Vidéo de la leçon: Proportions Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des proportions pour déterminer une valeur inconnue dans une relation proportionnelle et prouver des assertions algébriques.

Deux ou plusieurs nombres sont dits proportionnels si les rapports des couples de nombres sont égaux. Par exemple, les numérateurs et les dénominateurs de fractions équivalentes sont en proportion. Imaginons qu’on nous dise que le rapport sept à 14 est le même que le rapport 21 à 𝑥. Une façon de trouver la valeur de consiste à calculer le coefficient de proportionnalité du premier rapport. Cette valeur 𝑘 est égale à 14 divisé par sept, ce qui est égal à deux. Le coefficient de proportionnalité doit être le même pour le deuxième rapport. Donc 𝑥 sur 21 est égal à deux. En multipliant par 21, nous remarquons que 𝑥 est égal à 42. Le rapport sept à 14 est égal au rapport 21 à 42. Considérons maintenant une définition plus formelle de cela.

Si le rapport 𝑎 à 𝑏 est le même que le rapport 𝑐 à 𝑑, alors on dit que 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont proportionnels. En particulier, puisque 𝑎 sur 𝑏 est égal à 𝑐 sur 𝑑, nous avons 𝑎𝑑 est égal à 𝑏𝑐. Les valeurs 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont appelées les termes de la proportion. Et nous les appelons la première proportionnelle, la deuxième proportionnelle, la troisième proportionnelle et la quatrième proportionnelle. Les termes externes 𝑎 et 𝑑 sont appelés les extrêmes, et les termes internes 𝑏 et 𝑐 sont les moyens. Ceci signifie que l’équation est égale à peut être considérée comme le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Nous allons maintenant considérer un exemple où nous devons utiliser cette propriété.

Si huit et trois sont dans le même rapport que 96 et , alors trouvez la valeur de .

On commence par rappeler que si les rapports de deux couples de nombres sont les mêmes, alors leurs proportions sont les mêmes. Ceci signifie que les quotients de chaque couple de nombres sont égaux. Huit sur trois est égal à 96 sur 𝑥. Nous pouvons multiplier les deux membres de cette équation par trois 𝑥. Le membre gauche devient huit 𝑥. Et le membre droit est 96 multiplié par trois, ce qui donne 288. Notre dernière étape pour calculer la valeur de consiste à diviser par huit. Et cela est égal à 36. Si huit et trois sont dans le même rapport que 96 et , la valeur de est 36.

Il est à noter que dans des questions comme celle-ci, nous pouvons citer le résultat suivant. Si 𝑎 sur 𝑏 est égal à 𝑐 sur 𝑑, alors 𝑎𝑑 est égal à 𝑏𝑐. Le produit de huit et doit être égal au produit de trois et 96.

Nous allons maintenant passer à une liste de trois ou quatre termes en proportion en chaine. Une liste de termes est dite en proportion en chaine si le rapport entre les termes successifs est constant. Il n’y a pas de limite au nombre de termes qui peuvent être proportionnels en chaîne. Cependant, pour les fins de cette vidéo, nous traiterons trois ou quatre termes.

Si nous considérons trois termes 𝑎, 𝑏 et qui sont en proportion en chaine, alors 𝑎 sur 𝑏 est égal à 𝑏 sur 𝑐. Cela signifie également que est égal à au carré, où le terme de milieu 𝑏 est appelé la moyenne proportionnelle ou la moyenne et 𝑎 et sont appelés les extrêmes. Si quatre termes 𝑎, 𝑏, et 𝑑 sont en proportion en chaine, alors 𝑎 sur 𝑏 est égal à 𝑏 sur 𝑐, qui est égal à 𝑐 sur 𝑑, où 𝑎 et 𝑑 sont connus comme les extrêmes et 𝑏 et 𝑐 sont les moyens. Nous pouvons également les étiqueter comme les première, deuxième, troisième et quatrième proportionnelles.

Considérons maintenant un exemple de chaque type.

