Vidéo : Comment Pi a failli être 6.283185

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Comment Pi a failli être 6.283185

05:29

Transcription de vidéo

Je suis sûr que vous êtes déjà familier avec l’ensemble 𝜋 par rapport à τ débat. Beaucoup de gens disent que la constante de cercle fondamentale que nous fixons devrait être le rapport de la circonférence d’un cercle à son rayon, qui est d’environ 6.28. Pas le rapport à son diamètre, le plus familier 3.14. Ces jours -ci, nous appelons souvent que les grandes constantes τ, popularisé par le manifeste de tau de Michael Hartl. Bien que, personnellement, je suis tout à fait partielle à la notation proposée de Robert Palais d’un 𝜋 avec trois jambes.

Dans l’un de ces manifestes et beaucoup, beaucoup d’autres endroits de l’Internet, vous pouvez lire sans fin sur le nombre de formules ressemblent beaucoup plus propre en utilisant τ. En grande partie parce que le nombre de radians décrivant une fraction donnée d’un cercle est en fait que fraction de τ. Ce cheval mort est battu. Je ne suis pas ici pour faire avancer le dossier.

Au lieu de cela, j’aimerais parler du moment séminal de l’histoire lorsque 𝜋, comme nous le savons, il est devenu la norme. Pour cela, les anciennes notes et lettres de l’un des mathématiciens les plus influents de l’histoire, Leonhard Euler, constituent un lieu intéressant à regarder. Heureusement, nous avons maintenant un correspondant officiel de Three Blue One Brown Switzerland, Ben Hambrecht. Qui a pu aller à la bibliothèque dans la ville natale d’Euler et mettre la main sur certains des documents originaux.

Et en parcourant certains de ceux-ci, vous pourriez être surpris de voir Euler écrire. Soit 𝜋 la circonférence d’un cercle dont le rayon est égal à un. C’est la constante de 6.28 que nous appellerions maintenant 𝜏. Et il est probable qu’il utilisait probablement la lettre grecque 𝜋 comme un « p » pour « périmètre ». Ainsi est-il vrai que Euler, génie du jour, était plus éclairé que le reste du monde, le bon combat pour 6.28 ? Et si oui, qui est le méchant de notre histoire, poussant la constante de 3.1415 devant la plupart des étudiants aujourd’hui ?

Eh bien, le travail qui a réellement établi 𝜋 tel que nous le connaissons maintenant en tant que constante de cercle communément reconnue était un livre de calcul précoce datant de 1748. Au début du chapitre 8, décrivant la demi-circonférence d’un cercle de rayon un. Et après avoir développé 128 chiffres complets de ce numéro, l’un d’eux est faux en passant. L’auteur ajoute : « qui, pour des raisons de concision, je peux écrire 𝜋 ».

Maintenant, il y avait d’autres textes et lettres ici et là avec des conventions différentes pour la notation de diverses constantes de cercle. Mais ce livre, et cette section en particulier, était vraiment celui qui diffusait la notation dans toute l’Europe et, finalement, dans le monde entier. Alors quel monstre a écrit ce livre avec une telle prise sans principes envers les constantes du cercle ?

Eh bien, encore Euler. En fait, si vous regardez plus loin, vous pouvez trouver des exemples d’Euler en utilisant le symbole 𝜋 pour représenter un quart de tour du cercle, ce que nous appellerions aujourd’hui des moitiés ou T pour quarts. En fait, l’utilisation d’Euler de la lettre 𝜋 semble être beaucoup plus analogue à notre utilisation de la lettre grecque 𝜃. Il est typique pour nous de laisser cela représenter un angle, mais pas un angle en particulier. Parfois, il fait 30 degrés. Peut-être d’autres fois, c’est 135. Et la plupart du temps, c’est juste une variable pour un énoncé général. Cela dépend du problème et du contexte devant nous.

De même, Euler permet à 𝜋 de représenter le cercle qui convient le mieux au problème dont il est saisi. Cela vaut la peine de souligner qu’il a généralement défini les choses en termes de cercles d’unités, avec un rayon de un. La constante de 3.1415 aurait donc presque toujours été pensée comme le rapport du demi-cercle d’un cercle à son rayon. Aucune de cette circonférence à son diamètre absurdité. Et je pense que l’utilisation de ce symbole par Euler comporte une leçon générale sur la façon dont nous devrions aborder les mathématiques.

Ce que vous devez comprendre à propos d’Euler, c’est que cet homme a résolu des problèmes, beaucoup de problèmes. Je veux dire, jour après jour, petit-déjeuner, déjeuner et dîner, il ne faisait que lancer des puzzles et des formules, avoir des idées et créer de nouveaux champs, à gauche et à droite. Au cours de sa vie, il a écrit plus de 500 livres et papiers, ce qui représente 800 pages par an. Et ce sont des pages mathématiques denses. Et puis, après sa mort, 400 autres publications ont fait surface.

On dit souvent en plaisantant que les formules en maths doivent être nommées après la deuxième personne pour les prouver, car la première personne sera toujours Euler. Son esprit n’était pas centré sur le cercle constant à considérer comme fondamental. Il s’agissait de résoudre la tâche qui l’attendait à un moment donné et d’écrire une lettre aux Bernoullis pour se vanter de l’avoir fait par la suite.

Pour certains problèmes, il était tout à fait naturel de penser à la constante de quart de cercle. Pour d’autres, la constante du cercle complet. Et pour d’autres encore, par exemple au début du chapitre 8 de son célèbre cahier de calcul, il était peut-être plus naturel de penser à la constante demi-cercle. Trop souvent, dans l’enseignement des mathématiques, l’accent est mis sur le point de savoir lequel de plusieurs points de vue divergents sur un sujet est « correct ». Est-il exact de dire que la somme de tous les entiers positifs est moins un douzième ? Ou est-il correct de dire qu’il diverge à l’infini ? Les valeurs infinitésimales du calcul peuvent-elles être prises littéralement ? Ou est-ce juste de parler en termes de limites ? Êtes-vous autorisé à diviser un nombre par zéro ?

Ces questions isolément ne comptent tout simplement pas. Nous devrions nous concentrer sur des problèmes spécifiques et des énigmes, à la fois d’application pratique et de ceux qui réfléchissent au ralenti pour le savoir. Ensuite, lorsque des questions de normes se posent, vous pouvez y répondre dans un contexte donné. Et inévitablement, différents contextes se prêteront à différentes réponses de ce qui semble le plus naturel. Mais ça va.

La publication de 800 pages par an de données de transformation denses semble être plus corrélée à une flexibilité à l’égard des conventions qu’à la focalisation sur les normes qui sont objectivement correctes. Donc, ce jour de 𝜋, la prochaine fois que quelqu’un vous dit que, vous le savez, nous devrions célébrer les mathématiques le 28 juin. Voyez à quelle vitesse vous pouvez rapidement changer de sujet et parler d’un calcul.

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