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Vidéo de la leçon : Vitesse instantanée Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la vitesse instantanée d’un objet à l’aide d’une tangente pour déterminer le gradient en un point sur la courbe représentant le déplacement de l’objet en fonction du temps.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons parler de vitesse instantanée. La vitesse instantanée fait référence à la vitesse à laquelle un objet se déplace à un instant donné. C’est en fait un concept très utile lorsque nous décrivons le mouvement d’un objet dont la vitesse change au fil du temps. Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur la façon dont nous pouvons calculer la vitesse instantanée d’un objet en regardant une courbe de son déplacement en fonction du temps. Comme nous le verrons, la méthode que nous utilisons pour calculer la vitesse instantanée d’un objet dépend du fait qu’il se déplace à une vitesse constante ou que sa vitesse change.

Habituellement, lorsque nous calculons la vitesse d’un objet, nous pensons à cette équation. La vitesse d’un objet est donnée par la distance parcourue par l’objet divisée par la durée mise par l’objet pour parcourir cette distance. Mais en fait, cette équation nous indique uniquement la vitesse moyenne à laquelle un objet se déplaçait sur tout l’intervalle de temps que nous examinons. Si nous regardions un objet qui accélérait ou ralentissait, alors nous pourrions voir que sa vitesse instantanée, c’est-à-dire sa vitesse à un instant donné, est différente de sa vitesse moyenne. Pour illustrer la différence entre la vitesse moyenne et la vitesse instantanée, imaginons une voiture conduisant sur une route droite du point A au point B. Et disons que, en cours de route, la voiture s’arrête à un feu avant de passer au point B.

Disons également que la distance totale de A à B est de 800 mètres et que la durée totale prise pour le trajet de la voiture était de 80 secondes. Voyons ce qui se passe lorsque nous insérons ces valeurs dans notre formule de vitesse. La formule nous dit que notre vitesse est donnée en divisant la distance, soit 800 mètres, par la durée de trajet, qui est de 80 secondes, ce qui nous donne une réponse de 10 mètres par seconde. Cependant, lorsque nous avons calculé cette valeur de vitesse, nous avons inclus toute la durée pendant laquelle la voiture était à l’arrêt au feu de circulation. Si nous regardions la vitesse de la voiture à différents instants de son trajet, nous constaterions probablement que, la plupart du temps, sa vitesse était différente de 10 mètres par seconde.

Par exemple, nous savons que lorsque la voiture était à l’arrêt, sa vitesse était de zéro mètre par seconde. Et ailleurs durant le voyage, la voiture a dû rouler à plus de 10 mètres par seconde pour que sa vitesse moyenne atteigne 10 mètres par seconde. Il est donc très important de noter que cette équation nous indique vraiment la vitesse moyenne à laquelle un objet s’est déplacé en fonction des distances totales parcourues et de la durée totale du voyage. Si nous voulons connaître la vitesse à laquelle la voiture roulait à différents instants de son parcours, c’est sa vitesse instantanée en différents points. Ensuite, nous avons besoin de plus d’informations sur ce que la voiture faisait exactement entre le point A et le point B.

Dans cette leçon, nous nous concentrons sur la façon dont nous pouvons calculer la vitesse instantanée à partir d’un graphique distance-temps. Pour notre voiture, le graphique distance-temps pourrait ressembler à ceci. Ce graphique nous montre que, à un instant de zéro seconde, la voiture démarre avec une distance de zéro mètre. Et cela augmente au cours des 20 premières secondes jusqu’à une distance de 400 mètres. Cette partie du graphique montre donc le trajet de la voiture du point A au feu de circulation. La partie suivante du graphique de 20 secondes à 60 secondes montre que la distance de la voiture reste constante à 400 mètres. Cette partie du graphique correspond donc à l’arrêt de la voiture au feu. Et puis, la dernière partie du graphique de 60 secondes à 80 secondes montre la distance de la voiture passant de 400 à 800 mètres, ce qui représente la partie du trajet de la voiture après le feu de signalisation jusqu’au point B.

Alors, comment calculer la vitesse instantanée de la voiture à différents instants ? La réponse est que nous regardons la pente du graphique. Plus précisément, la vitesse instantanée d’un objet à tout moment est donnée par l’intensité de la pente de la courbe de distance-temps à cet instant. En d’autres termes, la vitesse instantanée de notre voiture est donnée par la raideur de la courbe en différents points. Et nous pouvons calculer la valeur de sa vitesse à tout moment en calculant la pente du graphique à ce moment-là. Remarquez que nous parlons de l’amplitude de la pente de la courbe. Cela signifie que peu importe que la pente soit positive ou négative, nous prenons simplement sa valeur avec un signe positif car cela indique sa magnitude. Et c’est parce que la vitesse ne peut être que positive ou nulle par définition. Elle ne peut pas prendre de valeurs négatives.

