Vidéo : Taux de variation liés

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les dérivées pour déterminer la relation entre les taux de variation de deux ou plusieurs quantités dans des problèmes sur les taux de variation liés.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les dérivés pour trouver la relation entre les taux de variation de deux ou plusieurs quantités dans des problèmes sur les taux de variation liés. Dans les problèmes de taux liés, l’idée est de calculer le taux de variation d’une quantité en fonction du taux de variation d’une autre quantité, qui est parfois plus facilement à mesurer.

Nous verrons comment utiliser la dérivation et les différentes opérations sur les fonctions dérivables pour y parvenir, avant d’envisager en quoi ces techniques peuvent nous aider dans des exemples plus compliqués. Il est donc important que vous maîtrisiez bien les opérations sur les fonctions dérivables avant de regarder cette vidéo. Pour les problèmes de taux de variation liés, il est généralement préférable de se lancer directement dans un problème et de voir comment ça marche.

Le rayon d’un cercle augmente de trois millimètres par seconde. Déterminez le taux de variation de l’aire du cercle lorsque le rayon son est de 15 millimètres.

La première chose qu’il faut toujours faire dans les questions de taux de variation liés est d’identifier les informations qui nous ont été données ainsi que ce que nous essayons de déterminer. On nous dit que le rayon du cercle augmente de trois millimètres par seconde. Nous savons que le taux de variation est essentiellement la dérivée d’une fonction par rapport au temps. On peut donc dire que d𝑟 sur d𝑡, la dérivée de notre rayon par rapport au temps, est égale à trois.

On nous demande de déterminer le taux de variation de l’aire du cercle. C’est la dérivée de l’aire par rapport au temps. C’est d𝐴 par d𝑡. Et plus précisément, nous voulons déterminer le taux de variation de l’aire du cercle lorsque le rayon égale 15, lorsque 𝑟 égale 15. Alors, comment lier ces trois informations ?

Ici, nous devons plonger dans les recoins de notre cerveau et rappeler la formule de l’aire d’un cercle. C’est 𝜋 fois le rayon au carré. Ainsi, la dérivée de 𝐴 par rapport au temps est identique à la dérivée de 𝜋𝑟 au carré par rapport au temps. Maintenant, nous ne pouvons pas dériver 𝜋𝑟 au carré par rapport au temps en utilisant les opérations usuelles de dérivation d’une fonction polynôme. Mais nous savons que le rayon est essentiellement une fonction du temps. Donc, en réalité, nous voyons qu’il faut dériver une fonction d’une fonction, ou une fonction composée. Et nous allons utiliser la règle de dérivation en chaîne pour le faire.

La règle de dérivation en chaîne dit que si 𝑦 est une fonction en 𝑢 et 𝑢 une fonction en 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égale à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous pouvons changer cela un peu et dire que la dérivée de notre aire par rapport au temps peut être déterminée en multipliant d𝐴 sur d𝑟, la dérivée de l’aire par rapport à son rayon, par la dérivée du rayon par rapport à temps, d𝑟 sur d𝑡.

Nous avons vu que 𝐴 est 𝜋𝑟 au carré. On peut donc dire que la dérivée de 𝐴 par rapport à 𝑟 est deux fois 𝜋𝑟. C’est deux 𝜋𝑟. Nous avons également vu que la dérivée de notre rayon par rapport au temps, d𝑟 sur d𝑡, est trois. On peut donc dire que d𝐴 sur d𝑡 est égale à deux 𝜋𝑟 fois trois. Et vous pouvez voir que nous avons trouvé une formule pour le taux de variation de l’aire du cercle en termes de 𝑟.

Nous simplifions et nous voyons que d𝐴 sur d𝑡 égale six 𝜋𝑟. Et il y a une information que nous n’avons pas encore utilisée. Nous essayions de trouver le taux de variation de l’aire du cercle lorsque le rayon était de 15. Nous allons donc substituer avec 𝑟 égale 15 dans la formule que nous avons créée. Cela nous donne six fois 𝜋 fois 15, ce qui équivaut à 90𝜋.

Et il est judicieux de revenir à la question en réfléchissant à nos unités. Le rayon était clairement exprimé en millimètres et le temps en secondes, notre aire sera donc en millimètres carrés. Et le taux de variation de l’aire du cercle, lorsque le rayon est de15 millimètres, est de 90𝜋 millimètres carrés par seconde. Dans cet exemple, nous avons vu comment la règle de dérivation en chaîne peut nous aider à résoudre les problèmes sur les taux de variation liés. Nous allons maintenant voir un autre exemple de ce genre.

