Vidéo de la leçon: Droites parallèles et transversales Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner les droites parallèles et transversales. Ou plus spécifiquement, les angles créés et les relations entre eux. Maintenant, rappelez-vous que les droites parallèles sont des droites qui ne se rejoindront jamais, quelle que soit leur étendue. Ils sont toujours exactement à la même distance les uns des autres. Maintenant, une transversale est une droite qui coupe deux droites en deux points différents. Donc, sur les figures de droites parallèles que j’ai ici, puis sur les droites verte et orange que j’ai ajoutées, il s’agit d’exemples de transversales car ils croisent ces droites parallèles à deux endroits. Maintenant, cette transversale crée huit angles. Voilà donc ces huit angles ici. Et ce qui nous intéresse, ce sont les relations qui existent entre des paires d’angles particuliers.

Nous allons donc examiner quatre types d’angles différents. Nous allons les nommer, puis nous examinerons la relation qui existe entre eux. Le premier type d’angles que nous examinons s’appelle les angles correspondants. Pour les reconnaître, il s’agit d’angles qui se trouvent essentiellement au même endroit, aux deux points où la transversale traverse les droites parallèles. Ainsi, par exemple, ces deux angles sont marqués en rouge. Ils sont tous deux au-dessus des droites parallèles et à droite de la transversale. De même, ces angles sont indiqués en vert. Ils sont dans la même position aux deux endroits, où la transversale traverse les droites parallèles. Donc, ils sont une autre paire d’angles correspondants. Je pourrais aussi avoir les deux angles marqués en bleu ou les deux angles marqués en orange. Donc, il y a en fait quatre paires d’angles correspondants dans la figure.

Maintenant, l’essentiel à ce sujet est que les angles correspondants sont égaux. Donc, ces deux angles rouges sont identiques, les deux angles bleus sont identiques, et ainsi de suite. Donc, les angles correspondants sont égaux, ou superposables serait une autre façon de le dire. Le deuxième type d’angle que nous allons examiner est ce qu’on appelle des angles alternes-internes. Maintenant, les angles alternes-internes sont ceux tels que ceux-ci ici. Alternance signifie qu’ils se trouvent sur les côtés opposés de la transversale et intérieur signifie qu’ils se trouvent à l’intérieur des droites parallèles. Donc, un autre exemple de ceux-ci serait la paire que j’ai marquée en bleu ici. Maintenant, l’essentiel à propos de ceux-ci est que les angles alternes-internes sont également égaux, ou superposables, les uns par rapport aux autres. C’est donc le deuxième type d’angles.

Le troisième type d’angle que nous allons examiner est appelé angles intérieurs consécutifs. Donc, un exemple de ceux-ci serait ces deux angles ici. Consécutif signifie qu’ils se trouvent du même côté de la transversale, c’est-à-dire les uns à côté des autres. Et intérieur encore signifie qu’ils sont à l’intérieur des droites parallèles. Encore une fois, une autre paire d’angles intérieurs consécutifs sera celle que j’ai marquée en bleu ici. Donc, l’essentiel à ce sujet est qu’ils ne sont pas égaux entre eux. En fait, vous pouvez voir que c’est un angle aigu et un angle obtus, donc ils ne sont certainement pas les mêmes. Mais ils sont plutôt complémentaires, ce qui signifie que la somme de ces deux angles est cent quatre vingt degrés. C’est donc le troisième type d’angle. Les angles consécutifs intérieurs se complètent.

Le dernier type d’angle que nous allons examiner ici est ce que l’on appelle des angles alternes-externes. Alors peut-être pouvez-vous déduire du nom, autrement dit, ils se trouvent sur les côtés opposés de la transversale, et extérieur signifie qu’ils se trouvent en dehors des droites parallèles. Donc, cet angle et cet angle ici seraient des angles alternes-externes. Alternativement encore, la paire que j’ai marquée en bleu serait également un autre exemple. Or, l’essentiel à leur propos est qu’ils constituent également un exemple d’angles égaux ou superposables. C’est donc le quatrième type d’angles que nous examinons.

Maintenant, vous devez vous rappeler les noms spécifiques pour les différentes paires d’angles. Et vous devez également vous rappeler si elles sont superposables ou complémentaires. Si vous avez du mal à décider si deux angles sont superposables ou complémentaires, examinez leur type. Si ce sont les deux, par exemple, les angles aigus, alors ils vont être superposables. Même chose, si ce sont deux angles obtus. Considérant que si l’on est obtus et que l’on est aigu, eh bien, ils ne peuvent pas être identiques. Par conséquent, ils constitueront des angles supplémentaires, dans ce contexte, si leur angle est créé par une droite transversale parallèle. Voyons donc comment répondre à notre première question à ce sujet.

