Vidéo de la leçon: Racines cubiques des cubes parfaits Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les racines cubiques des nombres entiers qui sont des cubes parfaits. Commençons par rappeler que nous pouvons utiliser la racine carrée pour déterminer le côté d’un carré à partir de son aire. Par exemple, étant donné qu’un carré a une aire de 16 centimètres carrés et que la longueur de son côté est appelée 𝑙 centimètres comme indiqué, alors nous savons que 𝑙 au carré est égal à 16. Nous pouvons alors trouver la valeur de 𝑙 en prenant la racine carrée des deux membres de l’équation, en notant que puisque 𝑙 est la longueur, elle doit être positive. Nous avons 𝑙 est égal à la racine carrée de 16, qui est la même que la racine carrée de quatre au carré. Et nous pouvons donc conclure que 𝑙 est égal à quatre. Le côté du carré est de quatre centimètres.

Nous pouvons appliquer ce processus également aux cubes. Supposons que nous avons un cube de volume de 125 centimètres cubes. Rappelons que le volume d’un cube est égal à la longueur de son arête au cube, nous avons 𝑙 au cube est égal à 125. Cette fois, nous pouvons appliquer la racine cubique aux deux membres de l’équation, ce qui nous donne 𝑙 est égal à la racine cubique de 125. Nous savons que quatre au cube est égal à 64, donc la racine cubique de 64 est quatre. Cinq au cube est égal à 125. Cela signifie que la racine cubique de 125 est cinq et que le cube a une arête de cinq centimètres de longueur. Il faut noter ici que la racine cubique d’un nombre positif donne un nombre positif, alors que la racine cubique d’un nombre négatif donne un nombre négatif. Puisque 125 est le cube d’un entier, il est connu comme un cube parfait. D’autres exemples de cubes parfaits sont un, huit, 27 et 64.

Avant de regarder quelques exemples spécifiques, nous allons définir cela de manière plus formelle. Un cube parfait est un entier est égal au produit du même entier trois fois. Par exemple, huit est un cube parfait, puisque huit est égal à deux multiplié par deux multiplié par deux. On peut aussi dire qu’un entier 𝑛 est un cube parfait s’il existe un entier 𝑎 tel que 𝑎 au cube est égal à 𝑛. Nous pouvons également définir la racine cubique d’un nombre de la même manière que nous définissons la racine carrée d’un nombre. La racine cubique d’un nombre 𝑛, écrite comme indiqué, est l’opération inverse de la mise au cube d’un nombre. En général, la racine cubique de 𝑛 est le nombre 𝑎 tel que 𝑎 au cube est égal à 𝑛. Voyons maintenant un exemple où nous devons déterminer la racine cubique d’un cube parfait.

Trouvez la racine cubique de 27.

Rappelons d’abord que la racine cubique d’un nombre 𝑛, écrite comme indiqué, est le nombre 𝑎 tel que 𝑎 au cube est égal à 𝑛. Dans cette question, on nous demande de trouver la racine cubique de 27. Nous savons que trois au cube est égal à trois multiplié par trois multiplié par trois. Et cela est égal à 27. Nous pouvons donc conclure que la racine cubique de 27 est égale à trois.

Il faut noter que le nombre 27 est un cube parfait, puisque sa racine cubique est un entier. Nous notons également que la racine cubique d’un nombre positif donne un nombre positif, alors que la racine cubique d’un nombre négatif donne un nombre négatif.

Voyons maintenant cela en détail. Il faut d’abord noter que, contrairement à la racine carrée, la racine cubique existe toujours et donne une solution unique. Par exemple, nous rappelons qu’il y a deux solutions de la racine carrée de quatre, puisque deux au carré est égal à quatre et moins deux au carré est égal à quatre. La racine carrée de quatre est égale à deux ou moins deux. Il n’y a qu’une solution de la racine cubique de huit, puisque seulement deux au cube est égal à huit. On note également que moins deux au cube est égal à moins huit, et donc la racine cubique de moins huit est moins deux. Cela confirme que nous pouvons prendre la racine cubique d’un nombre négatif et que notre réponse sera négative.

Dans notre exemple suivant, nous allons déterminer la racine cubique d’un cube parfait négatif.

Trouvez la valeur de la racine cubique de moins un.

Rappelons d’abord que la racine cubique d’un nombre négatif est négative. Rappelons également que la racine cubique d’un nombre 𝑛 est le nombre 𝑎 tel que 𝑎 au cube est égal à 𝑛. Cela signifie que dans cette question, nous devons déterminer un nombre négatif qui, au cube, nous donnera un nombre négatif. La seule solution ici est négative, puisque moins un au cube est égal à moins un multiplié par moins un multiplié par moins un, ce qui sera égal à moins un. Nous pouvons donc conclure que la racine cubique de moins un est moins un.

Avant de passer à notre exemple suivant, il existe un autre moyen de déterminer la racine cubique d’un cube parfait. Au lieu d’utiliser la méthode essai-erreur pour trouver la racine cubique, nous pouvons utiliser la décomposition en facteurs premiers pour simplifier le processus. Considérons la racine cubique de 3375 pour montrer cela. Commençons par noter que 3375 est divisible par cinq. Donc, c’est un facteur. 3375 divisé par cinq est 675, et cela est aussi divisible par cinq, ce qui nous donne 135.