Si 𝑏 est la moyenne proportionnelle entre 𝑎 et 𝑐, alors laquelle des valeurs suivantes est égale à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré sur 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré ? Est-ce (A) 𝑎 sur 𝑐, option (B) 𝑐 sur 𝑎, option (C) deux 𝑎 sur 𝑐, ou l’option (D) deux 𝑐 sur 𝑎 ?

On commence par rappeler que si trois nombres sont en proportion en chaine, où 𝑏 est la moyenne proportionnelle entre 𝑎 et 𝑐, alors 𝑎 sur 𝑏 est égal à 𝑏 sur 𝑐. En appliquant une multiplication croisée, cela signifie que est égal à au carré. L’expression que nous devons simplifier dans cette question est 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré sur 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. Nous commencerons par remplacer 𝑏 au carré par 𝑎𝑐. Au numérateur, nous avons 𝑎 au carré plus 𝑎𝑐, et au dénominateur, plus au carré.

Notre prochaine étape consiste à factoriser un facteur commun de dans le numérateur et un facteur commun de dans le dénominateur. Cela nous laisse avec 𝑎 multiplié par 𝑎 plus 𝑐 sur 𝑐 multiplié par 𝑐 plus 𝑎. Comme l’addition est commutative, on peut simplifier un facteur commun de plus 𝑐. Et cela nous laisse avec une expression simplifiée de 𝑎 sur 𝑐. La bonne réponse est donc l’option (A). Si 𝑏 est la moyenne proportionnelle entre 𝑎 et 𝑐, alors 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré sur 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré est égal à sur 𝑐.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons les propriétés de quatre nombres en proportion.

Si 𝑎, 𝑏, et sont proportionnels, laquelle des valeurs suivantes est égale à la racine carrée de six 𝑎 au carré moins neuf au carré sur six 𝑐 au carré moins neuf au carré ? Est-ce l’option (A) sur 𝑑, l’option (B) sur 𝑐, l’option (C) 𝑐 sur 𝑎, ou l’option (D) sur 𝑏 ?

Commençons par rappeler que dire que 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont proportionnels revient à dire que le rapport de 𝑎 à 𝑏 est égal au rapport de 𝑐 à 𝑑. En particulier, leurs coefficients de proportionnalité seront équivalents. Donc 𝑎 est égal à 𝑘 multiplié par 𝑏, et 𝑐 est égal à 𝑘 multiplié par 𝑑 pour une constante 𝑘. Nous commencerons par remplacer ces expressions pour 𝑎 et 𝑐. Cela nous donne la racine carrée de six multipliée par 𝑘𝑏 le tout au carré moins neuf 𝑏 au carré sur six multiplié par 𝑘𝑑 au carré moins neuf 𝑑 au carré.

Le numérateur de la fraction sous la racine carrée peut être réécrit comme six 𝑘 au carré 𝑏 au carré moins neuf 𝑏 au carré. Et le dénominateur est égal à six 𝑘 au carré 𝑑 au carré moins neuf 𝑑 au carré. Ensuite, nous pouvons prendre 𝑏 au carré comme facteur commun du numérateur et 𝑑 au carré du dénominateur. Et après avoir fait cela, nous pouvons simplifier un facteur commun de six 𝑘 au carré moins neuf. Notre expression se simplifie en la racine carrée de 𝑏 au carré sur 𝑑 au carré. En rappelant que nous pouvons prendre la racine carrée du numérateur et du dénominateur séparément, cela se simplifie en 𝑏 sur 𝑑.

À ce stade, nous constatons que ce n’est pas l’une des quatre options. Nous allons donc considérer les deux équations de proportionnalité que nous avons écrites précédemment. En les divisant, nous voyons que 𝑎 sur 𝑐 est égal à sur 𝑘𝑑. Puisque le facteur commun 𝑘 est une constante non nulle, nous pouvons le simplifier, nous laissant avec 𝑎𝑐 est égal à 𝑏𝑑. Nous pouvons donc conclure que la bonne réponse est l’option (B). Si 𝑎, 𝑏, et sont proportionnels, alors la racine carrée de six 𝑎 au carré moins neuf au carré sur six 𝑐 au carré moins neuf au carré est égale à 𝑎 sur 𝑐.

