Vidéo : Module d’un nombre complexe

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser la formule générale pour calculer le module d’un nombre complexe.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le module d’un nombre complexe. Nous allons apprendre ce que nous entendons par le terme module, avant de dériver une formule standard que nous pouvons utiliser dans tous les cas. Nous envisagerons ensuite les propriétés du module en relation avec les opérations sur les nombres complexes — telles que l’addition, la multiplication et la division — avant de résoudre des équations simples impliquant le module d’un nombre complexe.

Nous avons vu que nous pouvons représenter des nombres complexes sur un plan bidimensionnel. Nous appelons ce plan le diagramme d’Argand ou le plan d’Argand, d’après le mathématicien amateur qui l’a découvert au début du XIXe siècle. Nous pouvons l’utiliser pour représenter graphiquement un nombre complexe de la forme 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖, dont la partie réelle est 𝑎 et la partie imaginaire est 𝑏. Pour ce faire, nous repérons la partie réelle 𝑎 sur l’axe réel. C’est l’axe horizontal. Ensuite, nous nous déplaçons vers le haut ou vers le bas pour repérer la partie imaginaire, c’est-à-dire 𝑏, sur l’axe imaginaire, l’axe vertical. Notre nombre complexe peut donc être représenté par le point 𝑎, 𝑏 comme indiqué.

Nous ajoutons une droite reliant ce point à l’origine. Et nous voyons qu’on peut maintenant calculer des informations supplémentaires. On peut calculer la longueur de ce segment. Nous appelons cela le module du nombre complexe. Et c’est noté comme indiqué. Alors, comment calcule-t-on la longueur de ce segment ? Eh bien, nous pouvons créer un triangle rectangle avec ce côté comme hypoténuse. La base de ce triangle a une longueur de 𝑎 unités. Et la hauteur du triangle est de 𝑏 unités de longueur.

C’est un triangle rectangle. Nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l’hypoténuse. Cela indique que pour un triangle rectangle de côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐, où 𝑐 est l’hypoténuse, 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. Nous avons dit que la longueur de l’hypoténuse dans notre triangle est le module de 𝑧. Le module de 𝑧 au carré doit donc être égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Nous allons résoudre ce problème pour le module de 𝑧 en trouvant la racine carrée des deux côtés. Et nous voyons que nous avons créé une formule pour le module de 𝑧 donnée par 𝑎 plus 𝑏𝑖. C’est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.

Ceci est parfois appelé la valeur absolue de 𝑧. Et, bien sûr, puisqu’elle représente une longueur, nous savons que le module de 𝑧 sera toujours strictement supérieur à zéro. En fait, on parle souvent aussi de la norme du nombre complexe en raison de l’interprétation géométrique d’un nombre complexe en tant que vecteur. Nous allons maintenant voir un exemple d’application de cette formule.

Quel est le module du nombre complexe trois plus sept 𝑖 ?

La définition du module d’un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. 𝑎 est la partie réelle du nombre complexe tandis que 𝑏 est la partie imaginaire. Comparons cette forme à notre nombre complexe trois plus sept 𝑖. Ce nombre complexe a une partie réelle qui est trois et une partie imaginaire qui est sept. Ne confondez pas cela avec sept 𝑖. La partie imaginaire est essentiellement le coefficient de 𝑖. Nous pouvons placer ces valeurs dans la formule pour calculer le module. Et nous obtenons la racine carrée de trois au carré plus sept au carré. Trois au carré est neuf et sept au carré est 49. Ainsi, le module est la racine carrée de 58.

Nous essayons habituellement de simplifier ce nombre irrationnel. Cependant, il n’y a pas de diviseurs de 58 qui sont aussi des nombres carrés. Donc nous avons fini ; c’est dans sa forme la plus simple. Et nous pouvons dire que le module du nombre complexe trois plus sept 𝑖 est la racine de 58. Dans notre prochain exemple, nous étudierons la relation entre le module d’un nombre complexe et le module de son conjugué. Au fur et à mesure que vous avancez, voyez si vous pouvez rappeler la relation entre la représentation d’un nombre complexe et son conjugué sur le plan d’Argand.

On sait que le nombre complexe 𝑧 est égal à moins quatre plus 𝑖 racine de cinq. Partie un : calculez le module de 𝑧. Partie deux : calculez le module du conjugué de 𝑧. Partie trois : déterminez le produit de 𝑧 avec son conjugué.

Pour la première partie, on nous donne un nombre complexe. Et on nous demande de trouver son module. Rappelez-vous que pour un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, le module est déterminé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. 𝑎 est la partie réelle du nombre complexe tandis que 𝑏 est la partie imaginaire. Comparons cette forme à notre nombre complexe, moins quatre plus 𝑖 racine de cinq.

