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Vidéo de la leçon : Limites à gauche et à droite Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer graphiquement et algébriquement les limites à gauche à et à droite.

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Transcription de vidéo

Limites à gauche et à droite

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer graphiquement et algébriquement les limites à gauche et à droite. Comme leur nom l’indique, les limites à gauche et à droite impliquent de s’approcher d’un point 𝑥 égale 𝑎 par un côté. Soit par la gauche, soit par la droite. Pour le moment, l’utilité de ces limites n’est pas évidente. Mais explorons un peu à travers l’exemple qui suit.

Soit la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus un pour tout 𝑥 différent de deux.

Si on cherche la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux, on peut la trouver par substitution directe. En effet, bien que 𝑥 égale deux n’appartienne pas à l’ensemble de définition de la fonction, cette limite concerne les valeurs de 𝑥 aussi proches de deux que l’on souhaite, mais différentes de deux. Par substitution, on trouve que la réponse est deux plus un, donc trois. À présent, observons cette fonction 𝑓 de 𝑥 sur un graphique.

Notons d’abord que le petit cercle ici indique que la fonction 𝑓 de 𝑥 n’est pas définie au point 𝑥 égale deux. Ensuite, déterminons cette limite par lecture graphique. On sait que cette limite concerne les valeurs de 𝑥 proches de deux. Examinons une valeur un peu plus petite que deux, comme 1,8. En 𝑥 égale 1,8, la valeur de la fonction est 𝑓 de 1,8. C’est-à-dire 1,8 plus un, soit 2,8.

Pour obtenir une valeur plus précise de la limite, il faut rapprocher 𝑥 de deux. Prenons maintenant 𝑥 égale 1,9. Dans ce cas, la valeur de la fonction est 2,9. On peut continuer ainsi et rapprocher de plus en plus 𝑥 de deux. On constate alors que la valeur de la fonction se rapproche de trois, comme attendu. Notons qu’ici, on a rapproché 𝑥 de deux par le côté gauche, le côté négatif. On peut aussi faire la même chose en se rapprochant par la droite, le côté positif. On constate alors que les valeurs de 𝑓 de 𝑥 convergent vers la même valeur. Ce qu’on tente d’illustrer ici est que, si on s’approche de 𝑥 égale deux par la gauche ou par la droite, 𝑓 de 𝑥 semble s’approcher de la même valeur.

Examinons maintenant ce qui se passe avec une fonction différente, notée 𝑔 de 𝑥, définie par morceaux comme ceci. 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 plus un si 𝑥 est inférieur à deux ; 𝑥 plus deux si 𝑥 est supérieur à deux. Graphiquement, ces petits cercles indiquent que la valeur de 𝑔 de 𝑥 n’est pas définie en ces deux points. En fait, la fonction 𝑔 de 𝑥 n’est pas définie en 𝑥 égale deux. Si on fait la même chose, mais en rapprochant 𝑥 de la valeur deux par la gauche, la valeur de 𝑔 de 𝑥 s’approche de trois comme on l’a vu. Mais si on rapproche 𝑥 de la valeur deux par la droite, on voit que les valeurs de 𝑔 de 𝑥 semblent s’approcher de quatre. Cela signifie que lorsque 𝑥 tend vers deux, les valeurs de 𝑔 de 𝑥 semblent tendre vers deux valeurs différentes selon le côté de l’approche.

Et dans ce cas, il n’est pas logique d’attribuer une valeur à la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers deux. Et de fait, on dit que cette limite n’existe pas. Cependant, il reste utile d’examiner ce qui se passe lorsqu’on s’approche par la gauche ou par la droite, car ça nous donne des informations utiles sur la fonction. En approchant par l’un ou l’autre côté, on a en fait trouvé la limite gauche et la limite droite de la fonction 𝑔. Or, la différence de notation est assez subtile. On observe que le signe moins, en position d’exposant, indique qu’on se rapproche par le côté gauche, et le signe plus indique qu’on se rapproche par le côté droit.

