Vidéo de la leçon : Module d’un nombre complexe Mathématiques

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le module d’un nombre complexe. Nous allons apprendre ce que nous entendons par module avant de dériver une formule standard que nous pouvons utiliser dans tous les cas. Nous examinerons ensuite les propriétés du module par rapport aux opérations sur les nombres complexes, telles que l’addition, la multiplication et la division, avant de résoudre des équations simples impliquant le module d’un nombre complexe.

Nous avons vu que nous pouvons représenter des nombres complexes sur un plan bidimensionnel. Nous appelons ce plan le diagramme d’Argand ou le plan d’Argand, d’après le mathématicien amateur qui l’a découvert au début des années 1800. Nous pouvons l’utiliser pour représenter graphiquement un nombre complexe de la forme 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖, dont la partie réelle est 𝑎 et la partie imaginaire 𝑏. Pour ce faire, nous localisons la partie réelle 𝑎 sur l’axe réel. C’est-à-dire l’axe horizontal. Et puis nous montons ou descendons pour localiser la partie imaginaire, c’est-à-dire 𝑏, sur l’axe imaginaire, l’axe vertical. Notre nombre complexe peut donc être représenté par le point de coordonnées 𝑎, 𝑏 comme indiqué.

Nous ajoutons une droite reliant ce point à l’origine. Et nous voyons que nous pouvons maintenant calculer des informations supplémentaires. Nous pouvons calculer la longueur de ce segment de droite. Nous appelons cela le module du nombre complexe. Et il est noté comme indiqué. Alors, comment pouvons-nous calculer la longueur de ce segment de droite ? Eh bien, nous pouvons former un triangle rectangle avec ce côté comme hypoténuse. La base de ce triangle est de 𝑎 unités de longueur. Et la hauteur du triangle est de 𝑏 unités de longueur.

Il s’agit d’un triangle rectangle. Nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l’hypoténuse. Ce théorème nous dit que pour un triangle rectangle de côtés de longueur 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où 𝑐 est l’hypoténuse, 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. Nous avons dit que la longueur de l’hypoténuse dans notre triangle est le module de 𝑧. Ainsi, le module de 𝑧 au carré doit être égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Nous allons résoudre ce problème pour le module de 𝑧 en calculant la racine carrée des deux côtés. Et nous voyons que nous avons créé une formule pour le module de 𝑧 donné par 𝑎 plus 𝑏𝑖. Il s’agit de la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Cela est parfois appelé la valeur absolue de 𝑧. Et, bien sûr, comme cela représente une longueur, nous savons que le module de 𝑧 sera toujours supérieur à zéro. On l’appelle aussi parfois la norme du nombre complexe en raison de l’interprétation géométrique d’un nombre complexe en tant que vecteur. Nous allons maintenant examiner un exemple d’application de cette formule.

Quel est le module du nombre complexe trois plus sept 𝑖 ?

La définition du module d’un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. 𝑎 est la partie réelle du nombre complexe tandis que 𝑏 est la partie imaginaire. Comparons cette forme à notre nombre complexe trois plus sept 𝑖. Ce nombre complexe a une partie réelle de trois et une partie imaginaire de sept. Elle n’est pas égale à sept 𝑖. La partie imaginaire est en sorte le coefficient de 𝑖. Nous pouvons substituer ces valeurs dans la formule du module. Et nous obtenons la racine carrée de trois au carré plus sept au carré. Trois au carré égale neuf et sept au carré égale 49. Le module est donc la racine carrée de 58.

Nous essayons généralement de simplifier ce nombre irrationnel. Cependant, il n’y a pas de facteur de 58 qui soit un nombre carré. Nous avons donc terminé ; cela est sous la forme la plus simple. Et nous pouvons dire que le module du nombre complexe trois plus sept 𝑖 est racine de 58.

Dans notre prochain exemple, nous examinerons la relation entre le module d’un nombre complexe et le module de son conjugué. Au fur et à mesure, essayons de nous souvenir de la relation entre la représentation d’un nombre complexe et son conjugué sur le plan d’Argand.

Considérez le nombre complexe 𝑧 égale moins quatre plus 𝑖 racine de cinq. Première partie : calculez le module de 𝑧. Deuxième partie : calculez le module du conjugué de 𝑧. Troisième partie : déterminez le produit de 𝑧 avec son conjugué.

Pour la première partie, on nous a donné un nombre complexe. Et on nous a demandé de trouver son module. Rappelons que pour un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, le module est donné par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. 𝑎 est la partie réelle du nombre complexe tandis que 𝑏 est la partie imaginaire. Comparons cette forme à notre nombre complexe, moins quatre plus 𝑖 racine cinq.

