Transcription de la vidéo
Série géométrique infinie
Dans cette vidéo, nous apprendrons à déterminer si une série géométrique est convergente et, dans l’affirmative, à trouver sa valeur. La série géométrique est un exemple important d’une série infinie. Vous pouvez rencontrer ce type de série lorsqu’il s’agit de processus physiques, tels que la hauteur d’une balle qui rebondit, ou dans d’autres domaines des mathématiques, comme la géométrie fractale. Les séries géométriques peuvent être écrites sous la forme suivante en utilisant la notation sigma. Nous lirions cette affirmation mathématique comme la somme de 𝑛 est égal à un à l’infini de 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un. Maintenant, vous pourriez également voir cela représenté comme la somme de 𝑛 est égal à zéro à l’infini de 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛.
Vous devez savoir que ce n’est qu’une forme équivalente, mais nous sommes dans un décalage d’indice. Pour cette vidéo, la définition avec laquelle nous choisirons de travailler est la somme qui commence à 𝑛 égale un. D’accord, la forme générale de la série géométrique sera donc la somme des termes suivants. Rappelez-vous, puisqu’il s’agit d’une somme infinie, nous aurons un nombre infini de termes. Vous remarquerez que nous pouvons caractériser notre série géométrique en utilisant deux choses. Nous avons notre premier terme, qui est 𝑎, et nous avons une raison, qui est 𝑟. En regardant notre série, nous voyons que chaque terme successif peut être obtenu en multipliant le terme précédent par la raison. C’est la caractéristique de toutes les séries géométriques. Il convient également de noter que comme résultat direct de cette caractéristique, nous pourrions trouver la raison en divisant n’importe quel terme par le terme précédent. Considérons maintenant un exemple de série géométrique pour nous donner un peu de contexte.
Imaginez que nous avions une série géométrique où le premier terme 𝑎 était égal à trois et la raison 𝑟 était égal à un demi. Les termes de notre série d’exemples commenceraient, bien sûr, par le premier terme, qui est trois. Et nous le multiplierions par la raison, qui est un demi pour obtenir chaque terme successif. Bien sûr, ce modèle se poursuivrait pour une infinité de termes. En utilisant notre notation sigma, nous pourrions exprimer cette série de la manière suivante : la somme de 𝑛 est égale à un à l’infini de trois fois et demie à la puissance 𝑛 moins un. D’accord, en général, lorsque nous travaillons avec une série, nous aimerions déterminer la valeur de la somme. Si une série est divergente, bien sûr, nous ne pouvons pas lui attribuer une valeur finie. Cependant, si une série est convergente, nous le pouvons. Mais en pratique, il est parfois très difficile de déterminer cette valeur. Pour les séries géométriques, cependant, nous avons une formule utile qui peut être utilisée. Travaillons à trouver cela.
Nous devrons d’abord éliminer quelques cas. Considérons le cas où notre premier terme 𝑎 est égal à zéro et notre raison 𝑟 prend n’importe quelle valeur. Puisque notre premier terme est nul et que nous le multiplions par la raison pour obtenir des termes successifs, cela signifierait que tous nos termes seraient nuls. Bien sûr, il n’y a pas beaucoup de sens à créer une somme de zéros. Et donc à partir de maintenant, nous supposerons que le cas trivial de 𝑎 égal à zéro sera ignoré pour toutes les valeurs de 𝑟 que nous explorons. Qu’en est-il du cas où notre raison 𝑟 est égal à un. Ici, 𝑎 n’est pas égal à zéro mais prend n’importe quelle valeur finale. Eh bien, évidemment, notre premier terme est 𝑎 un. Étant donné que chaque terme successif est obtenu en multipliant le terme précédent par un, tous nos termes seraient les mêmes que le premier terme.
