Vidéo : Limites à droite et à gauche

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer graphiquement et algébriquement les limites à droite et à gauche.

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Limites à droite et à gauche

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer graphiquement et algébriquement la valeur des limites à droite et à gauche. Comme son nom l’indique, les limites à droite et à gauche impliquent le rapprochement d’un point, disons 𝑥 égale 𝑎, d’une direction. C’est-à-dire le sens positif ou négatif. Au début, on ne comprendra peut-être pas pourquoi cela nous serait utile. Mais poursuivons l’exploration en utilisant l’exemple suivant.

Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus un en tout point où 𝑥 n’égale pas deux.

Si nous voulions trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥, nous pourrions le faire par substitution directe. Nous pouvons le faire parce que même si 𝑥 égale deux n’appartient pas à l’ensemble de définition de notre fonction, la limite concerne les valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de deux mais pas où 𝑥 égale deux. En effectuant une substitution, nous trouvons que notre réponse est deux plus un qui est trois. Observons maintenant notre fonction 𝑓 de 𝑥 sur un graphique.

Nous remarquons d’abord que le point creux ici nous indique que la fonction 𝑓 de 𝑥 n’est pas définie en ce point, où 𝑥 égale deux. Voyons maintenant le processus consistant à évaluer une limite, mais graphiquement. Nous savons que notre limite concerne des valeurs de 𝑥 dans le voisinage de deux. Alors regardons une valeur qui est légèrement plus petite ; disons 1.8. Si 𝑥 est 1.8, alors la valeur de notre fonction est 𝑓 de 1.8. La valeur de ce nombre est 1.8 plus un, qui est évidemment 2.8.

Pour obtenir une limite plus précise, nous devons approcher la valeur de 𝑥 de deux. Voyons maintenant en 𝑥 égale 1.9. Dans ce cas, la valeur de notre fonction est 2.9. Nous pourrions continuer ce processus en nous rapprochant de plus en plus de la valeur de 𝑥 égale deux. Ce faisant, nous trouvons que la valeur de notre fonction se rapproche de trois comme nous l’attendions. Ici, nous remarquons que nous avons rapproché notre valeur de 𝑥 égale deux de la gauche ou dans le sens négatif. Nous pourrions également effectuer le même exercice en rapprochant de la droite ou dans le sens positif. En fait, si nous le faisions, nous constaterions que nos valeurs de 𝑓 de 𝑥 convergeraient vers la même chose. Le point que nous illustrons ici est que le rapprochement vers la valeur de 𝑥 égale deux de la gauche ou de la droite semble se rapprocher de la même valeur de 𝑓 de 𝑥.

Voyons maintenant ce qui se passerait si nous avions une fonction différente, disons 𝑔 de 𝑥, qui est définie par morceaux comme suit. 𝑔 de 𝑥 est 𝑥 plus un si 𝑥 est strictement inférieur à deux et 𝑥 plus deux si 𝑥 est strictement supérieur à deux. De nouveau, nous savons depuis la représentation graphique que ces points creux nous indiquent que la valeur de 𝑔 de 𝑥 n’est pas définie en ces deux points. Et en fait, la fonction 𝑔 de 𝑥 n’est pas définie lorsque 𝑥 égale deux. Si nous devions effectuer le même exercice précédent, en rapprochant la valeur de 𝑥 égale deux à partir de la gauche, notre valeur de 𝑔 de 𝑥 se rapproche de trois, comme nous l’avons vu. Cependant, si nous rapprochons 𝑥 égale deux de la droite ou dans le sens positif, nous verrons que les valeurs de 𝑔 de 𝑥 semblent se rapprocher de quatre. Cela signifie que lorsque nous nous rapprochons de 𝑥 égale deux, nos valeurs pour 𝑔 de 𝑥 semblent se rapprocher de deux valeurs différentes selon la direction à partir de laquelle nous nous rapprochons.

