Transcription de vidéo
Si toutes les issues possibles d’une expérience sont également susceptibles de se produire,
alors le calcul de la probabilité d’un événement devient une simple question de compter le
nombre d’issues qui composent l’événement, et de l’exprimer en tant que fraction du nombre
total d’issues possibles.
Ainsi, par exemple, si nous lançons un dé à six faces équitable, il y a six issues
possibles. Nous pouvons obtenir un, deux, trois, quatre, cinq ou six et ils sont tous
équiprobables. Maintenant, l’une des issues est un trois. Il y a donc une façon d’obtenir trois. Donc, la probabilité d’obtenir un trois est celle-ci divisée par le nombre total d’issues,
six. La probabilité d’obtenir un trois est donc de un sur six.
Donc, lorsque toutes les issues sont équiprobables, pour déterminer la probabilité d’un
événement, nous obtenons le nombre de façons d’obtenir l’issue que nous recherchons et le
divisons par le nombre total d’issues que nous avons ensemble. Mais rappelez-vous, notre méthode de comptage des issues pour déterminer les probabilités
ne fonctionne que lorsque les issues sont tous équiprobables. Examinons donc un exemple où ce n’est pas le cas.
Si nous achetons un billet de loterie, il y a deux issues possibles. Nous pouvons gagner ou nous pouvons perdre. Mais la plupart des loteries, ces deux-là n’ont pas la même probabilité. Nous sommes beaucoup plus susceptibles de perdre que de gagner. Ce ne sont donc pas des issues équiprobables. Donc, même si nous avons deux issues au total, et il y a un moyen de gagner. La probabilité de gagner n’est pas seulement un divisé par deux. Ce n’est pas un demi parce que ces deux issues n’étaient pas équiprobables. N’oubliez pas que cela était beaucoup plus susceptible de se produire que cela. Nous ne pouvons donc pas simplement compter. Donc, comme toujours, quelque chose à travailler, à rechercher, les issues sont-ils
équiprobables ?
D’accord. Revenons maintenant à notre exemple de dés, où les issues étaient tous équiprobables. Déterminons la probabilité que l’événement obtienne un facteur de douze, lorsque nous
lançons nos dés. Donc, la première chose que nous devons faire, c’est de voir lequel des issues irait dans
l’événement 𝐸, alors lequel de ces nombres est un diviseur de douze. Eh bien, un l’est, deux l’est, trois l’est, quatre l’est, cinq ne l’est pas et six
l’est. Voilà donc cinq issues équiprobables qui composent l’événement 𝐸. Donc, la probabilité que l’événement 𝐸 se produise, que nous obtenions un facteur de douze
lorsque nous lançons nos dés, eh bien, il y a cinq façons de le faire, donc c’est cinq, sur
les six issues possibles que nous avons eues au total, donc c’est cinq sur six. Donc, avec des issues équiprobables, il s’agit simplement de compter les cas. Il y a cinq façons d’obtenir un diviseur de douze sur six possibles, équiprobables, que les
choses se révèlent finalement.
Maintenant, cela fonctionne aussi dans des situations légèrement plus complexes. Disons donc que nous lançons deux dés équilibrés et additionnons les scores ensemble. Nous pouvons mettre les issues dans un tableau comme celui-ci. Nous avons trente-six issues équiprobables. Ainsi, par exemple, nous pourrions obtenir un sur le premier dé et un sur le second dé,
soit un total de deux. Nous pourrions obtenir un sur le premier dé et deux sur le deuxième, soit un total de
trois, et ainsi de suite. Alors posons la question, quelle est la probabilité d’obtenir une issue de neuf ? Eh bien, il y a trente-six issues équiprobables et un, deux, trois, quatre d’entre eux
aboutissent à un neuf. Ainsi, la probabilité d’obtenir un neuf est de quatre sur trente-six, quatre façons
d’obtenir un total de neuf sur trente-six issues équiprobables.
Maintenant posons une question, quelle est la probabilité d’obtenir une issue impair ? Eh bien, nous pouvons voir que dix-huit des trente-six issues équiprobables donnent des
issues impaires, des issues impaires. La probabilité d’obtenir un nombre impair est donc de dix-huit sur trente-six. Maintenant, nous pourrions simplifier cela de moitié, mais nous n’avons pas à le faire. Probablement, tout à fait heureux de laisser ces dix-huit sur trente-six. Encore une fois, c’est un peu plus informatif que la moitié à certains égards, car il y a
dix-huit façons d’obtenir ce que nous recherchons, sur les trente-six façons possibles
d’obtenir des issues.
D’accord. Considérons maintenant une expérience où nous lançons deux dés équilibrés et multiplions
leurs scores ensemble. Encore une fois, nous avons trente-six issues équiprobables. Nous pourrions en obtenir un sur le premier dé et un sur le deuxième qui, une fois, nous
donnerait une issue. Ou, nous pourrions obtenir un un sur le premier dé et un deux sur le second dé, et un fois
deux nous donne une issue de deux, et ainsi de suite, et ainsi de suite, pour les trente-six
exemples différents. Ainsi, lorsque nous écrivons toutes les issues dans un espace échantillon, dans un tableau,
chaque cellule est également susceptible de se produire. Et encore une fois, nous pouvons simplement compter les façons dont les issues se
produisent.
Alors posons à nouveau les mêmes questions, quelle est la probabilité d’obtenir une issue
de neuf ? Eh bien, il y a trente-six issues possibles, tous équiprobables. Mais un seul d’entre eux ici, si nous obtenons un trois et un trois, génère une issue de
neuf. Il y a donc un moyen sur trente-six d’obtenir un neuf.
Et, alors quelle est la probabilité d’obtenir une issue impair ? Eh bien, maintenant que nous multiplions les nombres sur les dés, il n’y a que neuf façons
d’obtenir une issue impair, donc neuf sur trente-six. La probabilité d’obtenir une issue impair dans cette situation est beaucoup plus faible que
la dernière fois.
Donc, pour résumer tout cela, si tous nos issues sont équiprobables dans une expérience, si
nous avons un espace d’échantillon de 𝑆 et 𝐸 est un événement que nous recherchons, pour
déterminer la probabilité que l’événement 𝐸 se produise, nous comptons simplement le nombre
de façons d’obtenir 𝐸 par rapport au nombre total de façons dans l’espace échantillon. Et puis juste exprimer cela comme une fraction.