Nous pouvons diviser par cinq une fois de plus, ce qui nous donne 27. En notant que 27 est égal à trois au cube, alors 3375 doit être égal à cinq au cube multiplié par trois au cube. Nous pouvons donc réécrire le calcul initial comme indiqué. Et en utilisant les lois des puissances, cinq au cube multiplié par trois au cube peut être réécrite comme cinq multiplié par trois le tout au cube. Et notre expression se simplifie à la racine cubique de 15 au cube. Puisque la racine cubique de 𝑎 au cube est égale à 𝑎, la racine cubique de 15 au cube est 15. Et nous pouvons donc conclure que la racine cubique de 3375 est 15 et que 3375 est un cube parfait.

Cela peut être résumé comme suit. Si nous avons un nombre qui est le produit de cubes parfaits 𝑐, qui est égal à 𝑎 multiplié par 𝑏 où 𝑎 et 𝑏 sont des cubes parfaits - par exemple, 𝑎 est égal à 𝑛 au cube et 𝑏 est égal à 𝑚 au cube - alors puisque 𝑛𝑚 le tout au cube est égal à 𝑛 au cube multiplié par 𝑚 au cube, cela est égal à 𝑎 multiplié par 𝑏, ce qui est égal à 𝑐. Et par conséquent, la racine cubique de 𝑐 est égale à la racine cubique de 𝑎𝑏, qui est égale à 𝑛𝑚. Cela nous permet de prendre les racines cubiques des produits des mêmes facteurs premiers séparément. Par exemple, la racine cubique de cinq au cube multipliée par trois au cube peut être réécrite comme la racine cubique de cinq au cube multipliée par la racine cubique de trois au cube, qui est égale à cinq multiplié par trois, ce qui nous donne 15.

Dans notre prochain exemple, nous allons simplifier une expression impliquant à la fois des racines carrées et des racines cubiques.

Trouvez la valeur de la racine carrée de moins 55 multipliée par la racine cubique de moins 216.

Dans cette question, on nous donne une expression qui consiste d’une racine carrée contenant une racine cubique. Commençons par l’expression interne, c’est-à-dire la valeur de la racine cubique de moins 216. Rappelons que la racine cubique d’un nombre 𝑛 est le nombre 𝑎 tel que 𝑎 au cube est égal à 𝑛. Et puisque moins 216 est négatif, nous devons trouver un nombre négatif qui, au cube, nous donne moins 216. Nous savons que 216 est un cube parfait, puisque six au cube est égal à 216. En utilisant les propriétés des cubes parfaits, cela signifie que moins six au cube est égal à moins 216. Ainsi, la racine cubique de moins 216 est moins six.

En substituant cela à l’expression, nous avons la racine carrée de moins 55 multipliée par moins six. Rappelons que multiplier deux nombres négatifs donne une réponse positive, et puisque 55 multiplié par six est 330, alors moins 55 multiplié par moins six est aussi égal à 330. Et notre expression se simplifie à la racine carrée de 330. Nous pourrions essayer d’évaluer cela davantage. Cependant, en l’examinant de plus près, nous notons que 330 n’est pas un carré parfait. Et par conséquent, la racine carrée de moins 55 multipliée par la racine cubique de moins 216 est la racine carrée de 330.

Avant de passer à notre dernier exemple, nous allons définir formellement une propriété utile de la fonction racine cubique.

Lors de la recherche de la racine cubique d’un cube parfait pour tout entier 𝑎, la racine cubique de 𝑎 au cube est égale à 𝑎. Comme nous l’avons déjà vu dans cette vidéo, si nous voulons déterminer la racine cubique de 64, alors puisque 64 est un cube parfait, nous pouvons le réécrire comme quatre au cube, ce qui nous donne l’expression racine cubique de quatre au cube, qui est égale à quatre. Passons maintenant à un exemple où nous pouvons appliquer cette propriété.

Quelle est la longueur de l’arête d’un cube dont le volume est de 64 centimètres cubes ?

Rappelons d’abord que le volume d’un cube avec une longueur d’une arête de 𝑙 centimètres est donné par le cube de 𝑙. Dans cette question, puisque le volume du cube est de 64 centimètres cubes, alors 𝑙 au cube est égal à 64. En prenant la racine cubique des deux membres de cette équation, nous avons 𝑙 est égal à la racine cubique de 64. Nous savons que 64 est un cube parfait, puisqu’il est égal à quatre au cube. Et 𝑙 est donc égal à la racine cubique de quatre au cube. Ensuite, pour tout entier 𝑎, nous savons que la racine cubique de 𝑎 au cube est 𝑎. Et cela signifie que 𝑙 doit être égal à quatre. Nous pouvons donc conclure que la longueur d’une arête du cube dont le volume est de 64 centimètres cubes est de quatre centimètres.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo que nous appelons un entier 𝑛 un cube parfait s’il existe un entier 𝑎 tel que 𝑎 au cube est égal à 𝑛. Nous avons également vu que la racine cubique d’un nombre 𝑛, écrit comme indiqué, est le nombre 𝑎 tel que 𝑎 au cube est égal à 𝑛. Nous pouvons déterminer la racine cubique d’un cube parfait par la méthode essai-erreur à l’aide d’une calculatrice ou en utilisant la méthode de la décomposition en facteurs premiers.

La fonction racine cubique préserve le signe d’un nombre. Cela signifie que la racine cubique d’un nombre positif est positive et que la racine cubique d’un nombre négatif est négative. Nous avons vu la propriété clé que pour tout entier 𝑎, la racine cubique de 𝑎 au cube est égale à 𝑎. Enfin, nous avons vu au début et à la fin de cette vidéo que nous pouvons déterminer la longueur de l’arête d’un cube à partir de son volume en prenant la racine cubique du volume.