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Si la droite qui passe par les points 𝐴 six, zéro et 𝐵 quatre, moins six est perpendiculaire à la droite passant par les points 𝐶 moins neuf, 19 et 𝐷 𝑥, 15. Quelle est la valeur de 𝑥 ?
Commençons par rappeler que le mot « perpendiculaire » signifie qu’elles se coupent à angle droit, ou 90 degrés. Nous avons donc deux droites, une droite passant par 𝐴 et 𝐵, et une droite passant par 𝐶 et 𝐷. Mais l’abscisse du point 𝐷 est inconnue et nous devons la déterminer. Nous pouvons employer deux méthodes pour résoudre cette question.
La première consiste à résoudre le problème graphiquement. Cela implique de tracer un repère et de représenter les points. Nous ne connaissons pas les deux coordonnées du point 𝐷. Mais nous pourrions en théorie les déterminer après avoir trouvé une droite perpendiculaire à 𝐴𝐵 passant par le point 𝐶. Il y a cependant quelques inconvénients à cette méthode.
On peut voir que certaines des coordonnées sont assez grandes, ce qui signifie que notre repère devrait être très grand. Et il faudrait également être très précis. Voyons donc si nous pouvons trouver une autre méthode. Nous pouvons en effet essayer de résoudre ce problème algébriquement. Nous allons pour cela utiliser les équations pour calculer les pentes des droites et appliquer des propriétés des droites perpendiculaires. Il peut être utile de dessiner un schéma rapide de nos points et des droites.
Commençons par rappeler ce qu’est la pente d’une droite. La pente d’une droite est définie comme la variation des ordonnées sur la variation des abscisses. Et c’est une mesure de la raideur d’une droite. Pour deux points de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, on peut déterminer la pente en calculant 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. C’est-à-dire la variation des ordonnées sur la variation des abscisses.
Commençons par calculer la pente de la droite 𝐴𝐵 puisque nous connaissons les coordonnées de 𝐴 et 𝐵. Nous pouvons utiliser le point 𝐴 pour 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐵 pour 𝑥 deux, 𝑦 deux. Mais le sens que l’on choisit n’a en réalité pas d’importance. En substituant ces valeurs dans la formule de la pente, on obtient moins six moins zéro, puisque 𝑦 deux égale moins six et 𝑦 un égale zéro. Et au dénominateur, on a quatre moins six, puisque 𝑥 deux égale quatre et 𝑥 un égale six.
En simplifiant le numérateur et le dénominateur, on trouve moins six sur moins deux. Ce qui est égal à six sur deux. Et comme six sur deux est équivalent à six divisé par deux, cela signifie que la pente de la droite passant par 𝐴 et 𝐵 est de trois.
Maintenant, comme nous avons une valeur inconnue dans les coordonnées de 𝐷, nous ne pouvons pas calculer la pente de la droite passant par 𝐶 et 𝐷. Mais nous pouvons utiliser une propriété importante des droites perpendiculaires pour nous aider à répondre à la question. Cette propriété stipule que pour deux droites perpendiculaires, le produit de leurs pentes doit être égal à moins un. Puisque nous savons que la pente de la droite passant par 𝐴 et 𝐵 est trois, cela signifie que nous avons une équation de la forme trois fois quelque chose égale moins un.
Et pour trouver cette valeur inconnue, on divise simplement les deux membres par trois. La pente inconnue doit donc être égale à moins un sur trois. Alors, maintenant que nous savons que la pente de la droite passant par 𝐶 et 𝐷 est égale à moins un sur trois.
Revenons en arrière et utilisons notre équation avec les valeurs de 𝑥 et 𝑦 pour voir si nous pouvons déterminer l’abscisse inconnue du point 𝐷. On peut utiliser le point 𝐶 pour 𝑥 un, 𝑦 un et le point 𝐷 pour 𝑥 deux, 𝑦 deux. En substituant ces valeurs, on a moins un sur trois, puisque c’est la pente que nous avons calculée. Égale 15 moins 19, soit 𝑦 deux moins 𝑦 un. Sur 𝑥 moins moins neuf, qui correspond à 𝑥 deux moins 𝑥 un où 𝑥 un est un nombre négatif. En simplifiant, on obtient moins un sur trois égale moins quatre sur 𝑥 plus neuf, puisque 𝑥 moins moins neuf est équivalent à 𝑥 plus neuf.
Nous souhaitons à présent sortir le 𝑥 du dénominateur. On multiplie donc les deux membres de l’équation par 𝑥 plus neuf. Cela nous donne moins 𝑥 plus neuf sur trois égale moins quatre. Et on peut annuler les signes négatifs des deux membres de l’équation pour obtenir 𝑥 plus neuf sur trois égale quatre.
Pour continuer à résoudre cette équation, on peut multiplier les deux membres par trois pour éliminer le trois au dénominateur du membre gauche. Cela donne 𝑥 plus neuf égale quatre fois trois, soit 12. Et on trouve enfin que 𝑥 est égal à trois. Il s’agit donc de notre réponse finale. Nous pouvons conclure que les coordonnées du point 𝐷 sont trois, 15.