Pour aller de l’avant, repensons maintenant au concept de somme partielle. Si la somme partielle, 𝑆 𝑛, est définie comme la somme des 𝑛 premiers termes d’une série, alors la somme partielle pour la série géométrique que nous considérons avec une raison de un serait 𝑛 fois 𝑎 un. Puisque tous nos termes sont les mêmes, nous multiplierons simplement le premier terme 𝑎 un par le nombre de termes que nous additionnons. Nous pouvons maintenant utiliser ce résultat conjointement avec une technique courante pour trouver la valeur d’une série infinie. Et cela prend la limite à mesure que 𝑛 s’approche de l’infini de la somme partielle. Maintenant, il devrait être assez facile de se convaincre qu’à mesure que 𝑛 approche de l’infini, la limite s’approche également de plus ou moins l’infini, selon le signe de 𝑎 un. Et bien sûr, c’est une façon particulière d’exprimer que la limite n’existe pas.
Ici, nous avons prouvé quelque peu sans ambiguïté que si la raison d’une série géométrique est égal à un, alors nous ne pouvons pas trouver sa valeur. Et donc, la série est divergente. Maintenant, nous pourrions étendre un peu plus cette conclusion avec une certaine logique. Et si notre raison 𝑟 était supérieur à un ? Cela signifierait que chaque terme successif deviendrait de plus en plus grand. Encore une fois, il devrait être assez facile de se convaincre que si cela se produit, notre série sera divergente. Ainsi, une série géométrique avec une raison 𝑟 supérieur à un est également divergente. Et nous ne pouvons pas lui attribuer de valeur. D’accord, assez sur la série à laquelle nous ne pouvons pas attribuer de valeur. Et ceux que nous pouvons ?
Pour cela, déplaçons l’attention sur notre somme partielle 𝑆 𝑛. Nous pouvons écrire les termes de notre somme partielle de la manière habituelle. Cependant, comme ce n’est pas une somme infinie, nous aurons un terme final, qui est 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un. Notre prochaine étape sera de multiplier notre somme partielle par la raison 𝑟. Et vous verrez pourquoi nous l’avons fait dans un instant. Cela signifie que chacun de nos termes précédents sera multiplié par 𝑟. Nous avons un ensemble de termes presque identiques, mais nous pouvons imaginer qu’ils ont chacun été déplacés le long d’un seul endroit. Nous n’avons plus de terme au début, qui n’est que 𝑎 seul. Mais nous avons gagné un terme à la fin, qui est 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛. Si nous imaginons notre première ligne comme l’équation un et notre deuxième ligne comme l’équation deux, voyons ce qui se passe lorsque nous soustrayons deux à une, donc 𝑆 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑆 𝑛.
Étant donné que tous nos termes intermédiaires sont identiques, ils s’annulent. Il nous reste donc 𝑎 moins 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛. Nous pouvons factoriser cette équation et ensuite nous pouvons diviser par un moins 𝑟. Très bien, nous avons obtenu un résultat utile pour la somme partielle jusqu’à 𝑛 termes. Mais qu’en est-il d’une somme infinie, comme la série infinie que nous envisageons ? Dégageons de l’espace pour continuer. Utilisons la même technique que précédemment en prenant la limite lorsque 𝑛 tend vers l’infini dans la somme partielle. D’accord, cela peut être un peu une piste, mais considérons ce qui suit. Si notre raison 𝑟 est strictement supérieure à moins un et strictement inférieure à un, alors à mesure que 𝑛 approche de l’infini, 𝑟 à la puissance 𝑛 approchera de zéro. C’est parce que nous multiplions un nombre strictement inférieur à un par lui-même plusieurs fois. Il deviendra donc de plus en plus petit.
Nous pouvons l’exprimer sous forme de limite car la limite lorsque 𝑛 tend vers l’infini de 𝑟 à la puissance 𝑛 est égale à zéro. N’oubliez pas que cela n’est vrai que dans le cas spécifique où cette inégalité est satisfaite. Il est en fait plus courant de voir cette inégalité écrite comme la magnitude ou la valeur absolue de 𝑟 est inférieure à un. Bon, revenons à nos calculs et appliquons ce que nous avons découvert. La première chose que nous pouvons faire est de factoriser 𝑎 divisé par un moins 𝑟 de notre limite. Ensuite, nous savons que lorsque 𝑛 approche de l’infini 𝑟, la puissance 𝑛 approche zéro, en supposant que la valeur absolue de 𝑟 est strictement inférieure à un. Cela signifie que nous pouvons ré-exprimer notre limite comme un moins zéro. Bien sûr, un moins zéro n’est qu’un. Ce que nous venons de découvrir, c’est que, dans ce cas particulier, lorsque la valeur absolue de 𝑟 est inférieure à un, la limite lorsque 𝑛 tend vers l’infini de la somme partielle est égale à 𝑎 divisé par un moins 𝑟.
