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Vidéo de la leçon : Trigonométrie du triangle rectangle : déterminer la longueur d’un côté Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la longueur inconnue d’un côté dans un triangle rectangle en choisissant le rapport trigonométrique approprié pour un angle donné.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la longueur inconnue d’un côté dans un triangle rectangle en choisissant le rapport trigonométrique approprié pour un angle donné. Alors, quels sont ces rapports trigonométriques ?

Lorsque nous avons un triangle rectangle, nous utilisons l’acronyme SOH CAH TOA pour nous aider à nous rappeler des définitions des rapports trigonométriques sinus, cosinus et tangente. Nous disons que le sinus de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Le cosinus de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. Et la tangente de l’angle 𝜃 est égale à la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent.

Mais pour obtenir ces rapports corrects, nous devons étiqueter correctement le triangle. Et cela signifie que nous considérerons toujours l’angle que nous utilisons. Ici, c’est notre angle 𝜃. Le côté opposé est le côté directement opposé à l’angle concerné. Le côté adjacent est le côté entre l’angle et l’angle droit. Et l’hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle. C’est juste en face de l’angle droit.

Lorsque nous sommes en mesure de nous souvenir des rapports trigonométriques et d’étiqueter correctement notre triangle rectangle, nous sommes prêts à commencer à chercher comment calculer les longueurs inconnues du triangle rectangle. Voici un exemple où nous devons trouver une longueur inconnue d’un côté.

Trouvez 𝑥 dans la figure donnée. Donnez votre réponse au centième près.

La première chose que nous remarquons est qu’il s’agit d’un triangle rectangle. Nous connaissons un angle et une longueur d’un côté. Et cela signifie que pour résoudre le problème, nous devrons utiliser les rapports trigonométriques. Nous nous souvenons de l’acronyme SOH CAH TOA. Le sinus de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse, cosinus de 𝜃 est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse, et tangente de 𝜃 est égale à l’opposé sur l’adjacent. Notre point de départ est toujours l’angle concerné. On nous donne l’angle de 68 degrés. Et ainsi nous pouvons étiqueter le côté opposé 𝑥 ; le côté adjacent, le côté qui est 11 ; et l’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit.

Une fois que nous avons étiqueté ces côtés, nous voyons que nous avons la longueur du côté adjacent. Et nous nous intéressons à la longueur du côté opposé. Puisque nous traitons l’opposé et l’adjacent, nous examinerons le rapport de la tangente. Puisque la tangente de 𝜃 est égale à l’opposé sur l’adjacent, nous plaçons 68 degrés pour l’angle. Le côté opposé est le côté que nous essayons de trouver, 𝑥. Et le côté adjacent mesure 11.

Afin de résoudre pour trouver 𝑥, nous devons l’isoler pour l’obtenir. Nous pouvons faire ceci en multipliant les deux membres de cette équation par 11. 11 fois tangente de 68 degrés sera égale à la longueur du côté 𝑥. À partir de là, pour résoudre, nous devrons utiliser une calculatrice. Nous entrerons 11 fois tangente de 68 degrés, et cela nous donnera 27,22595 en continu. Si votre calculatrice ne renvoie pas cette valeur, vous devez vérifier et vous assurer qu’elle est réglée en mode degrés et non en radians.

La longueur inconnue du côté de 𝑥 est 27,22595. Nous voulons qu’elle soit au centième près. Pour arrondir au centième près, nous regardons vers la droite. Puisqu’il y a un cinq à la troisième place décimale, nous devons arrondir. Et nous obtiendrons que 𝑥 est égal à 27,23. Comme on nous donne aucune unité, c’est bien de le laisser dans ce format. 𝑥 est égal à 27,23.

Voici un autre exemple. Cette fois, il nous manque deux des longueurs de côté. Et nous devons résoudre le problème pour les deux longueurs inconnues.

Trouvez les valeurs de 𝑥 et 𝑦, en donnant la réponse au millième près.

Nous remarquons qu’il s’agit d’un triangle rectangle. On nous donne un angle et une longueur d’un côté, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des rapports trigonométriques pour résoudre les longueurs inconnues des côtés. En se rappelant l’acronyme SOH CAH TOA, le sinus de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse, cosinus de 𝜃 est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse, et tangente de 𝜃 est égale à l’opposé sur l’adjacent. La clé ici est d’étiqueter ce triangle correctement. Et pour ce faire, nous utiliserons l’angle donné comme point de départ.

