Vidéo : Analyse de l’équilibre d’une échelle reposant contre un mur lisse et un sol lisse et attachée à une corde horizontale pendant qu’un homme y grimpe

Une échelle uniforme 𝐴𝐵, de longueur 𝐿 et d’un poids de 40 kg, repose avec une de ses extrémités sur un sol lisse et avec l’autre contre un mur vertical lisse. L’échelle forme un angle de 45° avec l’horizontale, et son extrémité inférieure 𝐴 est attachée à une corde qui est fixée en un point à la jonction du mur et du sol. Étant donné que la tension maximale à laquelle la corde peut résister est de 60 kg, déterminez jusqu’où un homme de 140 kg peut monter sur l’échelle avant que la corde ne se rompe.

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Transcription de vidéo

Une échelle uniforme 𝐴𝐵, de longueur 𝐿 et d’un poids de 40 kg, repose avec une de ses extrémités sur un sol lisse et avec l’autre contre un mur vertical lisse. L’échelle forme un angle de 45° avec l’horizontale, et son extrémité inférieure 𝐴 est attachée à une corde qui est fixée en un point à la jonction du mur et du sol. Étant donné que la tension maximale à laquelle la corde peut résister est de 60 kg, déterminez jusqu’où un homme de 140 kg peut monter sur l’échelle avant que la corde ne se rompe.

l y a beaucoup d’informations à ce sujet. Nous allons donc commencer par esquisser le scénario. Voici notre échelle uniforme, reposant sur un mur vertical lisse et un sol lisse. Maintenant, le fait qu’elle soit uniforme signifie que son poids est uniformément réparti sur l’échelle. Nous pouvons donc dire que la force descendante du poids doit agir exactement à mi-chemin de l’échelle. Elle agit donc à mi-chemin entre 𝐿 et 𝐴. Nous n’avons pas d’unité pour 𝐿, donc c’est très bien.

Nous voyons qu’elle forme un angle de 45 degrés avec l’horizontale mais aussi que l’extrémité inférieure 𝐴 est attachée à une corde. Maintenant, cette corde est fixée à un point à la jonction du mur et du sol, ici. Et donc il doit y avoir une tension agissant sur le point 𝐴. En fait, c’est la tension dans la corde qui maintient l’échelle en place. Or, la tension maximale que la corde peut supporter est de 60 kilogrammes-force. Nous allons donc utiliser une tension égale à un poids de 60 kilogrammes-force dans cette question. Et puis nous avons cet homme qui pèse 140 kilogrammes-force et qui monte l’échelle.

Nous ne savons pas exactement jusqu’où il monte. Il se peut qu’il n’atteigne pas la moitié du chemin, il se peut qu’il atteigne plus que la moitié. Nous ajouterons ceci à notre diagramme et dirons qu’il parvient à grimper 𝑥𝐿 de l’échelle. 𝑥 sera simplement une fraction. Nous sommes en train de déterminer quelle fraction de 𝐿 il sera capable de monter sur l’échelle. Mais quelles sont les autres forces en présence ? Eh bien, il doit y avoir une force de réaction du sol sur l’échelle et du mur sur l’échelle. Ces forces sont perpendiculaires à la surface.

Nous avons donc une force de réaction en 𝐴 qui agit directement vers le haut et une force de réaction en 𝐵 qui agit vers la gauche. Il n’y a pas d’autre force. N’oubliez pas que le mur et le sol sont lisses, il n’y a donc pas de force de frottement. Alors, que faisons-nous ensuite ? Notre prochaine tâche consiste à décomposer les forces horizontales et verticales. Une fois que nous l’aurons fait, nous pourrons considérer les moments par rapport à un point. Commençons par décomposer nos forces verticalement. La corde est sur le point de se rompre lorsque sa tension atteint un poids de 60 kilogrammes-force. Nous supposons donc qu’elle est toujours en équilibre ou presqu’en équilibre limite. Elle est sur le point de se rompre. Donc, dans une direction verticale, on peut dire que la somme des forces doit être égale à zéro. C’est la somme de 𝐹 indice 𝑦 est égale à zéro.