Comme c’est le cas, il n’est pas logique d’attribuer une valeur à la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑔 de 𝑥. Et en fait, nous disons que cette limite n’existe pas. Cependant, il est toujours utile d’envisager ce qui se passe lorsque nous nous rapprochons de gauche ou de droite, car cela donne toujours des informations utiles sur notre fonction. En rapprochant des différentes directions, nous avons en fait trouvé la limite gauche et la limite droite pour notre fonction 𝑔. Maintenant, la différence de notation ici est assez subtile. Mais ici, nous voyons que le signe moins dans la position dans laquelle une puissance irait nous indique que nous nous rapprochons de la direction négative et le signe plus nous indique que nous nous rapprochons de la direction positive.

Voici une définition un peu plus formelle de nos limites à droite et à gauche. Quand 𝑓 de 𝑥 peut être rendue arbitrairement proche d’une certaine valeur 𝐿 lorsque 𝑥 tend vers une certaine valeur 𝑎 de gauche, c’est-à-dire que 𝑥 est strictement inférieure à 𝑎 et non égale à 𝑎, on dit alors que la limite à gauche est 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale 𝐿. Lorsque les mêmes conditions sont vérifiées mais que 𝑥 tend vers 𝑎 de la droite, c’est-à-dire que 𝑥 est strictement supérieure à 𝑎 et non égale à 𝑎, nous disons plutôt que la limite à droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale 𝐿. Nous avons vu ici que les limites à droite et à gauche nous offrent un outil utile pour envisager les fonctions en utilisant une fonction définie par morceaux avec une discontinuité par exemple. Voyons maintenant un exemple algébrique dans lequel des limites à droite et à gauche s’avèrent utiles.

Déterminez la limite gauche lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 de 𝑓 de 𝑥 sachant que 𝑓 de 𝑥 égale cinq 𝑥 cos cinq 𝑥 plus deux sin cinq 𝑥 sur 𝑥 si 𝑥 est strictement supérieure à zéro et strictement inférieure à 𝜋 sur deux et quatre sur deux cos neuf 𝑥 plus 𝜋 si 𝑥 est strictement supérieure à 𝜋 sur deux et strictement inférieure à 𝜋.

Ici, nous avons une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥, définie sur deux intervalles différents. Notre fonction est clairement indéfinie lorsque 𝑥 est inférieure ou égale à zéro ou supérieure ou égale à 𝜋. Nous pouvons également noter qu’en raison de ces rigoureux symboles d’inégalité, 𝑓 de 𝑥 est également indéfinie lorsque 𝑥 égale 𝜋 sur deux. Maintenant, dans la question on nous demande de déterminer la limite gauche, comme on peut voir à partir de ce signe moins. Cela signifie que nous approchons une valeur de 𝑥 égale 𝜋 du sens négatif. Et 𝑥 est strictement inférieure à 𝜋. Même si nous savons que 𝑥 égale 𝜋 n’appartient pas à l’ensemble de définition de notre fonction, nous pouvons toujours essayer de trouver une limite puisque les limites concernent des valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de 𝜋 mais non égales à 𝜋.

Nous savons maintenant que les valeurs de 𝑥 qui nous intéressent sont strictement inférieures à 𝜋 mais très proches de cette valeur. Par conséquent, l’intervalle de notre fonction qui nous intéresse est celui où 𝑓 de 𝑥 égale quatre sur deux cos neuf 𝑥 plus 𝜋. Et nous pouvons le voir de notre inégalité. Puisque c’est l’intervalle pour lequel 𝑥 est strictement inférieure à 𝜋, nous allons évaluer notre limite comme suit. Nous effectuons une substitution directe de 𝑥 égale 𝜋 dans notre fonction. En regardant le terme cos neuf 𝜋, nous rappelons que la fonction cosinus est une fonction périodique qui se répète sur une période de deux 𝜋 radians. Cela signifie que cos neuf 𝜋 égale cos 𝜋. Et bien sûr, cela équivaut à moins un.