N’oubliez pas que nous utilisions cette limite pour trouver la valeur de notre série géométrique. Puisque la limite existe et est finie, cela signifie que notre série géométrique est convergente. Et sa valeur sera également être 𝑎 divisé par un moins 𝑟. Notez que si à la place nous avions considéré le cas où la valeur absolue de 𝑟 était supérieure ou égale à un, nous aurions constaté que la limite de temps n’existait pas et donc notre série géométrique serait divergente. D’accord, nous sommes maintenant arrivés à notre conclusion.
Résumons donc ces informations pour en faciliter le traitement. Ici, nous avons une représentation générale d’une série géométrique pour le premier terme de 𝑎 et une raison de 𝑟. La série est convergente si la valeur absolue de la raison 𝑟 est strictement inférieure à un. Et la valeur de la somme dans ce cas est 𝑎 divisée par un moins 𝑟. Si, au contraire, la valeur absolue de 𝑟 est supérieure ou égale à un, la série est divergente. D’accord, nous avons traversé beaucoup de choses ici, mais j’espère que cette dernière section a distillé les informations importantes. Voyons maintenant quelques exemples pour voir comment appliquer nos connaissances.
La série 884 plus 884 divisée par neuf plus 884 divisée par 81 et ainsi de suite est-elle convergente ou divergente ?
Pour cette question, nous avons reçu une série. Maintenant, nous n’avons en fait pas reçu beaucoup de termes. Mais si nous regardons ce qui nous a été donné, il semble que chaque terme successif puisse être trouvé en multipliant le terme précédent par un sur neuf. C’est la caractéristique d’une série géométrique. La représentation générale d’une série géométrique est présentée ici. Il s’agit de la somme de 𝑛 est égal à un à l’infini de 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un.
Une série géométrique peut être caractérisée par le premier terme 𝑎 et la raison 𝑟. Encore une fois, nous savons que les termes successifs peuvent être trouvés en multipliant le terme précédent par la raison. Et nous pourrions étendre cette logique pour dire que la raison pourrait être trouvé en divisant tout terme par le terme qui le précède.
Si nous essayons de faire correspondre la série donnée dans notre question à la forme générale d’une série géométrique, nous pouvons voir que nous avons un premier terme 𝑎 de 884. Et nous avons une raison 𝑟 de un sur neuf. Si nous voulions exprimer la série donnée par notre question en utilisant la notation sigma, nous remplacerions le 𝑎 par 884 et le 𝑟 par un sur neuf de notre représentation générale d’une série géométrique. Maintenant, lorsque vous travaillez avec des séries géométriques, nous pouvons utiliser la règle suivante. Si la valeur absolue de la raison 𝑟 est inférieure à un, la série est convergente. Et si la valeur absolue de 𝑟 est supérieure ou égale à un, cette série est divergente. Maintenant, nous avons une raison 𝑟 de un sur neuf, et nous voyons clairement que la valeur absolue de un sur neuf est strictement inférieure à un. Cela nous permet de conclure que la série donnée par notre question est convergente. Avec cette logique, nous avons répondu à la question et nous avons conclu que la série donnée est convergente.
Passons maintenant à un autre exemple.
Trouvez la raison d’une suite géométrique infinie étant donné que la somme est 52 et le premier terme est 14.
Pour cette question, on nous a demandé de trouver la raison d’une suite géométrique infinie. La première chose à noter est que les suites et les séries sont étroitement liées. On nous a dit que la somme de notre suite est 52. À ce stade, nous nous souvenons que la somme d’une suite infinie est ce qui définit une série infinie. Essentiellement, nous devrons utiliser les outils pour une série géométrique infinie pour cette question. La première chose que nous pouvons faire est de rappeler la forme générale d’une série géométrique infinie. Ce type de série peut être caractérisé par un premier terme 𝑎 et une raison 𝑟 pour lesquels des termes successifs sont trouvés en multipliant le terme précédent par la raison.