Un ballon sphérique fuit de l’hélium à un taux de 48 centimètres cubes par seconde. Quel est le taux de variation de l’aire de sa surface lorsque son rayon est de 41 centimètres ?

La première chose qu’il faut faire dans les questions de taux de variation liés telles que celle-ci est d’identifier les informations qui nous ont été données ainsi ce que nous essayons de déterminer. On nous dit que le ballon a la forme d’une sphère. Et il y a une fuite d’hélium à un taux de 48 centimètres cubes par seconde. Une autre façon de penser à ce sujet est que le volume du ballon diminue à un rythme de 48 centimètres cubes par seconde.

Cela nous indique deux choses. Tout d’abord, le volume est une fonction du temps et le taux de variation, qui est simplement la dérivée par rapport à 𝑡, est moins 48. Et il négatif car le ballon fuit, le volume diminue. On peut donc dire que d𝑣 sur d𝑡 est moins 48. Nous essayons de trouver le taux de variation de l’aire de la surface. Appelons-la 𝐴. Et nous essayons de trouver la dérivée de notre aire par rapport au temps.

Nous savons également qu’il existe un point où le rayon du ballon est de 41 centimètres. Maintenant, il va être judicieux de définir une équation pour l’aire de la surface de notre sphère. La formule pour la surface d’aire d’une sphère de rayon 𝑟 est quatre 𝜋𝑟 au carré. Ainsi, la dérivée de 𝐴 par rapport au temps est égale à la dérivée de quatre 𝜋𝑟 au carré par rapport au temps. 𝐴 est une fonction dans 𝑟. Mais en réalité, nous savons que le rayon va être une fonction dans 𝑡.

Et cela signifie que pour dériver 𝐴 par rapport au temps, nous allons utiliser la règle de dérivation en chaîne. Celle-ci dit que si 𝑦 est une fonction dans 𝑢 et que 𝑢 est une fonction dans 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 par d𝑥. Changeons cela un peu pour répondre à notre question. Et nous voyons que d𝐴 sur d𝑡 doit être égale à d𝐴 sur d𝑟, la dérivée de l’aire par rapport au rayon, multipliée par d𝑟 sur d𝑡, c’est la dérivée de 𝑟 par rapport à 𝑡.

L’aire de la surface de la sphère est quatre 𝜋𝑟 au carré. Nous pouvons donc dériver 𝐴 par rapport à 𝑟 comme deux fois quatre 𝜋𝑟, soit huit 𝜋𝑟. Mais qu’en est-il de d𝑟 sur d𝑡 ? On ne nous a pas donné de valeur pour d𝑟 sur d𝑡. Nous allons donc utiliser d𝑣 sur d𝑡 pour nous aider. Nous allons aussi utiliser le fait que le volume de la sphère de rayon 𝑟 est égal à quatre tiers 𝜋𝑟 au cube. On peut donc dire que la dérivée de quatre tiers de 𝜋𝑟 au cube par rapport à 𝑡 est égale à moins 48.

La règle du multiple constant nous dit que nous pouvons prendre le multiple de quatre tiers en dehors de la dérivée et nous concentrer sur la dérivation de la fonction elle-même. Nous avons donc quatre tiers fois la dérivée de 𝑟 au cube par rapport à 𝑡 égale moins 48. Nous divisons ensuite par quatre tiers et nous voyons que d sur d𝑡 de 𝑟 au cube est moins 36. Mais nous avons besoin de d𝑟 par d𝑡 et non pas d de 𝑟 au cube sur d𝑡.

Mais puisque 𝑟 est une fonction de 𝑡, nous pouvons aussi utiliser la règle de dérivation en chaîne. Cette fois on peut dire que la dérivée de 𝑟 au cube par rapport à 𝑡 est égale à la dérivée de 𝑟 au cube par rapport à 𝑟 fois la dérivée de 𝑟 par rapport à 𝑡. Et nous voyons que la dérivée de 𝑟 au cube par rapport à 𝑟 est trois 𝑟 au carré. Donc, nous avons trois 𝑟 au carré fois d𝑟 sur d𝑡 égale moins 36.

Nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par trois 𝑟 au carré. Et nous avons maintenant d𝑟 sur d𝑡. C’est moins 12 sur 𝑟 au carré. Replaçons ceci dans notre expression pour d𝐴 sur d𝑡. Et nous obtenons huit 𝜋𝑟 fois moins 12 sur 𝑟 au carré. Nous pouvons simplifier par ce diviseur commun 𝑟. Et nous pouvons maintenant voir que d𝐴 sur d𝑡, la formule du taux de variation de l’aire de surface par rapport au temps, est donnée comme moins 96𝜋 sur 𝑟.

