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Vidéo de question : Trouver la hauteur d’un cône dans un contexte réel Mathématiques

Un morceau de papier en forme de secteur circulaire ayant un rayon de 72 cm et un angle de 275° est plié de façon que les points 𝐴 et 𝐵 se réunissent pour former un cône circulaire de la plus grande aire possible. Détermine la hauteur du cône au centième près.

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Transcription de vidéo

Un morceau de papier en forme de secteur circulaire ayant un rayon de 72 cm et un angle de 275° est pliée de telle sorte que les points 𝐴 et 𝐵 se rejoignent pour former le cône circulaire avec la plus grande aire possible. Déterminez la hauteur du cône au centième près.

Nous avons donc ici un secteur circulaire que l'on plie pour faire en sorte que 𝐴 et 𝐵 se rejoignent pour former un cône. On nous a dit que le cône a la plus grande aire possible. Cela signifie que 𝐴 et 𝐵 ne se chevauchent pas. Nous aurions simplement une droite où 𝐴 et 𝐵 se rencontrent. La question est de déterminer la hauteur du cône. Celle-ci peut être appelée par n'importe quelle lettre, mais définissons-la comme 𝑥. Il faut utiliser les informations sur ce secteur circulaire pour nous aider à trouver cette hauteur.

Le rayon du secteur circulaire est de 72 centimètres. Il est essentiel de noter que ce rayon sera différent de celui de la section circulaire du cône car nous avons en fait créé un cercle plus petit à la base du cône. Lorsque, en fait, nous avons plié ce secteur circulaire, le rayon du secteur circulaire devient la hauteur oblique du cône. On peut également remarquer que nous avons créé un triangle à l'intérieur de ce cône. Et pas n'importe quel triangle, ce sera un triangle rectangle.

Dans un tel triangle, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore, qui nous dit que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Afin de déterminer la hauteur de ce cône 𝑥, il faut qu’on calcule l'autre longueur manquante qui sera évidemment le rayon de ce cercle, et bien entendu, n'oubliez pas qu'il ne s'agit pas de 72 centimètres. Il s'agit simplement du rayon du secteur circulaire d'origine.

On peut calculer le rayon en trouvant la circonférence de ce cercle. Mais comment faire ? Revenons à notre secteur d'origine. Quand nous avons réuni 𝐴 et 𝐵, nous avons obtenu la circonférence de notre nouveau cercle. On peut trouver la circonférence d'un cercle en calculant deux fois 𝜋 fois le rayon. Mais bien évidemment, notre section 𝐴𝐵 ne représentait pas la circonférence du cercle entier, mais plutôt une fraction de celui-ci. Cette fraction serait l'angle de 275 degrés sur 360 degrés, car il y a 360 degrés dans un cercle.

On peut donc multiplier cette valeur par deux fois 𝜋 fois le rayon. Comme le rayon est de 72 centimètres, on multiplie notre fraction par deux fois 𝜋 fois 72. Pour donner notre réponse finale au centième près, on peut supposer qu'on a le droit d'utiliser une calculatrice, mais il faut toujours chercher à simplifier un calcul si on le peut. La division de notre numérateur et de notre dénominateur par cinq nous donne 55 sur 72 fois deux fois 𝜋 fois 72. Et on remarque qu'on peut simplifier par 72, ce qui nous donne 55 fois deux 𝜋, soit 110𝜋 en centimètres.

Nous avons donc trouvé cette longueur en orange, qui est 𝐴𝐵, et qui correspond également à la circonférence du cercle de la base du cône. On peut maintenant l'utiliser pour trouver le rayon du cercle de la base du cône. Comme on sait que la circonférence est égale à deux 𝜋𝑟, alors on peut dire que deux 𝜋𝑟 égale à 110𝜋. En simplifiant par 𝜋, on obtient deux 𝑟 égale à 110. Donc, 𝑟 est égal à un demi de 110, soit 55 centimètres.

Ainsi, si nous regardons maintenant le triangle rectangle que nous avons formé dans le cône, nous disposons de deux valeurs que nous connaissons et d'une valeur manquante, la hauteur du cône. On peut enfin appliquer le théorème de Pythagore, en rappelant que 72 centimètres est notre hypoténuse 𝑐. En remplaçant par nos valeurs, on obtient 72 au carré égale à 𝑥 au carré plus 55 au carré. En calculant les carrés, on obtient 5184 égale 𝑥 au carré plus 3025. En soustrayant 3025 des deux côtés de l'équation, on obtient 2159 égale à 𝑥 au carré. En prenant la racine carrée des deux côtés et en utilisant la calculatrice pour trouver le nombre décimal, nous obtenons 𝑥 égale à 46.46504 ainsi de suite.

En arrondissant au centième près, on vérifie le troisième chiffre décimal pour savoir s'il est égal ou supérieur à cinq. Et comme c'est le cas, alors notre réponse s'arrondit à 46.47. Comme il s'agit d'une hauteur, on utilise les unités de longueur en centimètres. Donc, notre réponse finale est que la hauteur du cône est de 46.47 centimètres.

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