Maintenant, une règle générale que nous pouvons utiliser pour les séries géométriques est que si la valeur absolue de la raison 𝑟 est inférieure à un, alors la série est convergente. Si tel est le cas, la valeur de la somme est égale au premier terme 𝑎 divisé par un moins 𝑟, la raison. Si, au contraire, la valeur absolue de 𝑟 est supérieure ou égale à un, alors la série est divergente. Et bien sûr, pour une série de divergence, nous ne pouvons pas attribuer une valeur à cette somme. Revenant maintenant à notre question, la première chose que nous pouvons noter est que la question a en effet attribué à la somme une valeur finie. Cela implique que la série est convergente, et nous pouvons ignorer le cas d’une série divergente. Cela signifie également que notre somme peut être exprimée comme 𝑎 divisé par un moins 𝑟. Et bien sûr, c’est égal à 52.
L’autre élément d’information que nous a donné notre question est que le premier terme est 14. C’est formidable car nous pouvons utiliser la valeur donnée pour 𝑎 pour trouver la valeur inconnue pour 𝑟 en utilisant notre équation. Nous substituons d’abord 𝑎 égal à 14. Nous résolvons maintenant pour 𝑟, qui est la raison que la question demande. Nous pouvons multiplier les deux côtés par un moins 𝑟, multiplier les deux termes entre parenthèses par 52. Nous soustrayons ensuite 52 des deux côtés de notre équation. Et pour notre dernière étape, nous pouvons diviser les deux côtés par moins 52. Ce faisant, nous trouvons la valeur de 𝑟, la raison, est 19 divisé par 26. Avec cette étape, nous avons répondu à notre question. Nous avons utilisé les informations fournies et notre connaissance des séries géométriques et comment celles-ci se rapportent aux suites géométriques pour trouver que la raison est de 19 sur 26.
En guise de petite note, si la question nous avait demandé d’exprimer la série, nous aurions pu le faire en utilisant la notation sigma, comme illustré ici. Passons maintenant à un exemple où l’on nous demande de trouver la valeur d’une série.
La série la somme de 𝑛 égale à un à l’infini de trois fois un sur 10 à la puissance 𝑛 moins un est-elle convergente ou divergente ? Si elle converge, trouvez la valeur de la série.
La première chose que nous devons reconnaître pour cette question est que l’on nous a donné une série géométrique infinie. La forme générale de ce type de question est présentée ici en utilisant la notation sigma comme avec cette question. A noter que ce type de série est caractérisé par un premier terme 𝑎 et une raison 𝑟. Une règle générale que nous utilisons pour les séries géométriques est que si la valeur absolue de la raison est inférieure à un, alors la série est convergente. Et la valeur de la somme est égale au premier terme 𝑎 divisé par un moins la raison 𝑟. Si, au contraire, la valeur absolue de la raison est supérieure ou égale à un, la série est divergente et nous ne pouvons pas attribuer une valeur à sa somme. D’accord, tout cela est intéressant, mais voyons comment cela s’applique à notre question.
Si nous regardons notre question, nous pouvons voir que la série qui nous a été donnée correspond exactement à la forme générale d’une série géométrique que nous devrions connaître. Nous avons un premier terme 𝑎 de trois. Et nous avons une raison 𝑟 de un sur 10. Notez que l’indice de 𝑛 est égal à un correspond sur nos deux sommes, tout comme les exposants sur notre raison 𝑛 moins un. Si le numéro d’indice ne correspondait pas, nous pourrions avoir besoin d’effectuer un décalage d’indice. Et si les exposants n’avaient pas de correspondance, nous pourrions avoir besoin d’effectuer une factorisation. Heureusement pour nous, ce n’est pas le cas, et nous continuons donc, sachant que notre raison est de un sur 10.