Sa partie réelle est moins quatre et sa partie imaginaire est la racine carrée de cinq. En substituant ces valeurs dans la formule du module, nous voyons que le module de 𝑧 est donné par la racine carrée de moins quatre au carré plus racine carrée de cinq au carré. Moins quatre au carré égale 16. Et la racine carrée de cinq au carré est cinq. Nous voyons donc que le module de 𝑧 est la racine carrée de 21.

Pour la deuxième partie, on nous demande de trouver le module du conjugué complexe de 𝑧. Pour trouver le conjugué, nous avons changé le signe de la partie imaginaire. Dans cet exemple, le conjugué de 𝑧 est moins quatre moins 𝑖 racine de cinq. Cette fois, la partie réelle de notre nombre est moins quatre. Et la partie imaginaire est moins racine de cinq. En substituant ces valeurs dans notre formule pour le module, nous voyons que le module du conjugué est la racine carrée de moins quatre au carré plus moins racine de cinq au carré. Bien sûr, moins quatre au carré est encore une fois égal à 16. Et moins racine de cinq au carré égale cinq. Nous voyons donc que le module du conjugué de 𝑧 est aussi racine de 21.

Pour la troisième partie, on nous demande de trouver le produit de 𝑧 avec son conjugué. Nous avons vu que le conjugué de 𝑧 était moins quatre moins 𝑖 racine cinq. Ainsi, le produit de 𝑧 avec son conjugué est moins quatre plus 𝑖 racine cinq multiplié par moins quatre moins 𝑖 racine cinq. Et nous pouvons utiliser la manipulation algébrique d’un binôme pour calculer ce produit. Nous pouvons utiliser la double distributivité ou toute autre méthode. Utilisons par exemple un tableau.

Nous commençons par multiplier moins quatre par moins quatre, cela donne 16. Ensuite, nous multiplions moins quatre par 𝑖 racine de cinq. Et nous obtenons moins quatre 𝑖 racine cinq. Et on peut écrire cela dans un ordre différent. Mais nous avons ici choisi de mettre la racine carrée de cinq à la fin de ce terme pour qu’il soit clair que 𝑖 n’est pas dans la racine carrée. Ensuite, nous multiplions moins 𝑖 racine cinq par moins quatre. Et nous obtenons quatre 𝑖 racine de cinq. Et lorsque nous multiplions les deux termes restants, nous obtenons moins 𝑖 au carré multiplié par racine carrée de cinq au carré.

Eh bien, la racine carrée de cinq au carré est simplement cinq. Et 𝑖 au carré est égal à moins un. Nous avons donc moins moins un multiplié par cinq. Et cela se simplifie en cinq. Ensuite, nous collectons les termes semblables. Et nous remarquons que nous ajoutons quatre 𝑖 racine de cinq et moins quatre 𝑖 racine de cinq. Cela nous donne zéro. Donc notre développement devient six plus cinq, soit 21. Et le produit de notre nombre complexe avec son conjugué est 21.

Dans cet exemple, nous avons vu que non seulement le module d’un nombre complexe est égal au module de son conjugué, mais aussi que le carré du module d’un nombre complexe est égal au produit d’un nombre complexe avec son conjugué. Alors, nous avons proposé plus tôt de réfléchir à la relation entre la représentation d’un nombre complexe et son conjugué sur le plan d’Argand.

Ce faisant, nous voyons que cette première règle a beaucoup de sens. Elle représente une réflexion par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 ou à l’axe réel. Et nous pouvons donc voir que la longueur du segment joignant 𝑧 à l’origine est exactement la même que la longueur du segment joignant le conjugué de 𝑧 à l’origine. Et cela nous confirme que le module de 𝑧 doit être égal au module du conjugué de 𝑧. Nous allons maintenant voir la relation entre l’addition et le module d’un nombre complexe.

Considérons deux nombres complexes, 𝑤 égale moins un plus sept 𝑖 et 𝑧 égale cinq moins trois 𝑖. Première partie : calculez le module de 𝑤 plus le module de 𝑧 au centième près.

Et il y a deux autres parties à cette question que nous examinerons dans un instant. La première partie nous demande de déterminer le module de 𝑤 et le module de 𝑧. Et puis trouver la somme de ces deux valeurs. Rappelons que la définition du module d’un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Si nous comparons cela à notre premier nombre complexe 𝑤, nous pouvons voir que 𝑎, la partie réelle, est moins un. Et nous voyons que 𝑏, la partie imaginaire, est sept.

