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Un circuit contenant un condensateur et une bobine en série a une fréquence de résonance de 155 kilohertz. Le condensateur du circuit a une capacité de 215 microfarads. Quelle est la réactance inductive du circuit ? Donnez votre réponse en notation scientifique à deux décimales près.
Ici, nous voulons trouver ce que l’on appelle la réactance inductive de notre circuit. Ce circuit ressemble à ceci. Nous avons un courant alternatif et un condensateur et une bobine en série. La capacité du condensateur, nous l’appellerons 𝐶, est de 215 microfarads. Et la fréquence de résonance de notre circuit, nous l’appellerons 𝑓 indice R, est de 155 kilohertz.
Ayant toutes ces informations, nous voulons trouver non pas l’inductance de notre circuit, mais la réactance inductive. La réactance inductive est une mesure de combien cette inductance s’oppose au flux de charge dans notre circuit. Écrite sous forme d’une équation, la réactance inductive ressemble à ceci : 𝑋 majuscule indice 𝐿, où le 𝑋 majuscule nous indique que c’est une réactance et le 𝐿 nous indique que nous parlons de réactance inductive. Notez que la réactance inductive est proportionnelle à la fréquence d’oscillation d’un circuit et à son inductance 𝐿.
Dans notre circuit, nous connaissons la fréquence d’oscillation, la fréquence de résonance, mais nous ne connaissons pas l’inductance de sa bobine. Nous ne pouvons pas encore trouver la réactance inductive, mais nous pouvons la déterminer par une voie indirecte. La fréquence de résonnance de notre circuit, que nous connaissons, dépend de la capacité et de l’inductance du circuit. Mathématiquement, la fréquence de résonance 𝑓 indice R d’un circuit est égale à un sur deux 𝜋 fois la racine carrée de 𝐿 fois 𝐶, l’inductance et la capacité dans ce circuit. Ainsi, nous pouvons utiliser cette équation pour la fréquence de résonance avec nos valeurs connues pour résoudre l’inductance de notre circuit 𝐿, puis utiliser cette valeur pour résoudre la réactance inductive.
Commençons par faire de l’espace et réarranger cette équation pour la fréquence de résonance afin que l’inductance 𝐿 soit le sujet. Nous allons commencer par multiplier les deux côtés par la racine carrée de 𝐿 sur 𝑓 indice R. Cela annule la fréquence de résonance à gauche et la racine carrée de 𝐿 à droite. Cela nous donne cette équation. Et si nous plaçons les deux côtés au carré, nous constatons que l’inductance 𝐿 est égale à un sur quatre 𝜋 au carré fois 𝑓 indice 𝑅 au carré fois 𝐶.
Maintenant, rappelez-vous que ce n’est pas l’inductance que nous voulons résoudre exactement, mais la réactance inductive de notre circuit. Voici donc ce que nous allons faire. Nous allons prendre l’équation de la réactance inductive, en utilisant comme fréquence la fréquence de résonance, et remplacer ici l’inductance 𝐿 par cette expression. Lorsque nous faisons cela, en supposant que notre circuit est à la fréquence de résonance 𝑓 indice R, nous voyons des termes qui s’annulent. Au numérateur et au dénominateur, un facteur de deux 𝜋 s’annule, puis également un facteur de 𝑓 indice R, la fréquence de résonance. Cela nous laisse avec cette expression pour la réactance inductive.
Puisque nous connaissons la fréquence de résonance de notre circuit ainsi que sa capacité 𝐶, nous pouvons remplacer ces valeurs dans notre expression pour 𝑋 indice 𝐿. 155 fois 10 puissance trois hertz pour 𝑓 indice R et 215 fois 10 puissance moins six farads pour 𝐶. En calculant ce résultat, nous obtenons une réponse, à deux décimales près, de 4,78 fois 10 puissance moins trois ohms. C’est la réactance inductive de notre circuit, et notez qu’elle est en unités de résistance, ohms. Cela nous confirme que la réactance est en effet une mesure de l’opposition au flux de charge.