Sa partie réelle est moins quatre et sa partie imaginaire est la racine carrée de cinq. En plaçant ces valeurs dans la formule du module, nous apercevons que le module de 𝑧 est trouvé par la racine carrée de moins quatre au carré plus la racine carrée de cinq au carré. Le moins quatre au carré est 16. Et la racine carrée de cinq au carré est cinq. Nous voyons donc que le module de 𝑧 est la racine carrée de 21.

Pour la deuxième partie, on nous demande de trouver le module du conjugué de 𝑧. Maintenant, pour trouver le conjugué, nous avons changé le signe de la partie imaginaire. Dans cet exemple, le conjugué de 𝑧 est moins quatre moins 𝑖 racine de cinq. Cette fois, la partie réelle de notre nombre est moins quatre. Et la partie imaginaire est moins racine de cinq. En plaçant ces valeurs dans notre formule pour le module, nous voyons que le module du conjugué est racine carrée de moins quatre au carré plus moins racine de cinq au carré. En fait, moins quatre au carré est, encore une fois, 16. Et moins racine carrée de cinq est cinq. Nous voyons donc que le module du conjugué de 𝑧 est aussi racine de 21.

Pour la troisième partie, on nous demande de trouver le produit de 𝑧 et de son conjugué. Nous avons vu que le conjugué de 𝑧 est moins quatre moins 𝑖 racine de cinq. Donc le produit de 𝑧 et de son conjugué est moins quatre plus 𝑖 racine de cinq multiplié par moins quatre moins 𝑖 racine de cinq. Et nous pouvons utiliser la manipulation algébrique de binômes pour trouver le produit. Nous pourrions utiliser la grille ou la méthode de FOIL. Voyons la méthode de la grille.

Nous commençons par multiplier moins quatre par moins quatre, ce qui donne 16. Ensuite, nous multiplions moins quatre par 𝑖 racine de cinq. Et nous obtenons moins quatre 𝑖 racine de cinq. Et vous avez peut-être écrit cela dans un ordre différent. Mais j’ai choisi de mettre la racine carrée de cinq à la fin de ce terme afin qu’il soit clair que nous ne cherchons pas la racine carrée de 𝑖. Ensuite, nous multiplions moins 𝑖 racine de cinq par moins quatre. Et nous obtenons quatre 𝑖 racine de cinq. Et quand on multiplie les deux termes restants, on obtient moins 𝑖 au carré multiplié par la racine carrée de cinq au carré.

En fait, la racine carrée de cinq au carré est simplement cinq. Et 𝑖 au carré est égal à moins un. Nous avons donc moins moins un multiplié par cinq. Et cela se simplifie en cinq. Ensuite, nous regroupons des termes similaires. Et nous remarquons que lorsque nous le faisons, nous additionnons quatre 𝑖 racine de cinq et moins quatre 𝑖 racine de cinq. Et, en fait, nous obtenons zéro. Donc, notre développement devient six [16] plus cinq, ce qui équivaut à 21. Et le produit de notre nombre complexe et de son conjugué est 21.

Dans cet exemple, nous avons vu que non seulement le module d’un nombre complexe est égal au module de son conjugué, mais également que le carré du module d’un nombre complexe est égal au produit d’un nombre complexe et de son conjugué. En fait, je vous avais demandé il y a quelques minutes de réfléchir à la relation entre la représentation d’un nombre complexe et de son conjugué sur le plan Argand.

Et quand nous le faisons, nous voyons que cette première règle fait beaucoup de sens. Elle représente une symétrie par rapport à l’axe des 𝑥 ou l’axe réel. Et nous pouvons donc voir que la longueur du segment joignant 𝑧 à l’origine est exactement la même que celle du segment joignant le conjugué de 𝑧 à l’origine. Et cela nous confirme que le module de 𝑧 doit être égal au module du conjugué de 𝑧. Nous allons maintenant observer la relation entre l’addition et le module d’un nombre complexe.

Considérons deux nombres complexes, 𝑤 est égal à moins un plus sept 𝑖 et 𝑧 est égal à cinq moins trois 𝑖. Partie un : calculez le module de 𝑤 plus le module de 𝑧 au centième près.

Et il y a deux autres parties à cette question que nous allons envisager dans un instant. Dans la première partie on nous demande de trouver le module de 𝑤 et le module de 𝑧. Et ensuite de trouver la somme de ces deux valeurs. Rappelez-vous que la définition du module d’un nombre complexe de la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖 est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Si nous comparons cela à notre premier nombre complexe 𝑤, nous pouvons voir que 𝑎, la partie réelle, est moins un. Et nous voyons que 𝑏, la partie imaginaire, est sept.

