Vidéo de la leçon: Pente d’une droite à partir d’une courbe ou d’un tableau Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver la pente d’une droite à l’aide de graphiques et de tableaux. Nous commencerons par rappeler quelques propriétés clés des fonctions affines. La courbe de toute fonction affine est une droite. Et l’équation de toute fonction affine est écrite sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Les lettres 𝑚 et 𝑏 sont des constantes, où 𝑚 représente la pente ou le gradient de la droite. Le 𝑏 représente l’interception 𝑦, le point en lequel notre droite croise l’axe 𝑦. Ceci est parfois écrit comme 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑐 au lieu de 𝑏.

La valeur de 𝑚 sera positive si notre droite monte de gauche à droite. Le 𝑚 sera négatif si notre droite descend de gauche à droite. La valeur absolue de 𝑚 détermine l’amplitude de la pente et son signe donne la direction de la pente. Par exemple, l’équation 𝑦 est égale à trois 𝑥 plus quatre sera plus raide que l’équation 𝑦 est égale à deux 𝑥 moins sept. En effet, la valeur de 𝑚 est supérieure. Comme 𝑚 représente la pente, il en résulte que la valeur de 𝑚 est le taux de variation verticale de la coordonnée 𝑦 sur la variation horizontale de la coordonnée 𝑥 entre deux points quelconques.

Cela peut être écrit en utilisant la formule suivante. Le 𝑚 est égal à 𝑦 deux moins 𝑦 un divisé par 𝑥 deux moins 𝑥 un, où deux points sur la droite 𝐴 et 𝐵 ont les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. Ceci est souvent appelé la variation de 𝑦 par rapport à la variation de 𝑥 ou l’augmentation durant la course. Nous allons maintenant voir comment nous pouvons l’appliquer pour trouver la pente d’une fonction affine étant donné sa courbe.

Quelle est la pente de la fonction représentée par la figure donnée ?

Nous savons que toute droite affine doit représenter une fonction affine écrite sous la forme 𝑦 est égale à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où la valeur de 𝑚 est la pente ou le gradient de la fonction. La valeur de la pente 𝑚 peut être calculée à l’aide de la formule suivante. Le 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un, où 𝐴 et 𝐵 sont deux points sur la droite avec les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. Nous commençons par sélectionner deux points sur notre droite. Si possible, il est souvent utile de choisir des points où la droite traverse l’axe des 𝑥 et l’axe des 𝑦. Dans ce cas, 𝐴 a les coordonnées zéro, 10 et 𝐵 a les coordonnées cinq, zéro.

À ce stade, il est souvent utile de dessiner un triangle rectangle sur notre graphique. Cela nous aidera à calculer la variation de 𝑦 et la variation de 𝑥, autrement connu comme la montée et la course. La substitution de nos coordonnées 𝑦 dans la formule nous donne zéro moins 10. La substitution de nos coordonnées 𝑥 nous donne cinq moins zéro. Peu importe quel point est 𝑥 un, 𝑦 un et qui est 𝑥 deux, 𝑦 deux. Mais nous devons être cohérents dans notre ordre. Zéro moins 10 est égal à moins 10. Cinq moins zéro est égal à cinq. Moins 10 divisé par cinq est égal à moins deux. Cela signifie que la pente de la fonction représentée sur la courbe est moins deux.

Nous pouvons vérifier cela sur la courbe en considérant la montée et la course. La hausse est moins 10, la coordonnée 𝑦 passant de 10 à zéro. La course est de cinq, car la coordonnée 𝑥 passe de zéro à cinq. Encore une fois, nous avons un moins 10 divisé par cinq. Une vérification importante est que toute droite qui monte de gauche à droite aura une pente positive. Toute droite qui descend de gauche à droite aura une pente négative. Comme notre droite descend de gauche à droite, une réponse négative est sensée.

Nous allons maintenant examiner une deuxième question graphique.

Calculez la pente de la droite sur le graphique.

Nous savons que toute droite est représentée par une fonction affine qui peut s’écrire sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente ou le gradient de la droite. La valeur de 𝑚 peut être calculée à l’aide de la formule 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Ceci est la variation de coordonnées 𝑦 sur la variation de coordonnées 𝑥, autrement connu comme la montée pendant la course. Nous commençons par sélectionner deux points quelconques 𝐴 et 𝐵 sur la droite avec les coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. Bien que peu importe les deux points que nous choisissons, il est judicieux de choisir ceux avec des coordonnées entières lorsque cela est possible.

Dans cette question, nous choisirons les deux points indiqués sur la courbe. Le point 𝐴 a les coordonnées zéro, un et le point 𝐵 a les coordonnées deux, sept. À ce stade, il vaut la peine de dessiner un triangle rectangle sur la courbe pour montrer la hausse et la course. La hausse dans ce cas est égale à six, car la variation des coordonnées 𝑦 est de six. La course est égale à deux. Cela signifie que nous nous attendrions à ce que la pente soit de six divisée par deux, ce qui est trois.

Nous pouvons vérifier cela en remplaçant nos coordonnées dans la formule. Les deux coordonnées 𝑦 étaient sept et un. Et les coordonnées 𝑥 correspondantes étaient deux et zéro. Cela se simplifie en six sur deux, ce qui nous donne encore une fois une réponse de trois. La pente de la droite sur le graphique est trois. Il convient de rappeler que toute droite inclinée vers le haut de gauche à droite aura une pente positive. Comme trois est positif, cela suggère que notre réponse est correcte.

Nous allons maintenant examiner une question qui implique de trouver la pente d’une fonction affine à partir d’un tableau.

Quelle est la pente de la fonction affine représentée par le tableau donné ?