Nous étiquetons les longueurs des côtés par rapport à notre angle donné. 𝑦 est le côté opposé à l’angle de 40 degrés . 𝑥 est le côté adjacent à l’angle de 40 degrés. Et l’hypoténuse est toujours du côté opposé à l’angle droit.

Tout d’abord, essayons de résoudre pour trouver 𝑦. Si nous résolvons pour trouver 𝑦 et que nous connaissons l’hypoténuse, nous utiliserons le rapport sinus car le sinus de 𝜃 est l’opposé de l’hypoténuse. Et cela signifie que nous pouvons dire que le sinus de 40 degrés est égal à 𝑦 sur 14. Puisque notre objectif est de résoudre pour trouver 𝑦, nous allons multiplier les deux membres par 14. Et puis nous verrons que 14 fois sinus de 40 degrés est égal à 𝑦. Lorsque nous connectons cela à notre calculatrice, nous obtenons 8,99902 en continu. Si vous n’obtenez pas cette réponse sur votre calculatrice, alors vous devez vérifier et vous assurer que vous travaillez en degrés et non en radians.

Nous voulons notre réponse au millième près. Nous regardons donc à la quatrième place décimale, où il y a un zéro. Cela signifie que nous laissons la troisième place telle qu’elle. 𝑦 est égal à 8,999. Et les unités que nous mesurons sont des centimètres. Nous disons donc que 𝑦 est égal à 8,999 centimètres.

Ensuite, nous devons résoudre pour trouver 𝑥. Et nous pouvons résoudre pour trouver 𝑥 avec deux rapports différents. Nous pourrions utiliser le côté adjacent et l’hypoténuse, qui serait le rapport cosinus. Ou nous pourrions prendre ce que nous avons trouvé pour 𝑦 et l’utiliser comme côté opposé. Et cela signifierait que nous utiliserions le rapport de la tangente parce que nous aurions les côtés opposé et adjacent. Dans ce cas, utilisons l’hypoténuse car cela nous évitera un peu d’écriture.

Nous traitons le rapport cosinus. Nous avons cosinus de 40 degrés est égal à 𝑥 sur 14. Nous allons multiplier les deux membres par 14. 14 fois cosinus de 40 degrés sera égal à 𝑥. Donc 𝑥 sera égal à 10,72462 en continu. Arrondi au millième près, nous devons arrondir à 10,725. Encore une fois, les unités ici seront mesurées en centimètres. Et donc on peut dire que 𝑥 est égal à 10,725 centimètres et 𝑦 est égal à 8,999 centimètres, chacun au millième près.

Remarquez comment dans ces problèmes, nous avons traité les longueurs inconnues des côtés comme numérateur de la fraction dans le rapport. Regardons un exemple où nous avons une longueur de côté qui se retrouve dans le dénominateur de ce rapport.

Trouvez les valeurs de 𝑥 et 𝑦, en donnant la réponse au millième près.

Nous avons un triangle rectangle. On nous donne un angle et une longueur de côté et on nous demande de trouver les longueurs inconnues des deux côtés. Pour ce faire, nous aurons besoin de nos rapports trigonométriques. Et pour s’en souvenir, nous allons utiliser SOH CAH TOA. Le sinus de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse . Le cosinus de 𝜃 est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse. Et la tangente de 𝜃 est égal à l’opposé sur l’adjacent. La clé pour résoudre ces problèmes de manière cohérente est d’étiqueter correctement le triangle. Et nous les étiquetons par rapport à l’angle qui nous est donné. C’est notre point de départ. La longueur du côté opposé est la longueur du côté directement opposé à cet angle. Le côté adjacent est entre cet angle et l’angle droit. Et l’hypoténuse est toujours opposée à l’angle droit.

Une fois qu’un triangle est étiqueté, nous sommes prêts à identifier les rapports dont nous avons besoin. Si nous commençons par trouver la longueur du côté 𝑦, l’hypoténuse, et que nous connaissons déjà la longueur du côté opposé, 28 centimètres, nous devons utiliser le rapport sinus, car le rapport sinus implique la longueur du côté opposé et l’hypoténuse. Le rapport ressemblerait à ceci. Le sinus de 47 degrés est égal à 28 sur 𝑦. Lorsque notre variable est au dénominateur, il faudra deux étapes pour trouver la valeur.