Donc le module de 𝑤 est déterminé par la racine carrée de moins un au carré plus sept au carré. Moins un au carré est un et sept au carré est 49. Donc, le module de 𝑤 est la racine carrée de 50. Et en fait, nous allons donner notre réponse au centième près. Donc peu importe si nous écrivons cela dans sa forme la plus simple ou non. Mais si nous le faisions, nous verrions que le module de 𝑤 est cinq racine de deux.

Nous allons répéter ce processus pour le module de 𝑧. La partie réelle de 𝑧, qui est 𝑎, est cinq. Et la partie imaginaire est moins trois. Donc le module de 𝑧 est la racine carrée de cinq au carré plus moins trois. C’est la racine carrée de 25 plus neuf qui est la racine de 34. La somme de ces deux nombres est donc cinq racine de deux plus racine de 34 qui est 12.9020, et ainsi de suite. Au centième près, soit 12.90.

Partie deux : calculez le module de 𝑧 plus 𝑤 au centième près.

Cette fois, nous devons d’abord additionner les nombres complexes, puis trouver le module de leur somme. Pour additionner deux nombres complexes, nous additionnons leurs parties réelles, puis leurs parties complexes séparément. C’est un peu comme si on regroupait les ternes similaires. Cinq plus moins un est quatre, et moins trois plus sept est quatre. Nous avons donc quatre plus quatre 𝑖. La partie réelle de ce nombre est quatre. Et la partie imaginaire est également quatre. Donc, le module est la racine carrée de quatre au carré plus quatre au carré, qui est la racine carrée de 32. Et si nous évaluons cela avec la calculatrice, nous trouvons que le module de la somme de ces deux nombres complexes au centième près est 5.66.

Partie trois : à laquelle des relations suivantes 𝑤 et 𝑧 satisfont-ils ? a) Le module de 𝑤 plus le module de 𝑧 égale le module de 𝑧 plus 𝑤. b) Le module de 𝑤 plus le module de 𝑧 est supérieur ou égal au module de 𝑧 plus 𝑤. c) Il est inférieur ou égal au module de 𝑧 plus 𝑤. d) Il est égal à deux fois le module de 𝑧 plus 𝑤. Et e), la racine carrée du module de 𝑤 plus le module de 𝑧 est égale au module de 𝑧 plus 𝑤.

Il est clair que ces deux nombres ne sont pas égaux. Nous pouvons donc immédiatement exclure le choix a. En fait, on voit que le module de 𝑤 plus le module de 𝑧 est bien plus grand que le module de 𝑧 plus 𝑤. Il semble donc que l’option b soit correcte. Nous allons vérifier les trois autres. Clairement, nous avons vu que c ne peut pas être correct. Et en fait, si on double le module de 𝑧 plus 𝑤, on obtient 11.32. Donc, d doit être incorrect. Et si nous trouvons la racine carrée de la somme de leurs modules, c’est 3.59, ce qui une fois de plus nous montre que e est également incorrect. Donc, la bonne réponse est b.

En fait, cette affirmation est valable pour tous les nombres complexes. On peut dire que pour deux nombres complexes 𝑧 un et 𝑧 deux, la somme de leurs modules sera toujours supérieure ou égale au module de leur somme. Et que dire de la multiplication et de la division ? Allons jeter un œil sur la relation entre la multiplication et la division, et le module d’un nombre complexe.

Considérez les nombres complexes 𝑧 égale trois moins quatre 𝑖 et 𝑤 égale moins 15 plus huit 𝑖. Partie un : trouvez le module de 𝑧 et le module de 𝑤.

Et il y a deux autres parties à cette question que nous verrons dans un instant. Rappelez-vous que pour un nombre complexe 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖, le module de 𝑧 est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Si nous comparons cela à notre premier nombre complexe, nous remarquons qu’il a une partie réelle qui est trois, et une partie imaginaire qui est moins quatre. Donc, le module de 𝑧 est la racine carrée de trois carrés plus moins quatre au carré. La racine carrée de trois au carré plus moins quatre au carré est la racine carrée de 25, qui est simplement cinq. 𝑤 a une partie réelle qui est 15, et une partie imaginaire qui est huit au carré. Donc, le module de 𝑤 est la racine carrée de moins 15 au carré plus huit carré. Ceci est la racine carrée de 289, qui est 17.

Partie deux : calculez le module de 𝑧𝑤. Comment cela se compare-t-il au module de 𝑧 multiplié par le module de 𝑤 ?