Nous avons une figure et on nous demande de trouver la mesure de l’angle 𝐴, qui est marqué sur la figure ici. On nous donne l’angle de cent vingt degrés plus haut.

Maintenant, il y a souvent beaucoup de façons différentes de répondre à cette question. Je vais donc faire deux méthodes différentes, afin que nous puissions voir certaines des routes différentes que vous pourriez prendre. Maintenant, en regardant les angles marqués, les deux angles là-bas, ils ne tombent pas dans l’une des catégories que nous avons examinées précédemment, ce qui signifie que je vais avoir besoin de deux étapes de travail, ou plus peut-être, plutôt que juste une cause pour laquelle je ne peux pas me référer immédiatement à un type particulier d’angle. Droit, si la méthode un, je vais penser à cet angle ici, tout d’abord, que je suis va donner la lettre 𝐵 à. Maintenant, si vous regardez la figure et si vous vous rappelez les différents noms que nous avions pour différentes paires d’angles avant, vous verrez que cet angle 𝐵 est correspondant à l’angle de cent vingt degrés parce qu’ils sont tous les deux dans la même position mais aux deux endroits différents où la transversale coupe les droites parallèles.

Donc, si vous vous rappelez d’avant, si deux angles correspondent, ils sont superposables, ce qui signifie que la mesure de l’angle 𝐵 doit être de 120 degrés. Donc, la première étape de mon travail sur est d’écrire la mesure de l’angle 𝐵, et une raison pour laquelle tel est le cas. Maintenant, afin de trouver l’angle 𝐴, nous ne fait pas besoin de faits sur les angles et les droites parallèles. Nous avions simplement besoin de plus de faits de base sur les angles en droite, à savoir qu’ils ajoutent cent quatre-vingt degrés, ou un supplément. Donc, si je sais angle 𝐵 est de 120, je peux travailler l’angle 𝐴 en le soustrayant de 180. J’ai donc une mesure d’angle 𝐴, cent quatre-vingts degrés moins 120 degrés, ce qui est de soixante degrés. Et mon raisonnement pour cela est que, la somme des angles sur une droite. C’est donc une approche que nous pourrions adopter pour travailler sur cet angle.

Une autre approche pourrait consister à élaborer cet angle ici en premier, donc cet angle que je vais appeler angle 𝐶. Or l’angle occupe une position particulière par rapport à celle de 120 degrés. Et encore une fois, ce n’est pas un fait sur les angles et les droites parallèles. Il est un fait de l’angle général, à savoir que l’angle 𝐶 est verticalement opposé de cet angle. Quand deux angles sont verticalement opposées l’une à l’autre, ils sont superposables, ce qui signifie angle 𝐶 doit également être de 120 degrés. Cela peut donc être la première étape de mon travail. Maintenant, si je regarde angle 𝐶 et angle 𝐴, je vois qu’ils sont un type d’angle spécifique que nous avons appelé dans la diapositive précédente. Ils se trouvent à l’intérieur des droites parallèles et du même côté de la transversale, ils forment donc des angles intérieurs consécutifs. Maintenant, si vous vous rappelez le fait important concernant les angles intérieurs consécutifs, c’est qu’ils sont complémentaires, c’est-à-dire qu’ils totalisent 180 degrés.

Nous avons donc pu travailler la mesure de l’angle 𝐴 en soustrayant la mesure de l’angle 𝐶 de 180. Encore une fois, cela nous donne 60 degrés pour l’angle 𝐴. Et la raison, rappelez-vous que nous avons dit, était que ce sont des angles intérieurs consécutifs. Vous voyez donc que les calculs en jeu sont identiques avec ces deux méthodes, mais le raisonnement est différent selon les angles que nous avons essayé de déterminer en premier. Et il y a d’autres façons pour moi de le faire aussi. Vous pouvez utiliser différentes méthodes pour répondre à une question comme celle-ci.

D’accord, la question suivante, on nous donne une figure, encore une fois, avec des droites parallèles et une transversale et on nous demande de trouver la valeur de 𝑥. Et en regardant la figure, on peut voir que 𝑥 est utilisé pour décrire la taille de deux de ces angles ici.

Nous ne savons donc pas quelle est la valeur de 𝑥. Souvent, les questions de ce type impliquent la mise en place et la résolution d’une équation. Et c’est exactement ce que nous allons faire ici. Tout d’abord, nous devons identifier le type d’angles que nous avons. En regardant attentivement la figure, nos deux angles se trouvent à l’intérieur des droites parallèles et du même côté de la transversale. Par conséquent, ce sont des angles intérieurs consécutifs. Rappelez-vous que l’important était que ces éléments se complètent, c’est-à-dire qu’ils totalisent 180 degrés. Cela signifie donc que nous pouvons écrire notre équation. Si nous additionnons ces deux angles ensemble, nous devrions 180. Nous avons donc cette équation ici, quatre 𝑥 moins 10, plus deux 𝑥 plus 10 est égal à 180.