Si nous effectuons cette substitution, nous trouvons que notre réponse devient le quotient suivant. Et nous arrivons alors à une réponse de quatre sur moins deux plus 𝜋. Nous avons maintenant répondu à la question. Et nous avons trouvé la limite gauche lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 de la fonction 𝑓 de 𝑥. Dans certains cas, il peut être difficile de dessiner la fonction. Et nous avons démontré ici qu’on pouvait déterminer une limite droite ou gauche sans représenter notre fonction graphiquement. Il convient également de réfléchir au fait que, puisque 𝑓 de 𝑥 indéfinie lorsque 𝑥 est strictement supérieure à 𝜋 et aussi lorsque 𝑥 est égale à 𝜋, la limite droite lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas. Et en effet, on ne peut pas dire non plus que la limite normale lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 de 𝑓 de 𝑥 existe.

Dans ce cas, il est logique d’attribuer une valeur à la limite gauche lorsque 𝑥 tend vers 𝜋 de 𝑓 de 𝑥 démontrant comment des limites à droite et à gauche nous donnent des descriptions mathématiques plus précises. Dans l’exemple que nous venons de voir, les valeurs de 𝑥 strictement supérieures à 𝑎 n’appartenaient pas à l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓. Et ainsi, nous avons dit que la limite droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existait pas. Cependant, allons voir un exemple pour montrer que même si 𝑓 de 𝑥 semble être définie en toutes les valeurs de 𝑥, mais dans certains cas, qu’il s’agisse de limite gauche ou droite, elles peuvent ne pas exister. Et en effet, la limite normale dans ce cas n’existerait pas non plus. Voyons un exemple.

Déterminez la limite gauche lorsque 𝑥 tend vers moins neuf de 𝑓 de 𝑥 et la limite droite lorsque 𝑥 tend vers moins neuf de 𝑓 de 𝑥, sachant que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus neuf si 𝑥 est inférieure ou égale à moins neuf et un sur 𝑥 plus neuf si 𝑥 est strictement supérieure à moins neuf.

Ici, on nous donne une fonction définie par morceaux sur deux intervalles. Pour la limite gauche, on rapproche 𝑥 égale moins neuf de la direction négative. Par conséquent, 𝑥 est strictement inférieure à moins neuf. Pour la limite droite, nous rapprochons 𝑥 égale moins neuf de la direction positive. Et par conséquent, 𝑥 est strictement supérieure à moins neuf. Puisque 𝑥 égale moins neuf, c’est le point entre les deux intervalles de notre fonction définie par morceaux, car notre limite gauche sera dans le premier intervalle et notre limite droite sera dans le deuxième intervalle. Essayons de déterminer la limite gauche.

Dans ce cas, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 plus neuf. Nous pouvons trouver cette limite par substitution directe de 𝑥 égale moins neuf dans notre fonction. Ce faisant, nous trouvons que notre réponse est moins neuf plus neuf, ce qui donne zéro. La limite gauche lorsque 𝑥 tend vers moins neuf de 𝑓 de 𝑥 est donc zéro. Passons maintenant à la limite droite, ici, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est un sur 𝑥 plus neuf. Encore une fois, nous avons essayé la substitution directe de 𝑥 égale moins neuf dans notre fonction. Cette fois, cela nous donne un sur zéro. Et comme nous le savons, diviser un par zéro ne peut pas être évalué par une valeur numérique. Dans des cas comme celui-ci, on dit que la limite n’existe pas. Et donc, dans un sens strict, voici la réponse à notre question.

Cependant, pour mieux comprendre notre résultat, observons une représentation graphique de notre fonction. Ici, nous avons tracé notre graphique. Et nous savons que sur l’intervalle où 𝑥 est inférieure ou égale neuf, nous avons une fonction avec un bon comportement. Et nous savons qu’en raison du point solide ici en moins neuf, 𝑥 est bien définie en ce point. Pour l’autre intervalle, nous savons que lorsque 𝑥 tend vers moins neuf, nous avons une asymptote verticale. Cela signifie que les valeurs de 𝑓 de 𝑥 deviennent arbitrairement grandes. Et cela est souvent représenté par l’infini. En ce sens, il est courant d’écrire que la limite droite lorsque 𝑥 tend vers moins neuf de 𝑓 de 𝑥 égale plus l’infini.