Nous pouvons maintenant évaluer cela au point où le rayon de notre ballon est de 41 centimètres. C’est moins 96𝜋 sur 41. Et comme il s’agit du taux de variation de l’aire de la surface, et dans ce cas la surface sera mesurée en centimètres carrés, notre réponse est moins 96𝜋 sur 41 centimètres carrés par seconde. Dans cet exemple, il a fallu appliquer la règle de dérivation en chaîne deux fois. Dans notre exemple suivant, nous verrons comment les autres règles de dérivation peuvent nous aider à résoudre les problèmes sur les taux de variation liés.

La longueur d’un rectangle augmente à un taux de 15 centimètres par seconde et sa largeur à un taux de 13 centimètres par seconde. Déterminez le taux auquel l’aire du rectangle augmente lorsque sa longueur est de 25 centimètres et sa largeur de 12 centimètres.

N’oubliez pas qu’il faut toujours essayer d’identifier les informations qui nous ont été données et ce que l’on nous demande de déterminer. Nous savons que la longueur du rectangle augmente à un taux de 15 centimètres par seconde. Cela nous dit deux choses. Premièrement, la longueur est une fonction du temps. Cela nous indique aussi que le taux de variation, qui est simplement la dérivée par rapport au temps, est 15. Donc nous pouvons dire que d𝑙, où 𝑙 est la longueur, sur d𝑡 égale 15.

De même, on nous dit que la largeur du rectangle augmente de 13 centimètres par seconde. Ainsi, la largeur est également une fonction du temps. Et puisque le taux de variation est la dérivée par rapport au temps, donc d𝑤, où 𝑤 est la largeur, sur d𝑡 égale 13.

Nous cherchons maintenant à déterminer le taux d’augmentation de l’aire. Nous utilisons donc deux informations. Tout d’abord, nous savons que l’aire d’un rectangle est donnée par sa largeur multipliée par sa longueur. Mais nous essayons de trouver le taux de variation de l’aire, c’est d𝐴 par d𝑡. Disons que la surface est 𝑤𝑙, largeur fois la longueur, on peut alors dire que d𝐴 sur d𝑡 est la dérivée de 𝑤 fois 𝑙 par rapport au temps.

Nous essayons de trouver la dérivée du produit de deux fonctions de 𝑡. Nous pouvons donc utiliser la règle de produit pour évaluer le taux de variation de l’aire de notre rectangle. Ceci dit que si 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables, alors la dérivée de 𝑢 fois 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Et qu’est-ce que cela signifie pour la dérivée de l’aire par rapport au temps ?

Eh bien, nous pouvons dire que c’est 𝑤 fois d𝑙 sur d𝑡 plus 𝑙 fois d𝑤 sur d𝑡. Et en fait, nous les avons toutes. Nous voulons trouver le taux d’augmentation de l’aire du rectangle quand sa largeur est de 12. Donc, 𝑤 fois d𝑙 sur d𝑡 est 12 fois 15. Et nous voulons trouver le taux de variation de l’aire quand la longueur est de 25. Donc, 𝑙 fois d𝑤 sur d𝑡 est 25 fois 13. 12 fois 15 plus 25 fois 13 est 505.

Comme la largeur et la longueur du rectangle sont mesurées en centimètres et que le taux de variation de ces mesures est en centimètres par seconde, nous savons que le taux d’augmentation de l’aire du rectangle lorsque la longueur est de 25 centimètres la largeur de 12 centimètres est de 505 centimètres carrés par seconde. Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment la dérivation implicite peut être utilisée dans les problèmes sur les taux de variation liés.

Une particule se déplace le long de la courbe d’équation six 𝑦 au carré plus deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus cinq 𝑦 moins 13 égale zéro. Si le taux de variation de sa coordonnée 𝑥 par rapport au temps lorsqu’elle passe par le point moins un, trois est deux, alors déterminez le taux de variation de sa coordonnée 𝑦 par rapport au temps au même point.

Voyons ce que nous savons et ce que nous essayons de déterminer. L’équation six 𝑦 au carré plus deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus cinq 𝑦 moins 13 égale zéro décrit le mouvement de la particule. On nous dit que le taux de variation de sa coordonnée 𝑥 est de deux, donc 𝑥 est une fonction dans le temps. Et nous savons que 𝑦 elle-même est une fonction de 𝑥. Nous allons donc utiliser la dérivation implicite pour dériver toute notre équation par rapport à 𝑡.

