Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de la leçon : Norme d’un vecteur en 3D Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la norme d’un vecteur position dans l’espace.

12:06

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la norme d’un vecteur position dans l’espace. Nous allons commencer par rappeler ce qu’on entend par vecteur 3D.

Un vecteur tridimensionnel a des composantes 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Si on considère le point 𝑃 avec les coordonnées deux, trois, cinq, on peut écrire le vecteur 𝐎𝐏 de nombreuses façons. Tout d’abord, nous pouvons considérer les composantes 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Le vecteur 𝐎𝐏 est égal à deux 𝐢 plus trois 𝐣 plus cinq 𝐤. On écrit souvent les vecteurs comme des coordonnées. Avec les chevrons, on a deux, trois, cinq. Une troisième façon d’écrire le même vecteur est une colonne entre parenthèses, avec la composante 𝐢 suivie de la composante 𝐣 puis de la composante 𝐤.

La norme d’un vecteur est la distance entre deux points dans un espace tridimensionnel. Si on considère un vecteur 𝐀 écrit sous la forme générale 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤, alors on peut calculer la norme du vecteur 𝐀 en utilisant une application du théorème de Pythagore. La norme du vecteur 𝐀 désigné par deux droites verticales est égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré. On évalue la somme des carrés des composantes 𝐢, 𝐣 et 𝐤, puis la racine carrée du résultat.

En plus de voir nos vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 écrits avec un chapeau, vous les avez peut-être aussi vus soulignés. Ces notations pour les vecteurs écrits à la main varient d’un endroit à l’autre. En général, lorsqu’on les saisit, que ce soit dans un manuel ou sur Internet, les vecteurs apparaissent en gras. Nous allons maintenant examiner quelques questions dans lesquelles on doit calculer la norme d’un vecteur.

Si le vecteur 𝐀 est égal à deux, moins cinq, deux, calculez la norme du vecteur 𝐀.

Les composantes 𝐢, 𝐣 et 𝐤 du vecteur 𝐀 sont respectivement deux, moins cinq et deux. Par conséquent, on peut écrire le vecteur 𝐀 comme deux 𝐢 moins cinq 𝐣 plus deux 𝐤. Nous rappelons qu’on calcule la norme d’un vecteur avec la formule ; la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré, où 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont respectivement les composantes 𝐢, 𝐣 et 𝐤. La norme du vecteur 𝐀 est donc égale à la racine carrée de deux au carré plus moins cinq au carré plus deux au carré.

Deux au carré est égal à quatre. Le carré d’un nombre négatif donne un résultat positif. Par conséquent, moins cinq au carré égale 25. La norme de 𝐀 est égale à la racine carrée de quatre plus 25 plus quatre. Ceci est égal à la racine carrée de 33. Bien que nous puissions évaluer ceci avec une calculatrice, en règle générale, nous allons laisser nos réponses comme des radicaux. La norme du vecteur 𝐀 est la racine carrée de 33.

Dans notre prochaine question, le vecteur sera écrit dans un format différent.

Si le vecteur 𝐀 est égal à deux 𝐢 plus trois 𝐣 moins 𝐤, déterminez la norme du vecteur 𝐀.

Pour tout vecteur écrit sous la forme 𝑥𝐢, plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤, la norme du vecteur est égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré. La composante 𝐢, de notre vecteur est égale à deux, la composante 𝐣 est égale à trois et la composante 𝐤 est égale à moins un. Cela signifie que la norme du vecteur 𝐀 est égale à la racine carrée de deux au carré plus trois au carré plus moins un au carré.

Deux au carré est égal à quatre. Trois au carré est égal à neuf. Le carré d’un nombre négatif donne une réponse positive. Par conséquent, moins un au carré égale un. Puisque quatre plus neuf plus un est égal à 14, la norme du vecteur 𝐀 est la racine carrée de 14.

Dans notre prochaine question, on a la norme et on doit calculer l’une des composantes du vecteur.

Si le vecteur 𝐀 est égal à 𝑎𝐢, plus 𝐣 moins 𝐤 et que la norme du vecteur 𝐀 est égale à la racine carrée de six, déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑎.

