Vidéo question :: Résoudre des problèmes impliquant des séquences arithmétiques Mathématiques

Transcription de la vidéo

Benjamin économise une livre le premier jour, deux livres le deuxième jour, trois livres le troisième jour et ainsi de suite, économisant ainsi une livre de plus chaque jour. Quel jour aura-t-il économisé plus de 100 livres au total ?

Regardons la suite formée par les sommes que Benjamin économise chaque jour. Le premier jour, c’est une livre ; le deuxième jour, c’est deux livres ; le troisième jour, c’est trois livres ; et ainsi de suite. Les sommes économisées par Benjamin augmentent d’une livre chaque jour. La différence entre les termes de cette suite est donc constante. Et donc les termes forment une suite arithmétique dont la différence commune est un. On nous demande de trouver le jour où il aura économisé plus de 100 livres au total. Cela signifie que nous recherchons le jour où la somme des termes commence à dépasser 100 livres.

Nous rappelons la formule pour calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique. C’est 𝑆 indice 𝑛 égal 𝑛 sur deux facteur de deux 𝑎 plus 𝑛 moins un 𝑑, où 𝑆 indice 𝑛 représente la somme des premiers 𝑛 termes. 𝑛 représente le nombre de termes dont nous cherchons la somme. 𝑎 ou parfois 𝑎 indice un représente le premier terme de la suite. Et 𝑑 représente la différence commune. Le premier terme et la différence commune pour cette suite sont tous deux égaux à un. Nous voulons que la somme des 𝑛 premiers termes soit égale à 100 et nous cherchons 𝑛, le nombre de termes, que nous ne connaissons pas. C’est ce que nous essayons de déterminer. Nous pouvons donc écrire une équation en remplaçant 100 par 𝑆 indice 𝑛, un par 𝑎 et un par 𝑑. Nous avons 100 égal 𝑛 sur deux facteur de deux fois un plus 𝑛 moins un facteur de un.

Cette équation se simplifie pour donner 100 égal 𝑛 sur deux facteur de deux plus 𝑛 moins un. Et dans les parenthèses, cela se simplifie davantage pour donner 𝑛 plus un. Nous pouvons alors multiplier les deux membres de l’équation par deux pour écrire 200 égal 𝑛 facteur de 𝑛 plus un. En développant les parenthèses, sur le membre de droite, nous obtenons 200 égal 𝑛 au carré plus 𝑛. Et enfin, nous pouvons soustraire 200 à chaque membre de l’équation et obtenir zéro égal 𝑛 au carré plus 𝑛 moins 200. Nous avons maintenant une équation du second degré d’inconnue 𝑛. Cette équation ne peut pas être factorisée, nous allons donc la résoudre en appliquant la formule qui permet de calculer les racines d’une équation second degré. Rappelez-vous, la formule qui permet de calculer les racines d’une équation second degré nous dit que les racines de l’équation 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro sont données par 𝑥 égal moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 le tout sur deux 𝑎.

Les coefficients de notre équation du second degré sont un, un et moins 200. Nous avons donc 𝑛 égal moins un plus ou moins racine carrée de un au carré moins quatre multiplié par un multiplié par moins 200 le tout sur deux multiplié par un. Cela se simplifie par 𝑛 égal moins un plus ou moins racine carrée de 801 sur deux. Si nous calculons ensuite à l’aide de nos calculatrices, nous constatons que 𝑛 est égal à 13,650 ou moins 14,650. Rappelez-vous cependant que 𝑛 représente un nombre de termes et qu’il doit donc être positif. On peut donc éliminer la solution du moins 14,650. 𝑛 doit également être un entier. Réfléchissons alors à ce que cette valeur de 13,650 indique.

Si 𝑆 indice 𝑛 était une fonction continue de 𝑛, alors elle serait égale à 100 lorsque 𝑛 est égal à 13,650, ce qui signifie que le jour 13, 𝑆 indice 𝑛 serait strictement inférieure à 100, alors que le jour suivant, le jour 14, 𝑆 indice 𝑛 serait strictement supérieure à 100. Rappelez-vous que nous recherchons le jour où Benjamin aura économisé plus de 100 livres au total. Le jour 13, il n’y est pas encore arrivé, mais le jour 14, il a dépassé 100 livres. Donc, c’est le jour 14. C’est notre réponse. Nous pouvons vérifier cela en calculant 𝑆 indice 13 et 𝑆 indice 14. 𝑆 indice 13 est égal à 13 sur deux facteur de deux plus 12 fois un. C’est deux fois un qui remplace deux 𝑎 plus 𝑛 moins un soit 12, multiplié par la différence commune 𝑑, qui vaut un. Cela donne 91. Ainsi, le montant total que Benjamin aura économisé le jour 13 est de 91 livres.

Le jour 14, 𝑆 indice 14 est égal à 14 sur deux facteur de deux plus 13 fois un, soit 105. Cela confirme que Benjamin aura économisé moins de 100 livres au total le 13ème jour, mais plus de 100 livres au total le 14ème jour. Donc, cela confirme que notre réponse, 14, est bien la bonne pour le jour où Benjamin aura économisé plus de 100 livres au total.