Vidéo de la leçon : Volume des prismes obliques Mathématiques

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment calculer le volume de prismes obliques.

Donc, il faut d’abord préciser ce que l’on entend par prisme oblique. Et il y a une figure sur l’écran ici pour nous aider à comprendre cela. Peut-être connaissez-vous déjà ce que l’on appelle un prisme droit, que j’ai dessiné à gauche de l’écran. Et ce que vous remarquerez à ce propos, c’est pour le prisme de droite, les faces latérales sont perpendiculaires aux bases. J’ai donc marqué l’une des faces latérales en orange, puis la base en vert. Et vous pouvez voir qu’ils sont perpendiculaires les uns aux autres ou à angle droit, d’où vient le nom de prisme droit.

Maintenant, si vous regardez le prisme oblique, et si je refais le même ombrage, il y a donc la base marquée en vert et l’une des faces latérales ombrées en orange, vous verrez que cette fois-ci elles ne sont pas perpendiculaires les unes aux autres. Donc, il y a la différence entre ces deux types de prisme. Comme je l’ai dit, dans le prisme droit, les faces latérales sont perpendiculaires aux bases, alors que dans le prisme oblique, ce n’est pas le cas.

Cela signifie également que dans un prisme droit, les faces latérales sont des rectangles, alors que dans un prisme oblique, les faces latérales sont des parallélogrammes. Maintenant, vous avez déjà vu comment calculer le volume d’un prisme droit. Cette vidéo nous nous concentrons sur les prismes obliques. Ainsi, pour réfléchir au volume des prismes obliques, nous devons nous appuyer sur un principe appelé principe de Cavalieri. Et cela dit ce qui suit. Si deux solides ont la même hauteur et la même surface en coupe transversale à chaque niveau, ils ont le même volume.

Alors, regardez la figure. Ces deux prismes, l’un est un prisme droit et l’autre est un prisme oblique. Ils ont la même surface de base marquée en vert. Et comme ce sont des prismes, ils auront la même surface à tous les niveaux de leur hauteur. Et ils ont aussi la même hauteur marquée en ℎ. Maintenant, une chose importante à savoir est que c’est la hauteur perpendiculaire. Donc, dans le cas du prisme droit, c’est juste sa hauteur habituelle. Et dans le cas du prisme oblique, c’est cette hauteur qui est perpendiculaire à la base. Vous verrez que j’ai tracé un angle droit dans la suite de cette droite de base. Ainsi, le principe de Cavalieri nous dit que le volume de ces deux prismes est égal.

Une façon peut-être d’aider à visualiser ceci est de penser à une pile de pièces. Ainsi, dans un cas, nous avons ces pièces empilées directement les unes sur les autres, comme dans le prisme droit. Tandis que dans l’autre, nous les avons dans une sorte d’empilement diagonal si vous pouviez les amener à équilibrer comme ça, comme dans un prisme oblique. Et si vous le faisiez vous-même, vous verriez que la hauteur de ces deux piles de pièces est la même. Et bien sûr, le volume est le même parce que ce sont juste les mêmes pièces disposées dans une formation différente. Donc, cela donne une démonstration physique utile de ce principe.

Ce que tout cela signifie alors, dans le cas du calcul du volume d’un prisme oblique, c’est que nous pouvons essentiellement les traiter exactement de la même manière que nous prenons les prismes droits en déterminant la surface de la section puis en la multipliant par la hauteur du prisme. Nous pouvons donc traiter ces deux types de prismes de la même manière. Le seul inconvénient avec le prisme oblique est que nous devons nous assurer que nous utilisons la hauteur perpendiculaire et non une hauteur en pente.

Alors, voyons comment appliquer cela à notre première question.

On nous demande de calculer le volume du prisme rectangulaire oblique ci-dessous.

Alors, rappelez-vous de la discussion précédente alors que le volume de ce prisme oblique sera l’aire de la section transversale, ou la base, multipliée par la hauteur. Donc, je vais utiliser 𝐵 pour représenter la base et ℎ pour représenter la hauteur dans mes formules ici. Ainsi, si l’on regarde le prisme, sa base, ou dans ce cas le sommet que j’ai ombré, est un rectangle de dimensions deux et cinq. Donc, ce sera bien de travailler sur son domaine.