Cette fois, nous devons calculer le produit des nombres complexes 𝑧 et 𝑤. Nous pouvons utiliser la manipulation algébrique de binômes pour calculer trois moins quatre 𝑖 multiplié par moins 15 plus huit 𝑖. Nous pourrions utiliser la méthode de la grille ou la méthode de FOIL. Allons voir la méthode de FOIL.

Nous commençons par multiplier le premier terme dans chaque parenthèse. C’est moins 45. Lorsque nous multiplions les termes extérieurs, trois multipliés par huit 𝑖 est 24𝑖. Moins quatre 𝑖 multiplié par moins 15 est 60𝑖. Et quand on multiplie les deux derniers termes, on obtient moins 32𝑖 au carré. Mais bien sûr, 𝑖 au carré égale moins un. Ainsi, moins 32𝑖 au carré équivaut à plus 32. Et nous voyons alors que le produit de 𝑧𝑤 est moins 13 plus 84𝑖. Et cela signifie que le module de leur produit est la racine carrée de moins 13 au carré plus 84 au carré, soit 85.

Maintenant, si nous comparons cela aux modules que nous avons calculés avant, si nous les multiplions, nous obtenons cinq multiplié par 17, ce qui donne également 85. Et nous pouvons dire que le module de 𝑧𝑤 équivaut au module de 𝑧 multiplié par le module de 𝑤. Laissons un peu d’espace et allons voir la troisième partie.

Calculez le module de 𝑧 divisé par 𝑤. Comment cela se compare-t-il au module de 𝑧 divisé par le module 𝑤 ?

Cette fois, nous devons calculer 𝑧 divisé par 𝑤. C’est trois moins quatre 𝑖 divisé par moins 15 plus huit 𝑖. Tout comme pour rationaliser le dénominateur d’une fraction qui a un radical faisant partie du dénominateur, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le conjugué du dénominateur. Pour trouver le conjugué, nous changeons le signe pour la partie imaginaire. Donc le conjugué ici est moins 15 moins huit 𝑖. Et encore une fois, on multiplie normalement.

Au numérateur, nous obtenons moins 45 moins 24𝑖 plus 60𝑖 plus 32𝑖 au carré, ce qui devient moins 32 parce que 𝑖 au carré est égal à moins un. Et nous obtenons moins 77 plus 36𝑖 comme notre numérateur simplifié. Au dénominateur, on obtient 225 plus 120𝑖 moins 120𝑖 moins 64𝑖 au carré, ce qui donne 289. Le module correspond à la racine carrée de moins 77 sur 289 au carré plus 36 sur 289 au carré. Et nous pouvons simplifier cela en extrayant un facteur de 289 au carré. Et en faisant ainsi, il nous en reste un sur 289, car nous avons besoin de la racine carrée, multiplié par la racine carrée de 5929 plus 1296. Cela devient 85 sur 289. Cela est simplifié en cinq dix-septièmes.

Et en fait, si nous observons attentivement, si nous avions divisé le module de 𝑧 par le module de 𝑤, nous aurions eu cinq dix-septièmes. Et nous voyons que le module de 𝑧 divisé par le module de 𝑤 équivaut au module de 𝑧 divisé par 𝑤. Nous terminerons par un petit exemple expliquant comment les propriétés que nous avons vues peuvent nous aider à résoudre des équations impliquant le module.

Si 𝑧 est égal à un sur le conjugué de 𝑧, où 𝑧 est un nombre complexe, quel est le module de 𝑧 ?

Pour résoudre cette équation, nous allons commencer par trouver le module des deux membres. Et nous savons que le module du quotient de deux nombres complexes est le même que le quotient de leurs modules respectifs. Donc le membre de droite de cette équation devient le module de un divisé par le module du conjugué de 𝑧. En fait, nous savons que le module de un est un. Et nous savons aussi que le module d’un nombre complexe 𝑧 est le même que celui du conjugué de 𝑧. Nous avons donc le module de 𝑧 égale un divisé par le module de 𝑧. Nous allons multiplier les deux membres de cette équation par le module de 𝑧. Et puis on trouve la racine carrée des deux côtés.

Nous prendrions normalement à la fois la racine carrée positive et négative. Mais le module représente une longueur et doit donc toujours être positif. On peut donc dire que le module de 𝑧 égale la racine carrée de un, qui est simplement un.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons trouver le module d’un nombre complexe en prenant la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire de ce nombre. Et cela représente la distance de 𝑧 à l’origine. Et nous avons appris un certain nombre de propriétés sur le module de 𝑧. Et en fait, il y en a une de plus. Nous pouvons étendre la propriété de multiplication pour voir que le module de 𝑧 élevé à la puissance de 𝑛 équivaut au module de 𝑧 élevé à la puissance de 𝑛.

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