Avant d’examiner un dernier exemple, nous allons considérer une autre propriété de proportionnalité. La proportionnalité de la somme stipule que si 𝑎, 𝑏, 𝑐 et sont proportionnels, alors 𝑎 sur 𝑏 est égal à c sur 𝑑, qui est égal à 𝑎 plus 𝑐 sur 𝑏 plus 𝑑. Nous pouvons simplement additionner les numérateurs et les dénominateurs des fractions équivalentes séparément sans affecter leur valeur. Regardons maintenant un exemple de ceci en action.

Si sur sept est égal à sur quatre qui est égal à sur 14 qui est égal à six 𝑎 moins sept 𝑏 plus deux 𝑐 sur trois 𝑥, trouvez la valeur de .

Pour répondre à cette question, rappelons d’abord que si quatre nombres 𝑤, 𝑥, et 𝑧 sont proportionnels, alors 𝑤 sur 𝑥 est égal à 𝑦 sur 𝑧 qui est égal à 𝑤 plus 𝑦 sur 𝑥 plus 𝑧. Dans cette question, on nous donne trois fractions équivalentes : 𝑎 sur sept, 𝑏 sur quatre et 𝑐 sur 14. Et on nous demande de déterminer une inconnue dans la quatrième.

Malheureusement, nous ne pouvons pas appliquer la propriété directement, car nous obtenons l’équation montrée, que nous ne pouvons pas résoudre pour 𝑥. Au lieu de cela, nous trouverons des fractions équivalentes pour 𝑎 sur sept, 𝑏 sur quatre et sur 14, de sorte que leurs numérateurs correspondent à chaque terme du membre droit. En multipliant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par six, on remarque que sur sept est égal à six 𝑎 sur 42. De la même manière, 𝑏 sur quatre équivaut à moins sept 𝑏 sur moins 28. Et 𝑐 sur 14 est égal à deux 𝑐 sur 28.

Nous avons maintenant six sur 42 est égal à moins sept 𝑏 sur moins 28 qui est égal à deux 𝑐 sur 28 qui est égal à six 𝑎 moins sept 𝑏 plus deux 𝑐 sur trois 𝑥. En appliquant la propriété aux trois premières fractions, nous avons six a moins sept 𝑏 plus deux 𝑐 sur 42 moins 28 plus 28. Et nous savons que cela est égal à six 𝑎 moins sept plus deux 𝑐 sur trois 𝑥. Puisque les numérateurs des deux membres de l’équation sont égaux, leurs dénominateurs doivent être égaux. Nous avons donc trois 𝑥 est égal à 42 moins 28 plus 28. Ceci se simplifie en trois 𝑥 est égal à 42. Et en divisant par trois, nous avons 𝑥 est égal à 14.

Si sur sept est égal à sur quatre qui est égal à sur 14 qui est égal à six moins sept 𝑏 plus deux 𝑐 sur trois 𝑥, alors la valeur de 𝑥 est 14.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Si 𝑦 est directement proportionnel à 𝑥, alors 𝑦 est égal à 𝑘 multiplié par 𝑥, où la constante 𝑘 est appelée le coefficient de proportionnalité. Si deux rapports 𝑎 à 𝑏 et 𝑐 à 𝑑 sont égaux, alors 𝑎 sur 𝑏 est égal à sur 𝑑. Et par la multiplication croisée, multiplié par 𝑑 est égal à 𝑏 multiplié par 𝑐. Une autre façon d’écrire ceci est la suivante. Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 et sont proportionnels, alors 𝑎𝑑 est égal à 𝑏𝑐. Et nous avons également vu que 𝑎 sur 𝑏 est égal à 𝑐 sur 𝑑 qui est égal à 𝑎 plus 𝑐 sur 𝑏 plus 𝑑. Nous avons également vu que si trois termes 𝑎, et sont en proportion en chaine, alors 𝑎 sur 𝑏 est égal à sur 𝑐, ce qui signifie que est est égal à au carré, en notant que les termes sont dits en proportion en chaine si le rapport entre les termes successifs est constant.