Ainsi, le module de 𝑤 est donné par la racine carrée de moins un au carré plus sept au carré. Moins un carré égale un et sept au carré égale 49. Le module de 𝑤 est donc la racine carrée de 50. Et nous allons évaluer notre réponse au centième près. Donc peu importe que nous écrivions cela dans sa forme la plus simple ou non. Mais si nous le faisons, nous constatons que le module de 𝑤 est cinq racine de deux.

Nous allons répéter ce processus pour le module de 𝑧. La partie réelle de 𝑧, soit 𝑎, est cinq. Et la partie imaginaire est moins trois. Ainsi, le module de 𝑧 est égal à la racine carrée de cinq au carré plus moins trois au carré. C’est-à-dire la racine carrée de 25 plus neuf, soit racine de 34. Donc la somme de ces deux nombres est cinq racine de deux plus racine de 34, soit 12,9020 et ainsi de suite. Arrondi au centième près, cela fait 12,90.

Deuxième partie : calculez le module de 𝑧 plus 𝑤 au centième près.

Cette fois, nous devons d’abord ajouter les nombres complexes, puis calculer le module de leur somme. Pour ajouter deux nombres complexes, nous ajoutons leurs parties réelles, puis nous ajoutons séparément leurs parties complexes. Ceci est un peu comme la collecte de termes semblables. Cinq plus moins un égale quatre et moins trois plus sept égale quatre. Nous avons donc quatre plus quatre 𝑖. La partie réelle de ce nombre est quatre. Et la partie imaginaire est aussi quatre. Le module est donc la racine carrée de quatre au carré plus quatre au carré, qui est la racine carrée de 32. Et si nous évaluons cela à la calculatrice, nous voyons que le module de la somme de ces deux nombres complexes est de 5,66, au centième près.

Troisième partie : Lesquelles des relations suivantes sont vraies pour 𝑤 et 𝑧 ? a) Le module de 𝑤 plus le module de 𝑧 est égal au module de 𝑧 plus 𝑤. b) Le module de 𝑤 plus le module de 𝑧 est supérieur ou égal au module de 𝑧 plus 𝑤. c) Cela est inférieur ou égal au module de 𝑧 plus 𝑤. d) Cela est égal à deux fois le module de 𝑧 plus 𝑤. Et e) la racine carrée du module de 𝑤 plus le module de 𝑧 est égale au module de 𝑧 plus 𝑤.

Il est clair que ces deux nombres ne sont pas égaux. Nous pouvons donc immédiatement exclure a. En fait, nous voyons que le module de 𝑤 plus le module de 𝑧 est plus grand que le module de 𝑧 plus 𝑤. Il semble donc que l’option b est correcte. Nous allons vérifier les trois autres. Clairement, nous avons vu que c ne peut pas être correct. Et en fait, si nous multiplions par deux le module de 𝑧 plus 𝑤, nous obtenons 11,32. Donc d est incorrect. Et si nous calculons la racine carrée de la somme de leurs modules, cela vaut 3,59, ce qui nous montre encore une fois que e est également incorrect. Donc la bonne réponse est b.

En fait, cette affirmation est valable pour tous les nombres complexes. On peut dire que pour deux nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux, la somme de leurs modules sera toujours supérieure ou égale au module de leur somme.

Et qu’en est-il de la multiplication et de la division ? Voyons la relation entre la multiplication et la division et le module d’un nombre complexe.

Considérons les nombres complexes 𝑧 égale trois moins quatre 𝑖 et 𝑤 égale moins 15 plus huit 𝑖. Première partie : Déterminez le module de 𝑧 et le module de 𝑤.

Et il y a deux autres parties à cette question que nous examinerons dans un instant. Rappelons que pour un nombre complexe 𝑧 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖, le module de 𝑧 est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Si nous comparons cela à notre premier nombre complexe, nous voyons qu’il a une partie réelle de trois et une partie imaginaire b de moins quatre. Le module de 𝑧 est donc la racine carrée de trois au carré plus moins quatre au carré. La racine carrée de trois au carré plus moins quatre au carré est la racine carrée de 25, soit simplement cinq. 𝑤 a une partie réelle de moins 15 et une partie imaginaire de huit. Ainsi, le module de 𝑤 est la racine carrée de moins 15 au carré plus huit au carré. Cela vaut racine carrée de 289, soit 17.

Deuxième partie : calculez le module de 𝑧𝑤. Comparez cela au module de 𝑧 multiplié par le module de 𝑤.