Avant de commencer cette question, il convient de noter que le problème consiste à déterminer toutes les valeurs possibles de 𝑎. Cela suggère qu’il y aura plus d’une bonne réponse. On nous donne deux informations. On nous dit que le vecteur 𝐀 est égal à 𝑎 𝐢, plus 𝐣 moins 𝐤 et que la norme du vecteur 𝐀 est la racine carrée de six. Nous savons que pour tout vecteur s’écrivant sous la forme 𝑥𝐢, plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤, sa norme est égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré. Dans cette question, la racine carrée de six est égale à la racine carrée de 𝑎 au carré plus un carré plus moins un au carré. En effet, les composantes 𝐢, 𝐣 et 𝐤 sont respectivement 𝑎, un et moins un.

Nous pouvons commencer à résoudre cette équation en mettant les deux côtés au carré. Puisque le carré est la réciproque de la racine carrée, la racine carrée de six au carré est égale à six. De la même manière, le côté droit devient 𝑎 au carré plus un au carré plus moins un au carré. Un au carré est égal à un de même pour moins un au carré. Par conséquent, cela devient six est égal à 𝑎 au carré moins deux. On peut ensuite soustraire deux des deux côtés de cette équation de sorte que 𝑎 au carré soit égal à quatre.

La dernière étape consiste à évaluer la racine carrée des deux côtés. La racine carrée de 𝑎 au carré égale 𝑎. La racine carrée de quatre est égale à deux. Mais nous devons considérer la valeur positive et négative de cette racine. Par conséquent, 𝑎 est égal à plus ou moins deux. Les valeurs possibles de 𝑎 telles que la norme du vecteur 𝐀 est égale à la racine carrée de six sont deux et moins deux. Car lorsqu’on les met au carré, on obtient un résultat de quatre.

Les prochaines questions porteront également sur l’addition et la soustraction des vecteurs.

Si le vecteur 𝐀 plus le vecteur 𝐁 est égal à moins deux, quatre, trois et que le vecteur 𝐀 est égal à trois, cinq, trois, déterminez la norme du vecteur 𝐁.

Nous rappelons que lorsqu’on additionne deux vecteurs, on additionne simplement les composantes 𝐢, 𝐣 et 𝐤 séparément. Le vecteur 𝐀 plus 𝐁 est égal au vecteur 𝐀 plus le vecteur 𝐁. Si on suppose que les composantes 𝐢, 𝐣, 𝐤 du vecteur 𝐁 sont respectivement 𝑥, 𝑦 et 𝑧, alors moins deux, quatre, trois est égal à trois, cinq, trois plus 𝑥, 𝑦, 𝑧. Nous pouvons ensuite soustraire le vecteur 𝐀 des deux côtés de cette équation. Le côté gauche devient moins deux, quatre, trois moins trois, cinq, trois.

Moins deux moins trois égale cinq. Par conséquent, la composante 𝐢 du vecteur 𝐁 est moins cinq. Quatre moins cinq est égal à moins un, donc la composante 𝐣 est moins un. Enfin, trois moins trois est égal à zéro. Le vecteur 𝐁 est donc égal à moins cinq, moins un, zéro.

On peut calculer la norme de ce vecteur en mettant chacune des composantes au carré, on calcule leur somme, puis on évalue la racine carrée. La norme du vecteur 𝐁 est égale à la racine carrée de moins cinq au carré plus moins un au carré plus zéro au carré. Moins cinq au carré égale 25, moins un au carré égale un et zéro au carré égale zéro. La norme du vecteur 𝐁 est donc égale à la racine carrée de 26.

Dans notre prochaine question, nous allons calculer la norme d’un vecteur qui relie les extrémités de deux autres vecteurs.

Si le vecteur 𝐀𝐁 est égal à moins cinq 𝐢 plus deux 𝐣, moins quatre 𝐤 et que le vecteur 𝐁𝐂 est égal à quatre 𝐢 plus quatre 𝐣 plus six 𝐤, déterminez la norme du vecteur 𝐀𝐂.

