Vidéo question :: Déterminer le nombre de segments de droite pouvant être formés à l’aide de 𝑚 points disposés sur un cercle Mathématiques

Transcription de la vidéo

Étant donné que 87 points sont disposés sur un cercle, déterminez le nombre de segments de droite qui peuvent être formés en utilisant ces points.

Voici une image de ce à quoi pourrait ressembler le cercle s’il ne comprenait que cinq points. Nous joignons un point à chacun des autres points restants. Nous joignons ensuite un autre point à chacun des points restants, etc. Maintenant, si on nous donne un cercle avec seulement cinq points, il est assez rapide de simplement compter le nombre de segments de droite formés. On nous dit, cependant, qu’on nous donne 87 points disposés sur un cercle. Et donc, nous allons utiliser la notion de combinaisons ici.

La formule de combinaison nous donne le nombre de manières de choisir 𝑟 éléments parmi un total de 𝑛 éléments. C’est le nombre de combinaisons de 𝑟 parmi 𝑛, qui est simplement factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Maintenant, nous avons un nombre total de 87 points, donc nous allons poser 𝑛 égal 87. Mais que vaut 𝑟 ? Eh bien, chaque fois que nous dessinons un segment de droite, nous joignons deux points. Nous allons donc poser 𝑟 égal deux. Nous voulons trouver le nombre de manières de choisir deux points parmi les 87 donnés. Et donc, le nombre de segments de droite qui peuvent être formés est donné par le nombre de combinaisons de deux parmi 87.

Selon la formule, c’est factorielle 87 sur factorielle deux fois factorielle 87 moins deux, ce qui se simplifie par factorielle 87 sur factorielle deux fois factorielle 85. Mais, nous savons que factorielle 87 vaut 87 fois 86 fois 85 et ainsi de suite. Factorielle deux vaut deux fois un, ce qui donne deux. Et factorielle 85 vaut 85 fois 84 et ainsi de suite. Nous voulons vraiment essayer d’éviter le calcul de ces factorielles. Donc, à la place, nous remarquons que nous pouvons écrire factorielle 87 comme 87 fois 86 fois factorielle 85. Ensuite, nous divisons par factorielle 85. Nous remarquons également que nous pouvons diviser par deux. Et le nombre de combinaisons de deux parmi 87 se simplifie par 87 fois 43. 87 fois 43 vaut 3741. Et donc, il y a 3741 segments de droite qui peuvent être formés en utilisant ces points.

Maintenant, il est intéressant de remarquer que ce n’était pas la seule méthode que nous aurions pu utiliser. Revenons au cercle qui contient cinq points sur sa circonférence. Nous avons commencé par dessiner quatre segments de droite. N’oubliez pas que nous avons choisi un point sur le cercle, puis que nous le relions aux quatre autres. Ensuite, nous avons choisi un autre point et l’avons joint aux trois autres. Nous l’avions déjà joint au premier point, donc nous réduisons ce nombre de un. Nous choisissons un autre point. Il a déjà été joint à deux des points, il n’est donc joint qu’à deux autres points. Enfin, il nous reste un point qui ne peut être connecté qu’à un seul autre point. Ainsi, étant donné cinq points disposés dans le cercle, le nombre de segments de droite est quatre plus trois plus deux plus un.

Nous pouvons généraliser cela et dire que, étant donné 𝑛 points sur un cercle, la somme serait 𝑛 moins un plus 𝑛 moins deux plus 𝑛 moins trois et ainsi de suite. Et donc, pour 87 points, la somme serait de 86 plus 85 plus 84 et ainsi de suite. Notez que chaque nombre de cette somme forme une suite. En fait, c’est une suite arithmétique. Et donc, nous pouvons utiliser la formule de la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique. C’est un demi de 𝑛 facteur de deux 𝑎 plus 𝑛 moins un 𝑑, où 𝑎 est le premier terme de la suite et 𝑑 est la différence commune.

Notre suite, en fait, est une série parce que nous trouvons que la somme des termes possède 86 termes. La différence commune est moins un. Chaque terme est réduit de un à chaque fois. Le premier terme 𝑎 vaut 86. Nous obtenons donc un demi fois 86 facteur de deux fois 86 plus 86 moins un facteur de moins un, ce qui nous donne également 3741.