Vidéo : Estimer des probabilités de la loi normale dans un contexte

Une récolte de pommes a un poids moyen de 105 g et un écart-type de 3 g. On suppose que la loi normale est un modèle approprié pour ces données. Quelle est la probabilité approximative qu’une pomme sélectionnée de manière aléatoire dans cette culture ait un poids supérieur à 111 g ?

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Transcription de vidéo

Une récolte de pommes a un poids moyen de 105 grammes et un écart-type de trois grammes. On suppose que la loi normale est un modèle approprié pour ces données. Quelle est la probabilité approximative qu’une pomme sélectionnée de manière aléatoire dans cette culture ait un poids supérieur à 111 grammes ?

Nous avons vu ces mots clés distribution normale. Nous dessinons donc une courbe en forme de cloche standard pour aider à représenter la distribution des poids. La courbe de la loi normale est centrée sur la moyenne 𝜇 de la loi normale, ce que la question donne, c’est 105 grammes. L’unité naturelle en bas est 𝜎, l’écart-type, qui, nous dit-on, est de trois grammes.

Ainsi, par exemple, à un écart-type au-dessus de la moyenne, qui est 105, on est à 108. Et nous pouvons également renseigner les autres valeurs marquées. Les valeurs 99, 102 et 111 sont liées aux valeurs 105 et 108. Nous recherchons la probabilité approximative qu’une pomme sélectionnée au hasard dans cette culture pèse plus de 111 grammes.

Heureusement, nous avons déjà 111 marqué. Nous voyons donc que la probabilité que le poids de la pomme soit supérieur à 111 grammes est représentée par cette région que j’ai colorée. En général, dans les lois normales, 34 pour cent des données se situent entre la moyenne et un écart-type au-dessus de la moyenne. C’est la même proportion à un écart-type inférieur à la moyenne. Cela est dû à la symétrie de la courbe en cloche.

Il y a encore 13.5 pour cent des données dans cette région allant d’un écart-type au-dessus de la moyenne à deux écarts-types au-dessus de la moyenne. Et par symétrie, la région de deux écarts-types sous la moyenne à un écart-type sous la moyenne présente également cette proportion des données. Le reste des données doit se trouver dans les régions colorées en orange et rose-violet.

À combien de données cela correspond-il ? Eh bien, c’est toutes les données moins ce qui a déjà été comptabilisé. Nous devons soustraire deux paquets de 34 pour cent et deux paquets de 13.5 pour cent. Et cela nous laisse avec cinq pour cent des données partagées entre les deux régions colorées.

Et par symétrie, les deux régions colorées doivent avoir la même proportion de données. Ainsi, la proportion de points dans la zone ombrée en orange qui représente la probabilité qu’une pomme sélectionnée de manière aléatoire dans la culture ait un poids supérieur à 111 grammes est de 2,5 pour cent.

En réalité, il ne s’agit que d’une valeur approximative, car tous les pourcentages avec lesquels nous travaillons ont été arrondis. Cette valeur est très proche de la valeur de 2.35 pour cent, qui est la proportion des points situés entre deux écarts-types et trois écarts-types au-dessus de la moyenne.

Dans la région située au-dessus de la ligne, il existe 2.35 pour cent des données. Mais nous devons également inclure 0.15 pour cent des données, qui se situent dans la longue traîne au-delà de trois écarts-types au-dessus de la moyenne.

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