Dans ce type de question, il convient d’abord de dessiner un diagramme. Cela nous aidera à ne pas se tromper sur la direction et les signes. On nous donne trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Nous pouvons les joindre pour former un triangle. Dans la question, on nous donne la valeur du vecteur 𝐀𝐁 . On nous donne également la valeur du vecteur 𝐁𝐂. Notre objectif est de calculer la norme du vecteur 𝐀𝐂. Par conséquent, la première étape consiste à déterminer le vecteur 𝐀𝐂.

Nous pouvons voir que l’un des moyens d’aller du point 𝐴 au point 𝐶 est de passer par le point 𝐵. Par conséquent, le vecteur 𝐀𝐂 est égal au vecteur 𝐀𝐁 plus le vecteur 𝐁𝐂. Le vecteur 𝐀𝐂 est donc égal à moins cinq 𝐢 plus deux 𝐣 moins quatre 𝐤 plus quatre 𝐢, plus quatre 𝐣 plus six 𝐤.

On peut additionner deux vecteurs en additionnant chaque composante séparément. Moins cinq 𝐢, plus quatre 𝐢 est égal à moins 𝐢. Deux 𝐣 plus quatre 𝐣 est égal à six 𝐣. Enfin, moins quatre 𝐤 plus six 𝐤 est égal à deux 𝐤. Le vecteur 𝐀𝐂 est égal à moins 𝐢, plus six 𝐣 plus deux 𝐤.

On peut déterminer la norme de tout vecteur en mettant d’abord les composantes 𝐢, 𝐣 et 𝐤 au carré, puis on évalue leur somme, et ensuite la racine carrée du résultat. Cela signifie que la norme du vecteur 𝐀𝐂 est la racine carrée de moins un au carré plus six au carré plus deux au carré. Moins un au carré est égal à un, six au carré égale 36, et deux au carré égale quatre. La somme de un, 36 et quatre est 41. Par conséquent, la norme du vecteur 𝐀𝐂 est la racine carrée de 41.

Dans notre dernière question, nous allons calculer la norme de la différence entre deux vecteurs.

Si le vecteur 𝐀 est égal à quatre 𝐢 plus quatre 𝐣 moins cinq 𝐤 et que le vecteur 𝐁 est égal à trois 𝐢 moins 𝐤, déterminez la norme du vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁.

Notre première étape dans cette question consiste à évaluer le vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁. Ceci est important car une erreur courante serait de penser que la norme du vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁 est égale à la norme du vecteur 𝐀 la norme du vecteur 𝐁. Cela n’est cependant pas vrai.

Pour calculer le vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁, on soustrait simplement les différentes composantes séparément. Quatre 𝐢 moins trois 𝐢 est égal à un 𝐢, ou simplement 𝐢. Il n’y a pas de composante 𝐣 dans le vecteur 𝐁. Par conséquent, il nous reste quatre 𝐣. Moins cinq 𝐤 moins moins 𝐤 est égal à moins quatre 𝐤. En effet, moins cinq moins moins un est équivalent à moins cinq plus un, qui est égal à moins quatre.

Nous devons maintenant calculer la norme de ce vecteur. Nous savons que pour tout vecteur s’écrivant sous la forme 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 plus 𝑧 𝐤, sa norme est égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré. Cela signifie que la norme du vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁 est égale à la racine carrée de un au carré plus quatre au carré plus moins quatre au carré.

Quatre au carré et moins quatre au carré font 16, il nous reste donc la racine carrée de un plus 16 plus 16. Ceci est égal à la racine carrée de 33. La norme du vecteur 𝐀 moins le vecteur 𝐁 est la racine carrée de 33.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Pour tout vecteur écrit sous la forme 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤, sa norme est la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré. On met les composantes individuelles de 𝐢, 𝐣 et 𝐤 au carré, on calcule leur somme, puis on évalue la racine carrée du résultat. La valeur de la norme sera toujours positive.

Lorsqu’on additionne ou on soustrait deux vecteurs, on additionne ou on soustrait chaque composante, séparément. Nous avons également vu que la norme de la somme de deux vecteurs n’est pas égale à la somme de leurs normes. De même pour la norme de la différence. La norme du vecteur 𝐀 plus le vecteur 𝐁 n’est pas égale à la norme du vecteur 𝐀 plus la norme du vecteur 𝐁.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.