Nous savons que l’équation de toute fonction affine s’écrit sous la forme 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente ou le gradient de la fonction et 𝑏 est l’interception 𝑦. Nous pouvons calculer la valeur de la pente 𝑚 en utilisant la formule suivante, 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Ceci est la variation de coordonnées 𝑦 sur la variation de coordonnées 𝑥, où deux points quelconques 𝐴 et 𝐵 ont des coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, respectivement.

Dans notre tableau, nous avons trois coordonnées, premièrement, zéro, quatre. Notre deuxième coordonnée a une valeur 𝑥 de deux et une valeur 𝑦 de 10. Notre troisième coordonnée, que nous appellerons 𝐶, est quatre, 16. Nous pouvons sélectionner deux de ces trois coordonnées. Dans cette question, nous commencerons par considérer le point 𝐴 et le point 𝐵. Les coordonnées 𝑦 de ces deux points sont 10 et quatre. Les coordonnées 𝑥 correspondantes sont deux et zéro. La pente 𝑚 est égale à 10 moins quatre sur deux moins zéro. Cela se simplifie en six sur deux, nous donnant une réponse finale d’une pente de trois.

Nous pouvons vérifier cette réponse en sélectionnant deux points différents, dans ce cas le point 𝐴 et le point 𝐶. Cette fois, la pente est égale à 16 moins quatre sur quatre moins zéro. 12 divisé par quatre est également égal à trois. Nous obtiendrions la même réponse si nous utilisons les points 𝐵 et 𝐶. La pente de la fonction affine représentée par le tableau est de trois.

Nous pourrions également calculer cette réponse simplement en regardant le tableau. La variation des valeurs 𝑥 entre le premier et le deuxième point est de plus deux. La variation des valeurs 𝑦 entre les deux premiers points est plus six. Comme la pente est égale à la variation des valeurs 𝑦 divisée par la variation des valeurs 𝑥, cela nous donne également une réponse de trois. Chaque fois que la valeur 𝑥 augmente d’une unité, la valeur 𝑦 augmentera de trois unités.

Notre prochaine question comprendra une courbe dans un contexte réel.

La courbe montre la distance parcourue par Amelia au cours de ses deux heures de vélo. Lequel des énoncés suivants est vrai ? A) Elle a voyagé à une vitesse constante de quatre milles par heure pendant la dernière heure. B) Elle a voyagé à une vitesse constante de 16 km/h pendant toute la durée du trajet. C) Elle a voyagé à une vitesse constante de huit milles à l’heure pendant la dernière heure. Ou D) elle a voyagé à une vitesse constante de sept milles par heure pendant toute la durée du trajet.

Nous pouvons voir sur la courbe que l’axe des 𝑥 représente le temps en heures et l’axe des 𝑦 représente la distance en milles. La vitesse ou la vitesse dans n’importe quel graphique distance-temps peut être calculée en divisant la variation de distance entre deux points quelconques par la variation de temps. Si la courbe est une droite pour tout le trajet, ils se déplaceront à vitesse constante. Nous pouvons voir sur la courbe que trois parties du voyage ont des pentes ou des gradients différents. Cela signifie que, pendant ces trois parties, Amelia se déplacera à des vitesses différentes.

Nous pouvons donc exclure les options B et D, car celles-ci indiquaient qu’elle voyageait à vitesse constante pendant toute la durée du trajet. Ce n’est pas le cas car elle aura voyagé à trois vitesses différentes. Les deux autres déclarations se rapportent à la dernière heure du voyage d’Amelia. Cela se produit entre les deux points 𝐴 et 𝐵 sur la courbe. Nous pouvons calculer la pente entre deux points quelconques sur une courbe en utilisant la formule suivante, 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Ceci est la variation de coordonnées 𝑦 sur la variation de coordonnées 𝑥, dans ce cas, la variation de la distance sur la variation du temps.

Le point 𝐴 a des coordonnées un, 10 et le point 𝐵 a les coordonnées deux, 14. Les coordonnées 𝑦 ou les distances ici sont 14 et 10. Les coordonnées 𝑥 correspondantes sont deux et un. 14 moins 10 est égal à quatre et deux moins un est égal à un. Cela signifie que la pente de la droite entre les points 𝐴 et 𝐵 est de quatre. Nous aurions également pu résoudre ce problème en traçant un triangle rectangle sur la courbe. On voit ici que la distance est passée de 10 à 14. Et le temps est passé d’une heure à deux heures. Quatre divisé par un est égal à quatre. Donc, encore une fois, la pente est égale à quatre.

Comme la pente dans une courbe distance-temps est égale à la vitesse, nous pouvons conclure que la vitesse de la dernière heure était de quatre milles par heure. Cela exclut l’option C et donc l’option A est correcte. Amelia a voyagé à une vitesse constante de quatre milles par heure pendant la dernière heure.

Nous allons maintenant récapituler certains des points clés de cette vidéo. La courbe représentative de toute fonction affine est une droite. Une fonction affine a un taux de variation constant, ce qui signifie que la différence entre les coordonnées 𝑦 de deux points quelconques sur la droite est proportionnelle à la différence entre leurs coordonnées 𝑥. Ce taux de variation est la pente de la droite. L’équation d’une droite est généralement écrite sous la forme 𝑦 est égal à 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est la pente ou le gradient de la droite et 𝑏 est l’interception 𝑦. Il s’agit du point où la droite traverse l’axe 𝑦.

Enfin, la pente d’une droite 𝑚 est la vitesse de la variation verticale sur la variation horizontale entre deux points. Pour deux points 𝐴 𝑥 un, 𝑦 un et 𝐵 𝑥 deux, 𝑦 deux situés sur une droite, la pente est 𝑚, ce qui est égal à 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. Si ce nombre est positif, notre droite va s’incliner vers le haut de gauche à droite. Et s’il est négatif, elle descendra de gauche à droite.