Transcription de la vidéo
La pente de la tangente d'une courbe est moins 4 𝑥 plus 4 le tout divisé par 3 𝑦 plus 3 et la courbe passe par le point moins 2, moins 3. Déterminez l'équation de la normale à la courbe au point où l’abscisse 𝑥 est moins deux.
Dans cette question, on nous donne la pente de la tangente de la courbe en fonction de 𝑥 et 𝑦. Rappelez-vous, cela nous indique la pente de la courbe. Et on nous dit aussi que la courbe passe par le point moins deux, moins trois. On doit déterminer l'équation de la normale à cette courbe au point où l’abscisse 𝑥 est moins deux. Il apparaît qu'il existe un moyen très simple de répondre à cette question.
On a un point sur la courbe dont l’abscisse 𝑥 est moins deux. On veut trouver l'équation de la normale à la courbe lorsque 𝑥 égale moins deux. Et on peut déterminer la pente de la tangente à ce point en utilisant l'expression donnée. Ensuite, la pente de la normale sera l’opposée de l'inverse de cette valeur, ce qui est correct. On peut utiliser ceci pour trouver l'équation de la normale à cette courbe au point moins deux, moins trois.
Mais cette méthode repose sur une hypothèse. En effet, on suppose que le seul point de notre courbe dont l’abscisse 𝑥 est moins deux est le point moins deux, moins trois. Autrement dit, on suppose que nous représentons une fonction. On peut cependant montrer que ce n'est pas le cas. Commençons par l'équation donnée pour la pente de cette courbe. d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins quatre 𝑥 plus quatre divisé par trois 𝑦 plus trois. On souhaite utiliser ceci pour trouver une équation pour 𝑦. Et puisque la pente de cette courbe est donnée, c'est-à-dire le taux de variation de 𝑦 par rapport à 𝑥, il nous faut trouver une primitive. Pour cela, on va utiliser des intégrales indéfinies.
Réarrangeons donc cette équation. On commence par multiplier par trois 𝑦 plus trois. En procédant ainsi, puis en développant, on obtient trois 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 plus trois d𝑦 sur d𝑥, est égal à moins quatre 𝑥 plus quatre. On va maintenant intégrer les deux membres de cette équation par rapport à 𝑥. Et rappelez-vous, on peut intégrer chaque terme séparément. On obtient ainsi l'intégrale de trois 𝑦 d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥 plus l'intégrale de trois d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à l'intégrale de moins quatre 𝑥 plus quatre par rapport à 𝑥.
Il nous faut maintenant évaluer chacune de ces intégrales séparément. Pour notre première intégrale, on retrouve l'expression 𝑦 multipliée par d𝑦 sur d𝑥. Nous savons que calculer l'intégrale indéfinie d'une expression c’est trouver une primitive de cette expression. Et on peut aussi rappeler l'application suivante de la règle de dérivation en chaîne. La dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 sera égale à deux fois 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Autrement dit, on peut utiliser cela pour trouver une primitive de notre expression.
Et la seule différence entre ces deux expressions est le coefficient constant au début de l'expression. On peut donc simplement multiplier les deux membres de notre équation par trois sur deux. Ce que nous avons montré, c'est que si nous dérivons trois sur deux 𝑦 au carré par rapport à 𝑥, on obtient trois 𝑦 d𝑦 sur d𝑥. Autrement dit, il s'agit d'une primitive de cette expression. Gardez à l'esprit que nous obtenons une constante d'intégration quand on évalue cette intégrale. Mais nous pouvons regrouper toutes les constantes d'intégration à la fin de notre expression.
Passons maintenant à l'évaluation de notre deuxième intégrale. Puisque l'intégrale indéfinie d'une expression nous donne la primitive la plus générale de cette expression, on voit que c'est trois 𝑦, car la dérivée de trois 𝑦 par rapport à 𝑥 est trois fois d𝑦 sur d𝑥. On peut maintenant passer à notre troisième intégrale indéfinie. Puisqu'il s'agit de l'intégrale d'une expression polynomiale en 𝑥, on peut utiliser la règle d’une puissance pour l’intégration. Rappelons que celle-ci nous indique que pour toute constante réelle 𝑎 et 𝑛, où 𝑛 est différent de moins un, l'intégrale de 𝑎𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 égale à 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus la constante d'intégration 𝐶. Nous ajoutons un à l'exposant et divisons par ce nouvel exposant.
On peut appliquer cela pour intégrer le premier terme. On écrit 𝑥 comme 𝑥 puissance un, on ajoute un à l'exposant pour obtenir un nouvel exposant égal deux, et on divise par ce nouvel exposant. On obtient alors moins quatre 𝑥 au carré sur deux. On pourrait faire la même chose pour calculer l'intégrale de notre deuxième terme, car quatre est quatre fois 𝑥 puissance zéro. Mais il est plus facile de se souvenir que la pente d'une fonction linéaire est donnée par le coefficient constant de la variable. Plus particulièrement, la dérivée de quatre 𝑥 sera quatre. Donc quatre 𝑥 est une primitive de quatre. Finalement, rappelez-vous que nous devons ajouter une constante d'intégration 𝐶. Pour simplifier, on a maintenant montré que trois sur deux 𝑦 au carré plus trois 𝑦 égale moins deux 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus 𝐶.