Maintenant, bien sûr, nous dérivons les deux côtés par rapport au temps, mais la dérivée de zéro est zéro. Donc, nous avons d par d𝑡 de six 𝑦 au carré plus deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus cinq 𝑦 moins 13 égale zéro. À ce stade, il pourrait être judicieux de séparer la dérivée. Ensuite, nous utilisons la dérivation implicite, qui est un cas spécial de la règle de dérivation en chaîne, pour dériver chaque terme.

La dérivée de six 𝑦 au carré par rapport à 𝑡 est égale à la dérivée de six 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 fois la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡. Nous pouvons dériver six 𝑦 au carré normalement. C’est deux fois six 𝑦, soit 12 𝑦. On dérive ensuite deux 𝑥 au carré par rapport à 𝑡. Cette fois, c’est la dérivée de deux 𝑥 au carré par rapport à 𝑥 fois la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡. La dérivée de deux 𝑥 au carré est deux fois deux 𝑥, soit quatre 𝑥. Donc, d par d𝑡 de deux 𝑥 au carré est quatre 𝑥 fois d𝑥 par d𝑡.

Nous allons répéter ce processus avec la dérivée de moins deux 𝑥 par rapport à 𝑡. C’est la dérivée de moins deux 𝑥 par rapport à 𝑥. C’est moins deux fois d𝑥 par d𝑡. Nous voyons alors que d par d𝑡 de cinq 𝑦 est cinq fois d𝑦 par d𝑡. Et c’est parce que la dérivée de cinq 𝑦 par rapport à 𝑦 est cinq. Et bien entendu, la dérivée de notre constante moins 13 est zéro. Et maintenant nous pouvons évaluer.

Nous savons que le taux de variation de la coordonnée 𝑥 par rapport au temps est deux. Donc, on peut dire que d𝑥 sur d𝑡 égale deux. Nous savons également qu’elle passe par le point moins un, trois, nous allons donc définir 𝑥 égale moins un et 𝑦 égale trois. Et notre équation devient 12 fois trois fois d𝑦 sur d𝑡 plus quatre fois moins un fois deux plus moins deux fois deux plus cinq fois d𝑦 sur d𝑡.

Nous pouvons simplifier. Et on obtient 41 d𝑦 sur d𝑡 moins 12 égale zéro. Et ensuite, on ajoute 12 aux deux membres. Donc, 41 d𝑦 sur d𝑡 égale 12. Et cela signifie que d𝑦 sur d𝑡 égale 12 sur 41. Et cela signifie que le taux de variation de la coordonnée 𝑦 par rapport au temps au point moins un, trois est 12, 41

Dans notre dernier exemple, nous allons voir à quel point il faut être prudent lorsqu’il s’agit d’envisager les unités d’une question, et comment la dérivation n’est pas toujours notre premier recours pour répondre à des questions sur les taux de variation liés.

Sachant qu’une fusée de masse 26 tonnes brûle du carburant à une vitesse constante de 80 kilogrammes par seconde, déterminez la masse de la fusée 25 secondes après le décollage.

Commençons par identifier ce que nous savons et ce que nous essayons de déterminer. Nous savons que la fusée brûle du carburant à un taux de 80 kilogrammes par seconde. En d’autres termes, en supposant que la fusée ne perde pas de masse ailleurs, ce qui est une hypothèse sûre, nous savons que la fusée perd 80 kilogrammes de sa masse par seconde. Nous savons également que la masse initiale de la fusée, autrement dit, lorsque 𝑡 égale zéro, est de 26 tonnes. Une tonne équivaut à 1000 kilogrammes ; donc la masse initiale de la fusée est de 26000 kilogrammes.

Pour déterminer la masse totale de la fusée 25 secondes après le décollage, nous pouvons calculer la quantité totale de carburant perdue au cours de cette période. Nous savons qu’elle perd 80 kilogrammes par seconde. Donc, après 25 secondes, elle aura perdu 80 fois 25 kilogrammes. C’est 2000 kilogrammes en 25 secondes. La nouvelle masse de la fusée au bout de 25 secondes sera donc 26000 moins 2000. C’est 24000 kilogrammes, soit 24 tonnes. Et ainsi, la masse de la fusée après 25 secondes est de 24 tonnes.

Dans cette vidéo, nous avons vu comment nous pouvons utiliser des dérivées pour trouver la relation entre les taux de variation de deux ou plusieurs quantités dans des problèmes sur les taux de variation liés. Nous avons vu comment nous pouvons utiliser la règle de dérivation en chaîne et d’autres règles de dérivation pour nous aider à résoudre les problèmes sur les taux de variation liés. Nous avons vu comment il faut être prudents, car les dérivées ne sont pas toujours la méthode la plus efficace pour répondre à ces questions.

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