Voici une définition un peu plus formelle des limites à gauche et à droite. Si 𝑓 de 𝑥 peut s’approcher autant qu’on veut d’une valeur 𝐿 lorsque 𝑥 tend vers une valeur 𝑎 à gauche, c’est-à-dire que 𝑥 est strictement inférieur à 𝑎 et différent de 𝑎, alors on dit que la limite à gauche de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝐿. Si les mêmes conditions sont réunies mais que 𝑥 tend vers 𝑎 à droite, c’est-à-dire que 𝑥 est strictement supérieur à 𝑎 et différent de 𝑎, alors on dit que la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝐿. Ici, on a vu que les limites à gauche et à droite sont utiles pour étudier des fonctions, en prenant pour exemple une fonction définie par morceaux avec une discontinuité. Étudions maintenant un exemple algébrique dans lequel les limites à gauche et à droite sont utiles.

Calculez la limite à gauche de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋, sachant que 𝑓 de 𝑥 est égal à cinq 𝑥 cos de cinq 𝑥 plus deux sin de cinq 𝑥 sur 𝑥 si 𝑥 est supérieur à zéro et inférieur à 𝜋 sur deux, et quatre sur deux cos de neuf 𝑥 plus 𝜋 si 𝑥 est supérieur à 𝜋 sur deux et inférieur à 𝜋.

Ici, on a une fonction 𝑓 de 𝑥 définie par morceaux sur deux intervalles différents. Cette fonction est clairement indéfinie lorsque 𝑥 est inférieur ou égal à zéro ou supérieur ou égal à 𝜋. De plus, en raison de ces inégalités strictes, 𝑓 de 𝑥 est aussi indéfinie lorsque 𝑥 est égal à 𝜋 sur deux. L’énoncé nous demande la limite à gauche, comme l’indique ce signe moins. Cela signifie qu’on s’approche de la valeur de 𝑥 égale 𝜋 par la gauche. Et 𝑥 est strictement inférieur à 𝜋. Bien que 𝑥 égale 𝜋 n’appartienne pas à l’ensemble de définition de la fonction, on peut chercher une limite, puisque cette limite concerne des valeurs de 𝑥 aussi proches qu’on veut de 𝜋, mais différentes de 𝜋.

Or, les valeurs de 𝑥 qui nous intéressent sont inférieures à 𝜋 mais très proches de cette valeur. Par conséquent, l’intervalle de la fonction qui nous intéresse est celui où 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre sur deux cos de neuf 𝑥 plus 𝜋. On le voit en regardant l’inégalité. Comme c’est l’intervalle sur lequel 𝑥 est légèrement inférieur à 𝜋, on évalue la limite comme ceci. On effectue une substitution directe 𝑥 égale 𝜋 dans la fonction. En voyant le terme cos de neuf 𝜋, on se souvient que la fonction cosinus est périodique, de période deux 𝜋 radians. Cela implique que cos de neuf 𝜋 est égal à cos 𝜋. Ce qui bien sûr vaut moins un.

Par substitution, on obtient le quotient suivant. Et on obtient quatre sur moins deux plus 𝜋. On a répondu à la question. Ainsi, on a trouvé la limite à gauche de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝜋. Dans certains cas, il peut être difficile de dessiner la fonction. Et ici, on a montré comment trouver une limite à gauche ou à droite sans tracer la courbe de la fonction. Il est bon de réfléchir au fait que, puisque 𝑓 de 𝑥 est indéfinie lorsque 𝑥 est supérieur à 𝜋 ou égal à 𝜋, la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 n’existe pas. Et la limite bilatérale de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 n’existe pas non plus.

Dans ce cas, on ne peut attribuer une valeur qu’à la limite à gauche de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝜋, ce qui montre que les limites gauche et droite apportent des précisions mathématiques. Dans l’exemple précédent, les valeurs de 𝑥 supérieures à 𝑎 n’appartiennent pas à l’ensemble de définition de la fonction 𝑓. Par conséquent, on a dit que la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 n’existait pas. Mais voyons maintenant un exemple illustrant que même lorsque 𝑓 de 𝑥 est définie pour toutes les valeurs de 𝑥, dans certains cas, la limite à gauche ou à droite n’existe pas. Et dans ce cas, la limite bilatérale n’existe pas non plus. Prenons un exemple.

Déterminez la limite à gauche de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins neuf et la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins neuf, sachant que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 plus neuf si 𝑥 est inférieur ou égal à moins neuf, et un sur 𝑥 plus neuf si 𝑥 est supérieur à moins neuf.