Alors quelles sont les forces qui agissent dans la direction verticale ? Eh bien, nous avons la force de réaction en 𝐴 qui agit vers le haut. Donc, prenons le haut comme étant positif. Ensuite, nous avons le poids de l’échelle qui agit dans la direction opposée. Nous allons donc ajouter moins 40. Et nous avons le poids de l’homme qui agit dans la direction opposée à la force de réaction. C’est donc une force de moins 140. Nous disons donc que la somme des forces agissant dans la direction verticale est 𝑅 indice 𝐴 moins 40 moins 140. Et cela doit être égal à zéro. Cela se simplifie en 𝑅 indice 𝐴 moins 180 est égal à zéro. Donc 𝑅 indice 𝐴, si nous ajoutons 180 aux deux côtés, nous voyons que cela doit être égal à 180 ou 180 kilogrammes-force.

Maintenant, ne vous inquiétez pas si vous avez l’habitude de mesurer les forces en newtons plutôt qu’en kilogramme-force ; c’est juste une autre façon de faire. Ensuite, nous allons décomposer les forces dans une direction horizontale. Encore une fois, la somme de ces forces sera égale à zéro. Cette fois, prenons la direction de droite comme étant positive. Et nous avons une tension qui agit dans cette direction. Ensuite, nous avons la force de réaction en 𝐵 qui agit dans la direction opposée. Donc la tension moins 𝑅 indice 𝐵 doit être égale à zéro. Et si nous ajoutons 𝑅 indice 𝐵 aux deux côtés, nous constatons que la tension doit être égale à 𝑅 indice 𝐵. Mais souvenez-vous, nous avons dit que nous prenons le cas où la tension est égale à un poids de 60 kilogrammes-force, puisque c’est la tension maximale qu’elle peut supporter avant de se rompre. Donc 𝑅 indice 𝐵 doit être égal à 60 ou 60 kilogrammes-force.

Nous ajoutons cette force à notre diagramme, et nous sommes prêts à calculer des moments. N’oubliez pas que le moment est l’effet tournant d’une force. Nous allons prendre des moments par rapport au point 𝐴. Nous pouvons prendre des moments par rapport à n’importe quel point de cette échelle. Mais en général, il se passe plus de choses en le point où l’échelle touche le sol. Donc, si nous prenons les moments par rapport à 𝐴, nous aurons en gros moins à calculer. Nous allons supposer que le sens inverse des aiguilles d’une montre est positif. Et puis nous nous rappelons que nous calculons le moment d’une force en multipliant cette force par la distance perpendiculaire de la ligne d’action de la force par rapport au point où nous effectuons le calcul. Nous verrons à quoi cela ressemble dans un instant.

Considérons donc toutes les forces qui agissent sur notre échelle. Commençons par examiner la force de réaction en le point 𝐵. Nous avons vu qu’elle était de 60 kilogrammes-force. Nous devons déterminer la composante de cette force qui est perpendiculaire à l’échelle. Celle-ci agit dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Son moment va donc être positif. Et donc, agrandissons un peu ce triangle. Nous devrions voir que c’est un triangle rectangle avec une hypoténuse de 60 kilogrammes-force. L’angle intérieur est de 45 degrés. Et cela parce que la force de réaction en 𝐵 est parallèle au sol. Et nous savons que ces angles alternes-externes sont égaux.

Nous voulons déterminer la composante de cette force qui agit perpendiculairement à l’échelle. Appelons cela 𝑎 ou 𝑎 kilogrammes-force. C’est le côté opposé dans notre triangle. Et nous savons que l’hypoténuse fait 60. Nous pouvons donc les relier en utilisant le rapport sinus. Sin 𝜃 est l’opposé sur l’hypoténuse. Donc, sin 45 est 𝑎 sur 60. En multipliant par 60, nous voyons que 𝑎 est égal à 60 sin 45. Mais en fait, nous savons que sin 45 degrés est la racine de deux sur deux. Donc 𝑎 est 60 fois la racine de deux sur deux ou 30 fois la racine de deux kilogrammes-force.

