Transcription de la vidéo
Sachant que le rapport de A deux 𝑛 plus un six sur A deux 𝑛 moins un cinq est égal à 272 sur 11, calculez factorielle de 𝑛.
Nous rappelons que lorsqu’il s’agit de permutations, la notation A 𝑛 𝑟 est égale à factorielle de 𝑛 divisé par factorielle de 𝑛 moins 𝑟. Cela signifie que A deux 𝑛 plus un six est égal à factorielle de deux 𝑛 plus un divisé par factorielle de deux 𝑛 plus un moins six. Le dénominateur se simplifie en factorielle de deux 𝑛 moins cinq. Nous rappelons que la factorielle de tout entier est le produit de cet entier et de tous les entiers strictement positifs qui lui sont inférieurs. Factorielle de 𝑛 égale 𝑛 multiplié par 𝑛 moins un multiplié par 𝑛 moins deux, et ainsi de suite, multiplié par deux multiplié par un.
Cela signifie que factorielle de 𝑛 est aussi égal à 𝑛 multiplié par factorielle de 𝑛 moins un. Cela signifie que nous pouvons réécrire factorielle de deux 𝑛 plus un comme deux 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 multiplié par deux 𝑛 moins un multiplié par deux 𝑛 moins deux multiplié par deux 𝑛 moins trois multiplié par deux 𝑛 moins quatre multiplié par factorielle de deux 𝑛 moins cinq. On peut alors éliminer ce dernier terme du numérateur et du dénominateur. Cela nous donne une expression pour A deux 𝑛 plus un six. Nous pouvons répéter cela pour A deux 𝑛 moins un cinq. Cela est égal à factorielle de deux 𝑛 moins un divisé par factorielle de deux 𝑛 moins six. Cette fois, nous pouvons éliminer factorielle de deux 𝑛 moins six du numérateur et du dénominateur.
Nous avons affaire au rapport de ces deux termes. Et nous remarquons qu’ils ont quatre facteurs communs : deux 𝑛 moins un, deux 𝑛 moins deux, deux 𝑛 moins trois et deux 𝑛 moins quatre. Nous pouvons simplifier n’importe quel rapport en le divisant par des facteurs communs. Maintenant on va réécrire ceci de sorte que le rapport de A deux 𝑛 plus un six sur A deux 𝑛 moins un cinq est égal à deux 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 sur deux 𝑛 moins cinq. On nous dit également dans la question que ce rapport est égal à 272 sur 11.
Nous pouvons maintenant réécrire ces rapports sous forme de fractions. Deux 𝑛 multiplié par deux 𝑛 plus un divisé par deux 𝑛 moins cinq est égal à 272 sur 11. Nous pouvons multiplier des deux côtés par les dénominateurs, pour obtenir 22 𝑛 multiplié par deux 𝑛 plus un est égal à 272 multiplié par deux 𝑛 moins cinq. Le développement de nos parenthèses nous donne 44𝑛 au carré plus 22𝑛 est égal à 544𝑛 moins 1360. La soustraction de 544𝑛 et l’ajout de 1360 des deux côtés nous donne l’équation quadratique 44𝑛 au carré moins 522𝑛 plus 1360 est égal à zéro. Ensuite on va diviser les deux côtés de cette équation par deux, ce qui nous donne 22𝑛 au carré moins 261𝑛 plus 680 est égal à zéro.
Bien que cela ne soit pas immédiatement évident, cette expression quadratique peut être factorisée. 22𝑛 carré moins 261𝑛 plus 680 est égal à 22𝑛 moins 85 multiplié par 𝑛 moins huit. Nous pourrions vérifier cela en développant de nouveau les parenthèses et en simplifiant notre expression. Comme le produit de ces deux facteurs est zéro, l’un des facteurs lui-même doit être égal à zéro. Soit 22𝑛 moins 85 égale zéro, soit 𝑛 moins huit égale zéro. La résolution de ces deux équations nous donne 𝑛 est égal à 85 sur 22 et 𝑛 est égal à huit. 𝑛 doit être un entier positif, ce qui exclut notre première réponse. Comme 𝑛 est donc égal à huit, nous devons calculer factorielle de huit. Cela est égal à huit multiplié par sept multiplié par six, et ainsi de suite, jusqu’à un. Cela est égal à 40320.
Si le rapport de A deux 𝑛 plus un six sur A deux 𝑛 moins un cinq est égal à 272 sur 11, alors factorielle de 𝑛 est 40320. Nous pourrions vérifier cette réponse en calculant A 17 six et A 15 cinq et vérifier qu’ils ont un rapport de 272 pour 11.