Ainsi, ce graphique distance-temps, par exemple, nous montre un objet se déplaçant à une vitesse relativement faible car la pente de cette droite est relativement faible. Ce graphique distance-temps, en revanche, nous montre un objet se déplaçant à une vitesse relativement élevée, nous le savons parce que la pente de cette droite est relativement élevée. Cette dernière courbe de déplacement-temps montre également un objet se déplaçant à grande vitesse. La pente de la courbe est négative et relativement grande. Mais comme la vitesse n’est donnée que par l’amplitude de la pente de la courbe de déplacement-temps, peu importe qu’elle soit négative. Nous prenons simplement la valeur positive. Une valeur positive de cette pente est approximativement la même que la pente de ce graphique. Donc, en fait, ces deux graphiques nous montrent deux objets avec à peu près la même vitesse.

Si nous revenons sur le graphique de notre voiture, nous pouvons voir qu’elle est composée de trois droites. Parce qu’une droite a une pente constante, cela nous indique que la voiture se déplace à une vitesse constante entre zéro et 20 secondes, et à une vitesse constante différente entre 20 et 60 secondes, et à une autre vitesse constante entre 60 et 80 secondes. En fait, il s’agit d’une simplification, et nous nous attendons à ce que le graphique distance-temps d’une vraie voiture soit courbé. Mais nous utiliserons cet exemple pour montrer comment calculer la vitesse instantanée à partir d’un graphique distance-temps composé de droites.

Alors disons que nous voulons calculer la vitesse instantanée de notre voiture à l’instant 70 secondes, qui est ici. Pour ce faire, nous devons calculer la pente de notre graphique en ce point. Nous pouvons voir que la pente de la courbe autour de ce point entre 60 secondes et 80 secondes est constante. En d’autres termes, le graphique est une droite. Cela signifie que l’intensité de la pente au point qui nous intéresse est la même que l’intensité de la pente de la droite entre 60 et 80 secondes. Ainsi, la vitesse instantanée à 70 secondes est donnée par l’amplitude de la pente de ce segment de droite.

Rappelons que la pente d’une droite est donnée par la différence verticale entre deux points de cette droite divisée par la différence horizontale entre les deux mêmes points. Utilisons donc les extrémités de ce segment de droite comme les deux points que nous utiliserons pour calculer la pente. Ce point est à 60 secondes sur l’axe des temps et à 400 mètres sur l’axe de la distance. Les coordonnées de ce point sont donc 60, 400. Ce deuxième point est à 80 secondes sur l’axe des temps et à 800 mètres sur l’axe de la distance. Ses coordonnées sont donc 80, 800. Nous pouvons maintenant utiliser ces coordonnées pour calculer la pente de cette portion de droite. La différence verticale entre les deux points que nous avons choisis est donnée par la différence entre leurs coordonnées 𝑦 qui indiquent leur position verticale sur le graphique. Donc, la différence verticale dans ce cas est de 800 moins 400.

De même, la différence horizontale entre ces deux points est donnée par 80 moins 60. 800 moins 400 est 400, et 80 moins 60 est 20. Et 400 divisé par 20 est 20. La pente de la droite à 70 secondes est donc de 20. Maintenant, nous savons que la vitesse instantanée est donnée par l’amplitude de la pente du graphique distance-temps. Puisque la pente que nous avons calculée est positive, nous avons déjà son amplitude, 20. Et les unités de la vitesse instantanée que nous avons calculées sont données que par les unités utilisées pour nos axes. Donc, dans ce cas, la différence verticale que nous avons calculée est mesurée en mètres, et la différence horizontale que nous avons calculée est mesurée en secondes. Cela signifie que la vitesse instantanée de la voiture à ce stade était de 20 mètres par seconde.

Si nous voulons déterminer la vitesse instantanée de la voiture à tout autre instant, il suffit de calculer la pente du graphique à cet instant. Par exemple, à un instant de 10 secondes, nous pouvons voir que la pente de la courbe est simplement donnée par la pente de ce segment de droite. Et dans ce cas particulier, c’est en fait la même que la pente de ce segment de droite. Bien que, bien sûr, ce ne soit pas toujours vrai. Ainsi, la vitesse instantanée à 10 secondes est également de 20 mètres par seconde. Si nous recherchons la vitesse instantanée à, disons, 50 secondes, nous pouvons voir que la pente de la courbe en ce point est donnée par la pente de ce segment de droite. Parce que ce segment de droite est horizontal, nous pouvons dire que sa pente est nulle, ce qui signifie que la vitesse instantanée en ce point est de zéro mètre par seconde. Et cela est vrai pour tout point de ce segment de droite.