En fait, il est possible de simplifier légèrement cette équation. Puisque tous nos coefficients sont des entiers, sauf le premier, qui est rationnel, on peut simplement multiplier les deux membres de cette équation par deux. On obtient trois 𝑦 au carré plus six 𝑦 est égal à moins quatre 𝑥 au carré plus huit 𝑥 plus deux 𝐶. Or, rappelez-vous que 𝐶 est une constante d'intégration, donc deux 𝐶 est aussi une constante. Donc on peut renommer ça. Pour plus de simplicité, nous l'appellerons 𝐶. Faisons de la place maintenant que nous avons trouvé une équation pour notre courbe. Rappelez-vous, on a trouvé cette équation pour essayer de déterminer tous les points de la courbe dont l’abscisse 𝑥 est moins deux. Autrement dit, il nous faut substituer 𝑥 égale à moins deux dans cette équation et déterminer 𝑦.
Mais il y a un problème. La valeur de 𝐶 reste inconnue. Nous pouvons cependant déterminer cette valeur de 𝐶 car on nous dit dans la question que le point moins deux, moins trois se trouve sur la courbe. Par conséquent, on peut substituer 𝑦 égale moins trois et 𝑥 égale moins deux dans cette équation pour trouver la valeur de 𝐶. On obtient ainsi trois fois moins trois au carré plus six fois moins trois égale moins quatre fois moins deux au carré plus huit fois moins deux plus 𝐶.
En calculant chaque terme, on obtient 27 moins 18 égal à moins16 moins 16 plus 𝐶. Et si on évalue 𝐶, on voit que 𝐶 sera égal à 41. On peut ensuite substituer cette valeur de 𝐶 dans l'équation de notre courbe. Nous obtenons alors une équation pour notre courbe uniquement en fonction des variables 𝑥 et 𝑦.
On peut maintenant déterminer chaque point de cette courbe dont l’abscisse 𝑥 est égale à moins deux en substituant 𝑥 égale moins deux dans la courbe et en déterminant 𝑦. Si on substitue 𝑥 égal à moins deux dans l'équation de la courbe, on obtient trois 𝑦 au carré plus six 𝑦 égale moins quatre fois moins deux au carré plus huit fois moins deux plus 41. Après avoir calculé et simplifié, on obtient trois 𝑦 au carré plus six 𝑦 égale neuf, ce qui est une équation du second degré en 𝑦. On peut simplifier légèrement cette équation en remarquant que les trois termes ont un facteur commun de trois. En réarrangeant cela, on obtient l'équation 𝑦 au carré plus deux 𝑦 moins trois égale zéro. On peut résoudre cette équation par factorisation.
Comme trois fois moins un est moins trois et que trois plus moins un est égal à deux, on peut factoriser cela et obtenir 𝑦 plus trois fois 𝑦 moins un égale zéro. Or, pour que le produit de deux facteurs soit égal à zéro, l'un des deux facteurs doit être nul. On a donc deux ordonnées 𝑦 possibles des points de notre courbe dont l’abscisse 𝑥 est moins deux. Soit 𝑦 est moins trois, soit 𝑦 est un. Nous devons donc trouver les équations des normales à notre courbe en ces deux points.
Commençons par le point qui nous est donné dans la question, le point moins deux, moins trois. Tout d'abord, substituons les coordonnées de ce point dans notre expression pour trouver la pente de la droite tangente à ce point. On obtient alors la pente de la tangente à ce point, égale à moins quatre fois moins deux plus quatre le tout divisé par trois fois moins trois plus trois.
On peut donc évaluer cette expression. Nous verrons qu'elle est égale à moins deux. Mais rappelez-vous, c'est la pente de la tangente à ce point. On doit trouver la pente de la normale. Pour cela, il suffit de se rappeler que la pente de la normale sera l’opposée de l’inverse de la pente de la tangente en ce point. Autrement dit, il s'agit du produit de moins un et de moins deux puissance moins un, ce qui correspond à un demi.
Donc, nous avons trouvé la pente de cette normale. Et on sait également que cette normale passe par le point moins deux, moins trois. Cela signifie que nous pouvons déterminer l'équation de cette normale. On va utiliser la forme impliquant la pente et un point particulier de l'équation d'une droite. C'est la forme 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un, où la droite passe par le point de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et sa pente est 𝑚.
Si on substitue les coordonnées du point et la pente d’un demi, on obtient 𝑦 moins moins trois est égale à un demi fois 𝑥 moins moins deux. Et on peut alors simplifier et réarranger cette équation en l’équation générale d'une droite. On obtient deux 𝑦 moins 𝑥 plus quatre égale zéro. Cela ne nous donne que l'équation de notre première droite normale. Il nous faut aussi déterminer l'équation de la normale au point moins deux, un.
Faisons un peu de place et suivons le même processus pour déterminer l'équation de la normale en ce point. Commençons par substituer 𝑥 est moins deux et 𝑦 est un dans notre expression de la pente de la tangente. En procédant ainsi, on obtient moins quatre fois moins deux plus quatre le tout divisé par trois fois un plus trois, que nous pouvons évaluer. On voit que c'est deux. La pente de la normale en ce point sera alors l’opposée de l'inverse de cette valeur. Et l’opposée de l'inverse de deux est moins un demi. Pour finir, on peut substituer cette valeur pour la pente et les coordonnées de ce point dans l'équation de notre droite pour trouver l'équation de la normale en ce point.
On obtient 𝑦 moins un égale moins un demi fois 𝑥 moins moins deux. Et si on simplifie cette équation en sa forme générale, on obtient deux 𝑦 plus 𝑥 égale zéro. On obtient alors les équations des deux normales pour les deux points de notre courbe dont l’abscisse 𝑥 est égale à moins deux. Les équations de ces droites sont deux 𝑦 plus 𝑥 égale zéro et deux 𝑦 moins 𝑥 plus quatre égale zéro.