Pour aller de l’avant, notre première étape est assez simple. Nous avons observé que la valeur absolue de notre raison 𝑟 est strictement inférieure à un. Cela nous permet de conclure que la série est convergente. Il nous indique également que nous pouvons trouver la valeur de notre somme en utilisant cette formule. Si nous appliquons cela à notre série, sa valeur est 𝑎 divisée par un moins 𝑟. Bien sûr, en substituant 𝑎 est égal à trois et 𝑟 est égal à un sur 10, nous obtenons trois divisé par un moins un sur 10. C’est la même chose que trois divisé par neuf sur 10, soit trois fois 10 sur neuf. Ou si nous annulons le facteur commun de trois en haut et en bas de notre fraction, nous nous retrouvons avec 10 sur trois. Si nous organisons notre calcul, nous voyons que nous avons maintenant répondu à la question. En utilisant notre connaissance des séries géométriques infinies, nous avons conclu que la série donnée par la question est convergente et a une valeur de 10 sur trois.
Maintenant, avant de terminer, cette question a une caractéristique intéressante qui mérite d’être mentionnée. Revenons sur notre série et écrivons les termes. Bien sûr, notre premier terme est trois. Nous pouvons obtenir notre prochain terme en multipliant par la raison un sur 10 pour obtenir trois sur 10. En poursuivant ce schéma, nous obtenons trois sur 100 trois sur 1000 et ainsi de suite. Maintenant, si nous devions représenter ces fractions sous forme décimale, nous pourrions commencer à voir un modèle émerger. Puisque nous avons commencé avec un trois et multiplié par un sur 10 pour chaque terme successif, nous aurons un trois dans chaque position après la virgule décimale. Et quand nous disons chaque position, c’est vraiment vrai. Puisque nous avons affaire à une série infinie, nous ne manquerons jamais de termes. Et donc nos trois se répètent vraiment pour toujours.
En fait, ce que nous avons créé ici est une décimale récurrente, en particulier 3.3 récurrente. Maintenant, c’est très intéressant pour nous, car nous avons essentiellement représenté notre série géométrique infinie comme une décimale récurrente. Nous n’entrerons pas dans trop de détails pour cette vidéo, mais il suffit de dire que le processus inverse pourrait également être effectué. Si on nous donnait une décimale récurrente, nous pourrions la représenter comme une série géométrique infinie. D’accord, mais pourquoi faire ça ? Eh bien, nous venons de montrer que notre série est convergente sur laquelle nous pouvons trouver sa valeur. La valeur que nous avons trouvée était la fraction pratique de 10 sur trois. Il s’ensuit donc que notre série géométrique infinie est égale à 3.3 récurrente, ce qui est également égal à 10 sur trois. Donc, pour conclure, cela peut ne pas sembler au premier abord, mais les séries géométriques nous permettent de représenter des décimales récurrentes. Si nous étendons ce concept un peu plus loin, ils nous donnent également un moyen d’exprimer les décimales récurrentes sous forme de fractions, ce qui est parfois beaucoup plus pratique.
D’accord, pour terminer cette vidéo, passons en revue quelques points clés. La forme générale d’une série géométrique infinie est la suivante. Nous lirions ceci comme la somme de 𝑛 est égal à un à l’infini de 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un. Vous pourriez également rencontrer la forme alternative, qui est la somme de 𝑛 est égal à zéro à l’infini de 𝑎 fois 𝑟 à la puissance 𝑛. Une série géométrique peut être caractérisée par 𝑎 premier terme 𝑎 et une raison 𝑟. Les termes successifs d’une série géométrique peuvent être trouvés en multipliant le terme précédent par la raison 𝑟.
Si la valeur absolue de la raison 𝑟 est inférieure à un, alors la série est convergente. Dans ce cas, la valeur de la série est finie et est égale au premier terme 𝑎 divisé par un moins la raison 𝑟. Si, au contraire, la valeur absolue de la raison est supérieure ou égale à un, alors la série est divergente. Et bien sûr, dans ce cas, nous ne pouvons pas trouver sa valeur. Des séries géométriques infinies nous donnent également un moyen de représenter les décimales récurrentes et un moyen de les exprimer sous forme de fraction. Mais notez, nous n’avons pas exploré ce concept particulier en détail pour cette vidéo. Alors peut-être, c’est un sujet que vous voudrez peut-être approfondir.