Nous avons donc déterminé la composante de cette force de réaction qui agit perpendiculairement à l’échelle. Nous devons calculer son moment. N’oubliez pas qu’elle agit dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, donc elle est positive. Le moment est cette force multipliée par la distance qui sépare l’échelle de 𝐴. Cela fait donc 30 racine de deux multipliée par 𝐿.

Et qu’en est-il de nos autres forces ? Regardons la force qui est le poids de l’homme. Cette fois, l’angle intérieur est de 45 degrés. Et l’hypoténuse est un poids de 140 kilogrammes-force. Nous appellerons le côté que nous cherchons à calculer, qui est la composante de cette force qui agit perpendiculairement à l’échelle, 𝑏.

Cette fois, nous cherchons à déterminer le côté adjacent et nous connaissons l’hypoténuse. Et donc nous utilisons le rapport cosinus. cos de 45 degrés est égal à 𝑏 sur 140. Donc 𝑏 vaut 140 fois le cos de 45. Mais encore une fois, cos de 45 est la racine de deux sur deux. Nous constatons donc que 𝑏 est 140 fois la racine de deux sur deux ou 70 fois la racine de deux kilogrammes-force. Calculons maintenant le moment de cette force. Nous allons la soustraire puisqu’elle agit dans le sens des aiguilles d’une montre. Nous avons dit que c’était 𝑥𝐿 en partant de 𝐴. Donc le moment est égal à moins 70 fois la racine de deux fois 𝑥𝐿.

Il y a une autre force à prendre en compte, et c’est la force du poids de l’échelle. Si nous ajoutons un triangle rectangle à cette force, elle ressemble beaucoup à notre précédent triangle rectangle. Mais cette fois, l’hypoténuse vaut 40. Et nous appellerons la longueur que nous cherchons à déterminer 𝑐. cos de 45 vaut 𝑐 sur 40. Et donc, si nous réorganisons, nous obtenons 𝑐 égale 20 racine de deux ou 20 racine de deux kilogrammes-force. Et donc nous sommes prêts à déterminer le moment. Une fois de plus, il agit dans le sens des aiguilles d’une montre. Il est donc négatif et sa distance est d’un demi 𝐿. Nous avons donc 20 racine de deux fois la moitié de 𝐿. Nous savons qu’il s’agit d’un équilibre. Donc la somme de ces moments est égale à zéro.

Et maintenant, nous allons chercher à déterminer 𝑥. Mais il y a une variable supplémentaire ici ; il y a 𝐿. Heureusement, nous savons que 𝐿, la longueur de l’échelle, ne peut pas être égale à zéro. Nous pouvons donc diviser par 𝐿. Et notre équation devient 30 racine de deux moins 70 racine de deux fois 𝑥 moins 20 racine de deux sur deux est égale à zéro. Mais bien sûr, 20 racine de deux sur deux équivaut à 10 racine de deux. Cette équation se simplifie donc encore davantage pour arriver à 20 racine de deux moins 70 racine de deux 𝑥 est égal à zéro.

En fait, nous pouvons également diviser par la racine de deux. Et en ajoutant 70𝑥 aux deux côtés, notre équation se simplifie encore plus, jusqu’à ce que 20 soit égal à 70𝑥. Pour trouver 𝑥, nous divisons par 70. Donc 𝑥 vaut 20 sur 70, ou 𝑥 est égal à deux septièmes. Nous avons donc dit que l’homme peut parcourir deux septièmes de l’échelle. Puisque la longueur de l’échelle est 𝐿, nous disons que l’homme peut parcourir deux septièmes de 𝐿, unités de longueur, en montant l’échelle avant que la corde ne se rompe.

Notez que nous n’avons pas eu besoin de calculer la force de réaction en 𝐴. C’est parce que lorsque nous prenons des moments par rapport à 𝐴, nous multiplions chacune des forces en ce point par zéro. Ils sont donc en fait égaux à zéro. Il est souvent nécessaire, cependant, de décomposer ces forces dans une direction verticale. Il est donc toujours judicieux de le faire pour compléter.

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