Vidéo : Un modèle vraiment curieux

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Un modèle vraiment curieux

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Transcription de vidéo

Choisissez deux points sur un cercle et reliez-les par une droite. L’espace encerclé est divisé en deux. Ajoutez à ces deux points un troisième, ce qui nous donne encore deux cordes. L’espace par lequel passe ces droites est divisé en quatre. Continuez avec un quatrième point et trois autres droites. Maintenant, le nombre de ces régions jointes est au total huit. Un cinquième point et ses quatre droites renforcent ce modèle obtenu. En comptant les sections, on devine qu’il y en a maintenant 16.

Cette tendance à doubler semble solide. Mais une dernière étape est troublante, la sixième donne 31. Attendez ! Quoi ? Un, deux, quatre, huit, 16, 31 ? Que se passe-t-il ici ? Pourquoi le modèle commence-t-il comme des puissances de deux, puis manque une unité à la sixième itération ?

Cela semble arbitraire. Pourquoi pas un, deux, quatre, huit, 16, 32, 63, ou un, deux, quatre, huit, 15 ? Si vous continuez, le nombre de sections s’éloigne encore plus des puissances de deux, sauf lorsqu’il atteint 256.

Mais cela nous pousse à nous demander quel est vraiment le modèle, et pourquoi flirte-t-il avec les puissances de deux. Dans mes prochaines vidéos, j’expliquerai ce qui se passe, et cela comprendra l’une de mes démonstrations préférées de tous les temps. Mais les problèmes intéressants méritent d’être partagés, envisagés et discutés avant que leurs secrets ne soient vite révélés. Donc pendant que je travaille sur l’animation de mon explication, je vous encourage à penser à la vôtre.

Pour être clair, la question est la suivante : si vous prenez un ensemble de points sur un cercle, et vous reliez chaque paire par une droite, alors en combien de sections ces droites coupent-elles le cercle ? Est-ce important où se situent ces points ? Et pourquoi la réponse coïncide-t-elle avec des puissances de deux, pour moins de six points ?

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