Cette fois, nous devons calculer le produit des nombres complexes 𝑧 et 𝑤. Nous pouvons utiliser la manipulation algébrique des binômes pour calculer trois moins quatre 𝑖 multiplié par moins 15 plus huit 𝑖. Nous pouvons utiliser la double distributivité ou toute autre méthode. Utilisons par exemple la double distributivité.

Nous commençons par multiplier les premiers termes de chaque parenthèse. Cela vaut moins 45. Lorsque nous multiplions les termes extérieurs, trois multiplié par huit 𝑖 égale 24𝑖. Moins quatre 𝑖 multiplié par moins 15 égale 60𝑖. Et lorsque nous multiplions les deux derniers termes, nous obtenons moins 32𝑖 au carré. Mais, bien sûr, 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc moins 32 𝑖 au carré est égal à plus 32. Et nous voyons alors que le produit 𝑧𝑤 est moins 13 plus 84𝑖. Et cela signifie que le module de leur produit est la racine carrée de moins 13 au carré plus 84 au carré, soit 85.

Maintenant, si nous comparons cela aux modules que nous avons calculés plus tôt, si nous les multiplions, nous obtenons cinq multiplié par 17, ce qui vaut également 85. Et nous pouvons dire que le module de 𝑧𝑤 est égal au module de 𝑧 multiplié par le module de 𝑤. Faisons de la place et examinons la troisième partie.

Calculez le module de 𝑧 divisé par 𝑤. Comparez cela au module de 𝑧 divisé par le module 𝑤.

Cette fois, nous devons calculer 𝑧 divisé par 𝑤. Cela vaut trois moins quatre 𝑖 divisé par moins 15 plus huit 𝑖. Tout comme pour rationaliser le dénominateur d’une fraction avec une racine au dénominateur, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le conjugué du dénominateur. Pour trouver le conjugué, on change le signe de la partie imaginaire. Donc le conjugué ici est moins 15 moins huit 𝑖. Et encore une fois, nous développons comme d’habitude.

Au numérateur, nous obtenons moins 45 moins 24𝑖 plus 60𝑖 plus 32 𝑖 au carré, ce qui devient moins 32 parce que 𝑖 au carré est égal à moins un. Et nous obtenons moins 77 plus 36𝑖 comme numérateur simplifié. Au dénominateur, nous obtenons 225 plus 120𝑖 moins 120𝑖 moins 64 𝑖 au carré, soit 289. Le module est la racine carrée de moins 77 sur 289 au carré plus 36 sur 289 au carré. Et nous pouvons simplifier cela en sortant un facteur de 289 au carré. Et quand nous le faisons, il nous reste un sur 289, car nous le sortons de la racine carrée, multiplié par la racine carrée de 5929 plus 1296. Cela devient 85 sur 289. Cela se simplifie en cinq dix-septièmes.

Et, en fait, si nous regardons attentivement, diviser le module de 𝑧 par le module de 𝑤, donne cinq dix-septièmes. Et nous voyons que le module de 𝑧 divisé par le module de 𝑤 est égal au module de 𝑧 divisé par 𝑤.

Terminons en regardant un bref exemple de la façon dont les propriétés que nous avons examinées peuvent nous aider à résoudre des équations impliquant le module.

Si 𝑧 est égal à un sur le conjugué de 𝑧, où 𝑧 est un nombre complexe, quel est le module de 𝑧 ?

Pour résoudre cette équation, nous allons commencer par déterminer le module des deux côtés. Et nous savons que le module du quotient de deux nombres complexes est le même que le quotient de leurs modules respectifs. Ainsi, le côté droit de cette équation devient le module de un divisé par le module du conjugué de 𝑧. Nous savons que le module de un est un. Et nous savons aussi que le module d’un nombre complexe 𝑧 est le même que le module du conjugué de 𝑧. Nous avons donc module de 𝑧 égale un divisé par le module de 𝑧. Nous allons multiplier les deux côtés de cette équation par le module de 𝑧. Et puis nous prenons la racine carrée des deux côtés.

Nous considérons d’habitude la racine carrée positive et la négative. Mais le module représente une longueur et doit donc toujours être positif. On peut donc dire que le module de 𝑧 est égal à la racine carrée de un qui est, bien sûr, simplement un.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons déterminer le module d’un nombre complexe en prenant la racine carrée de la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire de ce nombre. Et cela représente la distance de 𝑧 à partir de l’origine. Et nous avons appris un certain nombre de propriétés sur le module de 𝑧. Et, en fait, il y en a une de plus. Nous pouvons étendre la propriété de multiplication pour voir que le module de 𝑧 élevé à la puissance 𝑛 est égal au module de 𝑧 élevé à la puissance 𝑛.