Ici, on nous donne une fonction définie par morceaux sur deux intervalles. Pour la limite à gauche, 𝑥 tend vers moins neuf à gauche, du côté négatif. Par conséquent, 𝑥 est inférieur à moins neuf. Pour la limite à droite, 𝑥 tend vers moins neuf à droite, du côté négatif. Par conséquent, 𝑥 est supérieur à moins neuf. Puisque 𝑥 égale moins neuf est le point entre les deux intervalles de la fonction définie par morceaux, on étudie la limite à gauche dans le premier intervalle et la limite droite dans le deuxième intervalle. Essayons de trouver la limite à gauche.

Dans ce cas, la fonction 𝑓 de 𝑥 vaut 𝑥 plus neuf. On peut trouver cette limite par substitution directe 𝑥 égale moins neuf dans la fonction. On obtient un résultat de moins neuf plus neuf, ce qui est égal à zéro. La limite à gauche de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins neuf est donc zéro. Et pour la limite à droite, ici la fonction 𝑓 de 𝑥 vaut un sur 𝑥 plus neuf. On effectue de nouveau une substitution directe de 𝑥 égale moins neuf dans la fonction. Cette fois, on obtient un résultat de un sur zéro. Or, on sait que la division de un par zéro ne donne pas une valeur numérique. Dans ce cas, on dit que la limite n’existe pas. Et donc, au sens strict, c’est la réponse à la question.

Mais pour mieux comprendre ce résultat, examinons la courbe de la fonction. Ici, on a dessiné le graphique. Et on sait que, dans l’intervalle où 𝑥 est inférieur ou égal à moins neuf, on a une fonction bien définie. Et on sait qu’en raison du petit cercle plein ici en moins neuf, 𝑥 est en effet défini en ce point. Pour l’autre intervalle, on sait que lorsque 𝑥 tend vers moins neuf, on a une asymptote verticale. Cela signifie que les valeurs de 𝑓 de 𝑥 deviennent aussi grandes que l’on veut. Et on note cela plus l’infini. En ce sens, il est courant d’écrire que la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins neuf est égale à plus l’infini.

Il est très important de comprendre qu’on ne dit pas que l’infini est un nombre. Ni que la limite existe. Mais on exprime d’une manière particulière que la limite n’existe pas. Or, exprimer une limite comme celle-ci donne malgré tout une information utile sur la fonction, comme le montre le graphique. Écrire la limite de cette manière, même sans graphique, donne l’idée d’une discontinuité en moins neuf. Et lorsqu’on s’approche de cette valeur par la droite, 𝑓 de 𝑥 devient aussi grand que l’on souhaite. Pour compléter le concept de limites gauche et droite, il est utile de comprendre les différences et les liens entre la valeur de la fonction en 𝑥 égale 𝑎, la limite bilatérale de la fonction en 𝑎 et, bien sûr, les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎.

En particulier, formalisons d’abord la relation suivante. Si la limite à gauche et la limite à droite d’une fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existent et sont égales, et de valeur 𝐿, alors la limite bilatérale de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe également et est égale à 𝐿. En fait, la réciproque est vraie : si la limite bilatérale lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe et est égale à 𝐿, alors elle est égale à la valeur des limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Et c’est aussi 𝐿.

On l’a déjà évoqué lors des exemples précédents, mais recommençons. Si les limites à gauche et à droite sont différentes ou n’existent pas, alors ça n’a pas de sens de dire que la limite bilatérale existe. Notez aussi que la limite d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 peut, en fait, être complètement différente de la valeur de la fonction elle-même au point où 𝑥 égale 𝑎. Voyons-en un exemple dans la question suivante.

Déterminez ceci : 𝑓 de moins trois ; la limite à gauche de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins trois ; la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins trois ; et la limite bilatérale de 𝑓 de 𝑥 en moins trois. C’est la partie a) à d). Ensuite pour les parties e) à h), déterminez 𝑓 de un ; la limite à gauche de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un, la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un, et la limite bilatérale de 𝑓 de 𝑥 en un.

À première vue, ça demande beaucoup de travail. Mais on voit que les quatre premières parties de la question sont fortement liées, de même que les quatre dernières parties de la question. Commençons par les parties a), b), c) et d). On nous donne un graphique qui représente la fonction 𝑓 de 𝑥. On remarque d’abord que les petits cercles vides sur le graphique désignent les points où 𝑓 de 𝑥 n’existe pas, tandis que les petits cercles pleins désignent les points où 𝑓 de 𝑥 existe. En regardant la valeur de 𝑥 égale moins trois sur le graphique, on voit un petit cercle vide au point moins trois, zéro ; et un petit cercle plein au point moins trois deux. On en déduit que lorsque 𝑥 est égal à moins trois, 𝑓 de 𝑥 est égal à deux. Autrement dit, on vient de répondre à la partie a) de la question. 𝑓 de moins trois est égale à deux.