On voit donc qu’entre 20 secondes et 60 secondes, la vitesse instantanée de la voiture est nulle. Mais pour le temps indiqué sur le graphique avant 20 secondes ou après 60 secondes, la vitesse instantanée de la voiture est de 20 mètres par seconde. Maintenant que nous avons vu comment nous pouvons calculer la vitesse instantanée d’un objet à partir d’un graphique distance-temps composé de segments de droites, voyons comment nous pouvons calculer la vitesse instantanée d’un objet avec un graphique distance-temps présentant des courbures.

Comme nous l’avons mentionné précédemment, le graphique en ligne droite que nous venons de voir était en fait une simplification de la façon dont la distance d’une voiture pourrait évoluer au fil du temps. Le graphique distance-temps d’une vraie voiture effectuant le trajet décrit ressemblerait probablement à ceci. Au lieu d’être fait de droites qui ont des pentes constantes et représentent donc des vitesses constantes, ce graphique distance-temps est courbe. Si nous regardons cette section du graphique, nous pouvons voir comment cela passe de relativement raide à un peu moins raide jusqu’à ce que ce soit horizontal. Ce changement de pente progressif représente le fait que la vitesse instantanée de la voiture, lorsqu’elle ralentit, diminue progressivement vers zéro.

De même, si nous regardons cette partie du graphique, nous pouvons voir que la pente augmente progressivement et en continu de zéro à une valeur positive à une valeur positive plus élevée, ce qui représente le fait que la voiture accélère progressivement à partir d’un arrêt. Mais comment calculer la vitesse instantanée en ces points ? Nous pouvons le faire en dessinant des tangentes au graphique. Une tangente est une droite qui touche une courbe de telle sorte que la courbe et la tangente ont la même pente au point où elles se touchent. Par exemple, nous pourrions dessiner une tangente à la courbe en ce point. Ici, la courbe est en pente comme ceci, donc la tangente à la courbe en ce point ressemble à ceci. Dessiner une tangente nous donne un moyen de calculer la pente d’une courbe en un point donné.

Cette tangente touche notre graphique à un temps d’environ 18 secondes. Donc, en calculant la pente de cette tangente, nous trouverons la pente de la courbe à 18 secondes. Et donc, nous trouverons la vitesse instantanée de la voiture à 18 secondes. Puisque la tangente est une droite, nous pouvons trouver sa pente en choisissant deux points sur la droite et en divisant la différence verticale entre ces points par la différence horizontale. Puisque nous venons de dessiner la tangente à vue d’œil, cela signifie que notre réponse sera vraiment une estimation de la pente. Mais nous pouvons minimiser l’erreur dans notre gradient mesuré et rendre notre réponse aussi précise que possible en choisissant nos deux points de sorte qu’ils soient près des extrémités de la droite.

En regardant ce point pour commencer, nous pouvons voir que c’est à un instant d’environ huit secondes et à une distance de zéro mètre. Donc, les coordonnées de ce point sont huit, zéro. Maintenant, en regardant ce point, nous pouvons voir qu’il s’agit d’un instant d’environ 37 secondes et d’une distance de 800 mètres. Les coordonnées de ce point sont donc 37, 800. Une fois de plus, la pente est donnée par la différence verticale divisée par la différence horizontale entre ces points. La différence verticale entre les points est donnée par la différence entre leurs coordonnées verticales, c’est-à-dire 800 moins zéro. Et la différence horizontale est de 37 moins huit. 800 moins zéro est bien sûr 800. Et 37 moins huit est 29. 800 divisés par 29 est 27,586. Donc, au dixième près, c’est 27,6.

Donc, si la tangente à notre graphique à l’instant 18 secondes a une pente de 27,6, cela signifie que le graphique lui-même a une pente de 27,6 à 18 secondes. La vitesse instantanée pour le moment est donnée par la norme de 27,6, qui est juste 27,6 car c’est déjà positif. Et encore une fois, les unités de notre vitesse instantanée sont données par les unités utilisées sur l’axe vertical divisées par les unités utilisées sur l’axe horizontal. Donc, ça fait des mètres par seconde. Ainsi, la vitesse instantanée de la voiture à l’heure 18 secondes est de 27,6 mètres par seconde.

Si nous voulions trouver la vitesse instantanée de la voiture à un autre moment, par exemple, à 65 secondes. Nous dessinerions une fois de plus une tangente à la courbe à cet instant-là, calculerions la pente de cette tangente en utilisant deux points près des extrémités, puis garderions la norme de cette pente. Ce qui signifie que si nous calculons une pente négative, nous prenons simplement la version positive de ce nombre.

Alors résumons simplement ce que nous avons appris sur le calcul de la vitesse instantanée. La vitesse instantanée est la vitesse d’un objet à un instant donné. Elle est donnée par la pente d’une courbe de distance-temps à cet instant donné. Et pour un graphique distance-temps courbe, nous pouvons dessiner une tangente au graphique pour nous aider à calculer la pente en un certain point.

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