La première chose à faire est de multiplier les deux membres de l’équation par 𝑦. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 𝑦 fois le sinus de 47 degrés égale 28. Si le but est d’isoler 𝑦, alors à ce stade, nous devons diviser les deux membres de l’équation par le sinus de 47 degrés. Et puis à gauche nous aurons juste 𝑦, et à droite nous aurons 28 sur le sinus de 47 degrés.

Lorsque nous connectons cela à la calculatrice, nous obtenons 38,28516 en continu. Nous devons l’arrondir au millième près. Cette valeur est arrondie à 38,285. Les longueurs des côtés sont mesurées en centimètres, donc les unités ici seraient des centimètres. Et cela signifie que nous avons trouvé l’une des longueurs inconnues des côtés.

Pour trouver la longueur du côté 𝑥, nous aurons deux choix. Nous pourrions utiliser l’hypoténuse que nous venons de trouver, 38,285. Si nous faisions cela, nous aurions affaire au côté adjacent et à l’hypoténuse, qui serait la relation cosinus. Ou nous pourrions utiliser le côté de 28 centimètres. Dans ce cas, nous utiliserions le côté opposé et le côté adjacent et aurions besoin du rapport de la tangente.

Dans ce cas, entraînons-nous à avoir la variable 𝑥 dans le dénominateur. La tangente de 47 degrés est égale à 28 sur 𝑥. Pour trouver 𝑥, on commence par multiplier les deux membres de l’équation par 𝑥. Ensuite, nous pouvons dire que 𝑥 fois tangente de 47 degrés est égal à 28. Pour isoler 𝑥, nous divisons les deux membres de l’équation par tangente de 47 degrés. Et donc nous disons que 𝑥 est égal à 28 sur la tangente de 47 degrés, ce qui nous donne 26,11042 en continu. On arrondit au millième près, et on obtient que 𝑥 est égal à 26,110. Ceci est mesuré en centimètres. Et nous avons donc trouvé les deux longueurs inconnues des côtés. Au millième près, 𝑥 est égal à 26,110 centimètres et 𝑦 est égal à 38,285 centimètres.

Regardons un dernier exemple où nous n’avons pas de diagramme.

Trouvez la longueur du segment 𝐴𝐶, étant donné que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, où le sinus de 𝐶 est égal à neuf sur 16 et 𝐴𝐵 est égal à 18 centimètres.

Dans ce cas, la première étape devrait être d’esquisser un triangle rectangle qui remplit ces conditions. Nous avons un triangle rectangle. L’angle droit est en 𝐵, nous appelons donc l’angle droit 𝐵. Et puis nous ajoutons 𝐴 et 𝐶. On nous dit que 𝐴𝐵 mesure 18 centimètres. Et puis nous avons cette autre information que le sinus de 𝐶 est égal à neuf sur 16. Cela nous indique que l’angle avec lequel nous travaillons est l’angle 𝐶. Et si nous pensons à notre acronyme SOH CAH TOA, nous savons que le sinus d’un angle est égal à l’opposé sur l’hypoténuse.

Si l’angle que nous considérons est 𝐶, l’opposé sera le côté 𝐴𝐵, et l’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit. C’est le côté 𝐴𝐶. Et donc ce rapport est de neuf sur 16. Le point clé à retenir ici est que ces relations sont des rapports. Et donc le sinus de l’angle 𝐶 nous dit que pour neuf unités sur le côté opposé, il y aura 16 unités sur la longueur du côté hypoténuse.

On peut donc dire que s’il y a 18 centimètres sur le côté opposé, nous savons que neuf fois deux est égale à 18. Et lorsqu’il s’agit de rapports ou de fractions, si nous multiplions par deux au numérateur, nous devons multiplier par deux au dénominateur. 16 fois deux font 32. Et donc nous pouvons dire que si l’opposé est 18, l’hypoténuse doit être 32. Le segment 𝐴𝐶 est l’hypoténuse, et il mesure 32 centimètres.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Lorsque nous avons des triangles rectangles et que nous devons trouver l’une des longueurs inconnues des côtés, nous devons nous rappeler les trois rapports trigonométriques puis suivre ces étapes. Premièrement, étiquetez les côtés du triangle comme opposé, adjacent et hypoténuse, par rapport à l’angle connu. Deuxièmement, choisissez le rapport trigonométrique correct qui relie le côté connu au côté inconnu en utilisant l’acronyme SOH CAH TOA pour vous aider. Et enfin, remplacez les valeurs et résolvez l’équation.

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