Il ne reste plus qu’à résoudre cette équation. Ainsi, la recherche sur le côté gauche, nous avons quatre 𝑥 plus deux 𝑥, ce qui est six 𝑥 et nous avons moins 10 plus 10, qui annulent. Donc, cela nous laisse avec six 𝑥 est égal à 180. La dernière étape pour résoudre cette équation est que nous devons diviser les deux côtés par six. Et donc cela nous donne 𝑥 est égal à 30, ce qui est notre réponse à ce problème. Donc, cette question consiste simplement à regarder attentivement la figure, à identifier le type d’angles qui nous ont été donnés, en utilisant le fait que nous en connaissions l’existence, à savoir qu’ils étaient complémentaires, puis à mettre en place et à résoudre une équation afin de travailler cette valeur 𝑥.

D’accord, c’est la dernière question que nous allons examiner.

On nous donne une figure et on nous demande de calculer la mesure de l’angle 𝐶𝐷𝐸.

Donc, en regardant la figure, c’est cet angle créé lorsque nous passons de 𝐶 à 𝐷 à 𝐸, c’est donc cet angle que j’ai marqué en vert. Donc, vous voudrez peut-être regarder la figure vous-même et planifier l’approche que vous pourriez adopter. Il est pas évident que nous allons calculer l’angle 𝐶𝐷𝐸. Donc, ce que je ferais, c’est de regarder et de voir, y at-il d’autres angles que je peux calculer tout de suite ? Et vous remarquerez que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère et que je connais trois angles. Je sais aussi que les angles dans un quadrilatère totalisent 360, ce qui signifie que je peux calculer cet angle final, l’angle 𝐵𝐴𝐷, en utilisant ce fait.

Alors c’est comme ça que je vais commencer. La mesure de cet angle 𝐵𝐴𝐷, est 360 moins 85 moins 140 moins 50. Et cela me donne donc 85 degrés pour cet angle. Et comme nous l’avons dit, le raisonnement derrière cela est que les angles dans une somme quadrilatérale atteignent 360 degrés. Voyons maintenant comment cela aide à résoudre cet angle 𝐶𝐷𝐸. Eh bien, j’ai une paire de droites parallèles dans la figure. Je peux le voir à cause des flèches sur eux. Et il peut être utile de prolonger un peu ces deux droites. Cela fait, vous pouvez peut-être voir un peu plus facilement ce qui se passe. Et peut-être constaterez-vous qu’il existe une relation entre cet angle et les 85 degrés que nous venons d’établir, celui marqué en bleu.

Si vous regardez attentivement la figure, vous remarquerez qu’il s’agit bien d’angles alternes-internes. Et par conséquent, ils doivent être superposables les uns aux autres. Vous trouverez peut-être utile d’incliner la tête. Ou, si vous utilisez une tablette ou quelque chose du genre, inclinez l’écran pour pouvoir le voir plus facilement. Alors qu’est-ce que cela me dit est alors que la mesure de cet angle 𝐴𝐷𝐹, maintenant 𝐹 est le point où je l’ai étendu cette droite parallèle à la mesure de cet angle est de 85 degrés parce que, comme nous l’avons dit, ils sont des angles alternes. Donc, je peux aussi étiqueter ces 85 degrés sur ma figure. Soit dit en passant, le fait qu’il y ait 85 degrés de plus dans ce quadrilatère est une coïncidence. Ce ne serait pas toujours le cas que ce serait vrai.

Maintenant, enfin, je veux travailler à cet angle 𝐶𝐷𝐸. Et ce que vous pouvez voir dans cette partie de la figure est que ces trois angles, l’angle bleu, les cinquante degrés et l’angle vert sont ensemble sur une droite. Et donc, la somme de ces trois angles doit être de 180 degrés. Donc, je peux calculer la mesure de cet angle 𝐶𝐷𝐸 en faisant 180 moins 50 moins 85. Et si je fais cela, cela me donne 45 degrés pour la mesure de cet angle, avec le raisonnement, rappelez-vous, étant la somme des angles sur une droite est de 180 degrés.

Donc, dans cette question, nous ne pouvions pas immédiatement déterminer l’angle requis. Nous avons d’abord dû trouver d’autres angles sur la figure, puis utiliser nos propriétés d’angles en droites parallèles afin de déterminer l’angle demandé à l’origine.

Donc, pour résumer, nous avons vu quatre types d’angles parallèles que nous devons pouvoir reconnaître et nommer. Et nous avons vu comment appliquer des propriétés sur ces types d’angles afin de déterminer les angles manquants dans différentes figures.