Vidéo question :: Déterminer l’ensemble image de fonctions définies par morceaux à partir de leurs courbes représentatives Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez l’ensemble image de la fonction représentée par la courbe donnée.

Dans cette question, on nous donne la courbe représentative d’une fonction et nous devons utiliser cette courbe pour déterminer l’ensemble image de la fonction. Nous pouvons commencer par rappeler ce que nous entendons par ensemble image d’une fonction. C’est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie de cette fonction, étant donné le domaine de définition de la fonction, qui lui est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée de notre fonction. Puisque nous avons la courbe représentative de cette fonction, commençons par rappeler comment nous trouvons les valeurs de sortie d’une fonction étant donnée sa courbe représentative.

Pour ce faire, nous nous souvenons que tout point de notre courbe a une abscisse 𝑥 et une ordonnée 𝑦. L’abscisse 𝑥 est la valeur d’entrée de la fonction et l’ordonnée 𝑦 correspondante est la valeur de sortie de la fonction. Par exemple, si nous appelons notre fonction 𝑓 et que nous savons que notre fonction passe par le point de coordonnées cinq, zéro, nous savons que 𝑓 de cinq doit être égale à zéro. En particulier, cela signifie que zéro est une sortie de notre fonction, donc zéro est un élément de l’ensemble image. Nous pouvons le voir sur le graphique car il y a un point sur la courbe d’ordonnée 𝑦 égale à zéro.

Nous pouvons continuer de cette manière. Nous pouvons voir qu’il y a un point d’ordonnée 𝑦 égale à un sur la courbe et cela continue jusqu’à notre ordonnée 𝑦 égale à sept. Lorsque l’ordonnée 𝑦 de notre courbe est sept, nous pouvons voir que notre graphique indique que nous avons une flèche horizontale pointant vers la droite. Cela signifie que la courbe représentant la fonction continue indéfiniment sur une ligne horizontale. La fonction est définie pour toutes ces valeurs de 𝑥. Cependant, sa sortie est une valeur constante qui vaut sept.

Mais nous n’avons pas encore terminé. Nous devons toujours vérifier l’ensemble des valeurs de sortie inférieures à zéro. Nous pouvons voir qu’il y a un point solide à la fin de notre courbe qui a pour coordonnées quatre, moins un. Et comme il s’agit d’un point solide, cela signifie que notre fonction est définie en ce point. En d’autres termes, quatre appartient au domaine de définition de notre fonction et 𝑓 de quatre est égale à moins un. Moins un est dans l’ensemble image de notre fonction. Notre courbe contient toutes les valeurs situées entre ces deux points et nous pouvons également voir qu’il n’y a pas de point d’ordonnée 𝑦 inférieure à moins un sur notre courbe. Par conséquent, l’ensemble image de notre fonction va de moins un jusqu’à sept et il inclut ces deux valeurs. C’est l’intervalle fermé moins un, sept.

Par conséquent, nous avons pu montrer que l’ensemble image de la fonction représentée par la courbe donnée est l’intervalle fermé moins un, sept.