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Sachant que le produit d’une matrice trois par trois avec des éléments moins un, moins six, moins six, zéro, moins deux, moins quatre, deux, quatre et sept, et un vecteur contenant les éléments 𝑥, 𝑦 et 𝑧 est égal au vecteur contenant les éléments moins huit, deux et moins neuf, déterminez les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧.
Nous savons que si la matrice 𝐴 est multipliée par le vecteur 𝐗 et qu’elle égale le vecteur 𝐁, ce vecteur 𝐗 est égal à la matrice inverse de 𝐴 multipliée par le vecteur 𝐁. Nous devons également nous rappeler que l’ordre compte. Nous ne pouvons pas multiplier 𝐁 par la matrice inverse de 𝐴. Nous devons le multiplier dans cet ordre, l’inverse de 𝐴 fois 𝐁. Cela signifie que notre première étape consiste à trouver l’inverse de la matrice 𝐴.
Vous pouvez utiliser une calculatrice graphique pour vous aider à faire cette étape. Mais nous allons voir comment effectuer les étapes à la main sans calculatrice graphique. Il s’agit d’un processus en plusieurs étapes et sera la partie la plus complexe de la résolution de ce problème.
La première étape pour trouver l’inverse de la matrice 𝐴, si l’inverse existe, consiste à trouver la matrice des cofacteurs, 𝐶, égale à la matrice trois par trois 𝐶 indice 𝑖𝑗, dont les coefficients sont les déterminants des mineurs de la matrice correspondante multipliés par le signe alterné, moins un, à la puissance 𝑖 plus 𝑗. Ensuite, nous transposons la matrice des cofacteurs pour trouver la matrice adjointe, parfois appelée matrice adjointe classique. Ensuite, nous calculerons le déterminant de 𝐴 et multiplierons la matrice adjointe par l’inverse du déterminant. Puisque 𝐴 est une matrice trois par trois, nous devons utiliser la formule suivante pour trouver la matrice des cofacteurs de dimension trois par trois.
Remarquez le motif des signes positifs et négatifs alternés devant chaque déterminant. Si nous attribuons le mauvais signe à un élément, cela peut changer complètement notre résultat final.
Pour commencer, nous trouvons le déterminant dans la première ligne, la première colonne. Nous regardons la matrice 𝐴 pour déterminer les quatre éléments dans les positions 𝑒, 𝑓, ℎ et 𝑖. Ce sont moins deux, moins quatre, quatre et sept. Pour calculer le déterminant, nous multiplions l’élément supérieur gauche par l’élément inférieur droit. Puis, on soustrait l’élément inférieur gauche multiplié par l’élément supérieur droit. Et donc le premier élément de notre matrice des cofacteurs est trouvé par moins deux fois sept moins quatre fois moins quatre, ce qui vaut moins 14 moins moins 16, ce qui est égal à plus deux. L’élément supérieur gauche de notre nouvelle matrice sera donc plus deux.
Le déterminant de la première ligne et la deuxième colonne ressemblerait alors à ceci : zéro fois sept moins deux fois moins quatre, ce qui vaut zéro moins moins huit, ce qui est égal à plus huit. Notez cependant qu’en raison de sa position dans la matrice des cofacteurs, nous devons appliquer un signe négatif. Donc, cet élément de la première ligne, la deuxième colonne est moins huit.
Maintenant, nous cherchons l’élément de la première ligne et la troisième colonne : zéro fois quatre moins deux fois moins deux. Cet élément se révèle être plus quatre. Répétons cette démarche pour la deuxième ligne des cofacteurs. Les signes de cette ligne sont moins, plus, moins. Le premier déterminant de cette ligne est moins 18. Mais nous devons prendre la valeur négative de moins 18. Et donc nous avons plus 18 dans la position correspondante à la deuxième ligne et la première colonne.
Dans la deuxième ligne et la deuxième colonne, nous avons plus cinq. Et le déterminant dans la deuxième ligne et la troisième colonne est plus huit. Mais nous devons prendre la valeur négative de cette valeur. Donc, cet élément sera en fait moins huit.
Enfin, nous allons calculer les déterminants de la troisième ligne en utilisant d’abord un signe positif, puis négatif, puis à nouveau positif. Pour la troisième ligne et la première colonne, nous obtenons plus 12. Dans la troisième ligne et la deuxième colonne, nous obtenons quatre. Mais nous devons multiplier cela par moins un, ce qui nous donne moins quatre. Et en position finale, nous obtenons un résultat de plus deux.
Nous avons maintenant notre matrice complète des cofacteurs. Notre prochaine étape consiste à trouver la matrice adjointe. Nous le faisons en transposant les lignes et les colonnes. Et cela ressemble à une réflexion par rapport à la diagonale. Les éléments le long de la diagonale restent les mêmes. Mais nous échangeons moins huit et plus 18, le quatre avec 12 et moins huit avec moins quatre. Ainsi, l’adjointe de la matrice 𝐴 est deux, 18, 12, moins huit, cinq, moins quatre, quatre, moins huit, deux.
Notre dernière étape consiste à multiplier ensuite la matrice adjointe par l’inverse du déterminant de la matrice initiale 𝐴. Pour calculer le déterminant, nous pouvons utiliser cette formule. Nous allons multiplier chaque élément de la ligne supérieure par les cofacteurs correspondants que nous avons trouvés à l’étape précédente. Le déterminant de la première ligne et la première colonne était deux. La première ligne, la deuxième colonne était huit. Et la première ligne, la troisième colonne était quatre. L’expression se simplifie en moins deux plus 48 moins 24. Donc, le déterminant de 𝐴 est 22. Ainsi, l’inverse du déterminant de la matrice 𝐴 est alors un sur 22. Au total, l’inverse de la matrice 𝐴 est un sur 22 fois l’adjointe.
Après avoir multiplié chaque élément par un sur 22, le produit ressemble à ceci. Comme nous l’avons dit au début, pour résoudre ce système, nous devons calculer l’inverse de la matrice 𝐴 fois 𝐁. Le tableau résultant contiendra trois éléments : une valeur pour 𝑥, une valeur pour 𝑦 et une valeur pour 𝑧.
Pour trouver 𝑥, nous multiplions moins huit par un sur 11, deux par neuf sur 11 et moins neuf par six sur 11, puis trouvons la somme de ces produits. Cette expression se simplifie en moins 44 sur 11. Donc, la valeur de 𝑥 est moins quatre.
La valeur de 𝑦 est déterminée en calculant moins huit fois moins quatre sur 11 plus deux fois cinq sur 22 plus moins neuf fois moins deux sur 11, ce qui se réduit à 55 sur 11. Donc 𝑦 est égal à plus cinq.
Et enfin, pour résoudre 𝑧, nous devons calculer moins huit fois deux sur 11 plus deux fois moins quatre sur 11 plus moins neuf fois un sur 11. Cette expression se simplifie en moins 33 sur 11. Donc 𝑧 est égal à moins trois.
Par conséquent, dans ces conditions, 𝑥 est égal à moins quatre, 𝑦 est égal à cinq et 𝑧 est égal à moins trois.