Il suffit ensuite de bien réfléchir à la hauteur du prisme. Parce que nous avons en fait reçu deux hauteurs différentes. On nous a donné les six mètres, ce qui correspond à cette hauteur en pente. Et on nous a donné quatre mètres, ce qui correspond à la hauteur perpendiculaire et, rappelez-vous, à la hauteur perpendiculaire dont nous avons besoin. Donc, dans cette question, nous avons en fait reçu plus d’informations qu’il n’est nécessaire pour vérifier que nous comprenons vraiment la méthode de calcul du volume d’un prisme oblique.

Donc, notre calcul alors, le volume est la surface de base. Eh bien, comme nous l’avons dit, c’est un rectangle de deux et cinq dimensions, donc deux fois cinq. Multiplié par la hauteur, et nous devons utiliser cette mesure de quatre mètres, la hauteur perpendiculaire. Donc, cela nous donne un volume de 40 mètres cubes pour ce prisme rectangulaire oblique.

D’accord, la question suivante dit, calcule le volume d’un prisme hexagonal oblique d’une hauteur perpendiculaire de 10 centimètres et d’une surface de base de 65 centimètres carrés.

Alors, rappelons la formule de volume dont nous avons besoin. Et bien sûr, c’est cette formule que le volume est égal à la base multipliée par la hauteur perpendiculaire. Nous avons donc reçu ces deux mesures. Nous avons juste besoin de les substituer dans cette formule. Donc, dans le cas de ce prisme hexagonal, la surface de base est 65, la hauteur perpendiculaire est 10. Donc, pour calculer le volume, nous multiplions 65 par 10. Ceci nous donne une réponse de 650 centimètres cubes.

La question suivante nous demande de trouver le volume d’un prisme carré oblique d’une hauteur de 7.2 millimètres et d’une arête de base de 4.5 millimètres.

Donc, comme toujours, nous devons rappeler cette formule de volume, qui correspond à la surface de base multipliée par la hauteur. Maintenant, nous avons la hauteur. C’est 7.2 millimètres. Et comme il s’agit d’un prisme carré oblique, nous pouvons calculer l’aire de la base en multipliant ses deux côtés, soit 4.5 fois 4.5. Donc, notre calcul du volume est alors juste 4.5 multiplié par 4.5 pour donner la surface de base puis multiplié par 7.2, qui est la hauteur. Cela nous donne alors une réponse de 145.8 millimètres cubes.

Ainsi, dans chacune de ces questions, la seule considération réelle jusqu’à présent a été la forme de la base car, bien entendu, cela a une incidence sur le calcul que nous effectuons afin de trouver sa surface. Dans le cas d’un carré ou d’un rectangle, c’est relativement simple. Rappelez-vous, bien sûr, si c’est un triangle, vous devez diviser par deux. Ou s’il s’agit d’un autre type de forme à deux dimensions, il vous suffit d’enregistrer la formule appropriée pour calculer sa surface.

À droite, la dernière question nous demande de trouver le volume du cylindre oblique montré.

Donc, nous avons bien sûr besoin de notre formule de volume. Et dans le cas du cylindre, la base est, bien sûr, un cercle. Donc, nous devons aussi rappeler la formule pour trouver l’aire du cercle, qui se souvient est 𝜋𝑟 au carré, où 𝑟 représente le rayon du cercle. Donc, en utilisant ces deux formules, calculons le volume de ce cylindre oblique.

Donc, la surface de base, tout d’abord, est 𝜋𝑟 au carré. Eh bien, si nous regardons la figure, nous n’avons pas reçu le rayon. On nous a donné le diamètre du cercle, qui est de six centimètres. Il faut donc le réduire de moitié pour trouver le rayon. Donc, nous avons 𝜋 multiplié par trois carrés pour l’aire de la base. Ensuite, nous devons multiplier par la hauteur, donc multiplié par cinq. Cela nous donne une réponse puis de 45𝜋. Et nous pourrions laisser notre réponse comme ça si nous n’avions pas de calculatrice, ou si nous voulions une réponse exacte, ou même si elle était demandée. Mais je vais continuer et évaluer cette réponse sous forme décimale. Et cela me donne alors une réponse de 141.4 centimètres cubes. Et cela a été arrondi à une décimale.

Donc, pour résumer, lorsque vous travaillez avec des prismes obliques dus au principe de Cavalieri, vous pouvez les traiter de la même façon que vous faites des prismes corrects. Et vous pouvez calculer leurs volumes en calculant la surface de la base, puis en multipliant par la hauteur. Assurez-vous simplement que vous utilisez la hauteur perpendiculaire, par opposition à toute sorte de hauteur inclinée du prisme.