Maintenant, passons à la limite à gauche lorsque 𝑥 tend vers moins trois. En s’approchant, on voit sur le graphique que la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de zéro. Peu importe ici qu’on ait un cercle vide en moins trois zéro, puisque les limites concernent les valeurs de 𝑥 aussi proches de moins trois que l’on veut, mais différentes de trois. On peut donc dire que la limite à gauche de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins trois est égale à zéro. En fait, on peut dire la même chose pour la limite à droite. Lorsque 𝑥 tend vers moins trois à droite, 𝑓 de 𝑥 se rapproche aussi de zéro. Cela signifie que la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins trois est aussi égale à zéro.

Or, comme les deux limites à gauche et à droite, lorsque 𝑥 tend vers moins trois, existent et ont la même valeur, on peut utiliser cette propriété générale pour dire que la limite bilatérale existe également et a la même valeur. On en conclut que la limite bilatérale de 𝑓 de 𝑥 en moins trois est aussi égale à zéro. On a maintenant répondu aux parties a) à d) de la question. Un point intéressant à noter est que, bien que la valeur de 𝑓 de moins trois soit égale à deux, les limites à gauche, à droite et bilatérale lorsque 𝑥 tend vers moins trois sont égales à zéro. Encore une fois, les limites concernent les valeurs de 𝑥 proches, mais différentes, de moins trois.

Ici, les limites n’ont aucun lien avec la valeur exacte de 𝑓 de moins trois et ne concernent que les valeurs de 𝑥 qui tendent vers moins trois. En fait, on pourrait supprimer le point moins trois, deux, du graphique. Ça ne changerait aucune des limites, même si 𝑓 deviendrait indéfinie en moins trois. Passons maintenant aux quatre parties suivantes de la question.

Premièrement, il faut déterminer 𝑓 de un. Sur le graphique, on voit un cercle plein au point un, moins deux, et un cercle vide au point un, quatre. On sait que le cercle plein est où 𝑓 de 𝑥 est définie. Par conséquent, 𝑓 de un est égal à moins deux. Ensuite, pour la limite à gauche de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un, on voit où passe la fonction lorsque 𝑥 tend vers un à gauche. Ici, il est clair que 𝑓 de 𝑥 tend vers moins deux. Par conséquent, c’est aussi la valeur de la limite à gauche. Pour la limite à droite, on voit où passe 𝑓 de 𝑥 à droite de la valeur, du côté positif. D’après le graphique, la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de quatre lorsque 𝑥 tend vers un à droite. Cela signifie que la limite à droite est quatre.

Passons maintenant à la dernière partie de la question, la limite bilatérale de 𝑓 de 𝑥 en un. Ici, on sait que les limites à gauche et à droite existent. Mais elles ont des valeurs différentes. Par conséquent, comme elles ne coïncident pas, on en conclut que la limite bilatérale n’existe pas. On a maintenant répondu à toutes les questions. Cet exemple illustre différents liens possibles entre la valeur de la fonction, la limite à gauche, la limite à droite, et la limite bilatérale d’une fonction.

Pour finir, récapitulons les points clés. Les limites à gauche et à droite d’une fonction 𝑓 de 𝑥 concernent la valeur de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers une valeur 𝑎 par le côté gauche et droit, respectivement. Une définition plus formelle a été donnée ci-dessous. Si les deux limites à gauche et à droite existent et sont égales à une valeur donnée 𝐿, alors la limite bilatérale existe également et a la même valeur 𝐿. Comme la réciproque est vraie, on peut déduire les limites à gauche et à droite à partir de la limite bilatérale.

Parfois, une limite bilatérale, à gauche ou à droite vaut plus ou moins l’infini. Mais ça ne veut pas dire que plus ou moins l’infini est un nombre. Ni que la limite existe. C’est plutôt une façon particulière d’exprimer que la limite n’existe pas, car ça fournit des informations utiles sur la fonction. Enfin, il faut retenir que les limites à gauche et à droite peuvent exister même si la limite bilatérale n’existe pas. Celles-ci sont un outil supplémentaire pour décrire une fonction, par exemple une fonction définie par morceaux avec une discontinuité.

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