant une propriété. Et la démonstration de cette affirmation dépasse le cadre de cette vidéo. Mais il y a un point intéressant à considérer. Pourquoi avons-nous besoin des conditions sur le fait que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe et qu’elle soit égale à 𝐿 et que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 existe et qu’elle soit égale à 𝐾 ? Et nous pouvons trouver plusieurs raisons différentes pour expliquer la présence de ces conditions. Premièrement, dire qu’une limite est égale à la somme de deux limites n’a aucun sens si l’une de ces limites n’existe pas. Mais ce genre de remarque peut nous donner une idée intéressante. Si l’une de ces limites n’existe pas, cela est-il suffisant pour prouver que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 n’existe pas également ?
Et la réponse à cette question est étonnamment non. Pour montrer cela, considérons les fonctions 𝑓 de 𝑥 égale à un sur 𝑥, 𝑔 de 𝑥 égale à moins une sur 𝑥 et 𝑎 égal zéro. Si 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥, 𝑔 de 𝑥 est égale à moins un sur 𝑥 et 𝑎 est égal à zéro, le côté gauche de cette équation se simplifie pour nous donner la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de un sur 𝑥 moins un sur 𝑥. Et un sur 𝑥 moins un sur 𝑥 est égal à zéro. Rappelons que nous cherchons une limite, donc nous ne nous occupons pas du cas où 𝑥 est égal à zéro. Cela nous donne juste la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de zéro, ce qui est égal à zéro.
Cependant, si nous considérons individuellement les limites de chacune de ces fonctions lorsque 𝑥 tend vers zéro, nous pouvons remarquer que ces deux limites n’existent pas. Plus précisément, lorsque 𝑥 tend vers zéro, ces deux limites n’ont pas de limites. Et cela nous dit que la limite de la somme de deux fonctions ne dépend de la somme de la limite des deux fonctions que si la limite de chaque fonction existe. Mais pour répondre à cette question, il est vrai que si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿 et que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝐾, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus 𝑔 de 𝑥 est égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 plus la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑔 de 𝑥.