Une distinction très importante à faire ici est que nous ne disons pas que l’infini prend une valeur numérique. Nous ne disons pas non plus que notre limite existe. Nous affirmons plutôt que la limite n’existe pas d’une certaine manière. Nous faisons cela parce que l’expression d’une limite comme celle-ci nous donne toujours des informations utiles sur notre fonction, comme le montre le graphique. Écrire la limite de cette manière, même sans le graphique, nous donnerait l’impression que, même en moins neuf, nous avons une discontinuité. Et lorsque nous rapprochons cette valeur de la droite, les valeurs de 𝑓 de 𝑥 deviennent arbitrairement grandes. Pour compléter la notion des limites à droite et à gauche, il est utile de comprendre les distinctions et les relations entre la valeur de notre fonction en 𝑥 égale, la limite normale de la fonction lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 et bien sûr, les valeurs gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎.

En particulier, formalisons d’abord la relation suivante. Si la limite gauche et la limite droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 d’une fonction 𝑓 de 𝑥 existent, sont égales et prennent une valeur 𝐿, alors la limite normale lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la fonction 𝑓 de 𝑥 existe aussi et égale 𝐿. En fait, nous pourrions également inverser cette règle en disant que si la limite normale lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe et égale 𝐿, alors elle sera égale à la valeur des limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Et elles égaleraient aussi 𝐿.

Nous en avons déjà parlé dans les exemples précédents ; mais ici nous réitérons. Si les limites gauche et droite ne concordent pas l’une avec l’autre ou n’existent pas, alors ça n’a aucun sens de dire que la limite normale existe. Il convient également de noter que la limite d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 peut être tout à fait indépendante de la valeur de la fonction elle-même au point où 𝑥 égale 𝑎. Voyons un exemple dans la question suivante.

Déterminez ce qui suit : 𝑓 de moins trois la limite gauche lorsque 𝑥 tend vers moins trois de 𝑓 de 𝑥, la limite droite lorsque 𝑥 tend vers moins trois de 𝑓 de 𝑥, et la limite normale lorsque 𝑥 tend vers moins trois de 𝑓 de 𝑥. Ceci est la partie a) jusqu’à d). Ensuite, pour les parties e) jusqu’à h), nous trouvons 𝑓 de un, déterminez la limite gauche lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥, la limite droite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 et la limite normale lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥.

À première vue, cela représente beaucoup de travail. Mais nous voyons que les quatre premières parties de notre question sont étroitement liées, de même que les quatre dernières parties de notre question. Ici, nous allons travailler par section, d’abord en regardant les parties a), b), c) et d). Nous avons une représentation graphique décrivant la fonction 𝑓 de 𝑥. La première chose que nous notons est que les points creux de notre graphique décrivent les points où 𝑓 de 𝑥 n’existe pas, tandis que les autres points décrivent des points où 𝑓 de 𝑥 existe. En regardant la valeur de 𝑥 égale moins trois sur notre graphique, nous voyons qu’il y a un point creux au point moins trois, zéro et un point au point moins trois, deux. On peut en déduire que, lorsque 𝑥 égale moins trois, 𝑓 de 𝑥 égale deux. En d’autres termes, nous venons de répondre à la partie a) de notre question. Et 𝑓 de moins trois égale deux.

Ensuite, nous passons à la limite gauche lorsque 𝑥 tend vers trois. En rapprochant, nous apercevons sur notre graphique que la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de zéro. Peu importe ici que nous ayons un point creux au point moins trois, zéro puisque les limites concernent des valeurs de 𝑥 qui sont arbitrairement proches de moins trois mais ne n’égalent pas moins trois. On peut alors dire que la limite gauche lorsque 𝑥 tend vers moins trois de 𝑓 de 𝑥 égale zéro. En fait, on peut dire la même chose de la limite droite. Lorsque 𝑥 se tend vers moins trois de la direction positive, 𝑓 de 𝑥 aussi se rapproche de plus en plus de zéro. Cela signifie que la limite droite lorsque 𝑥 tend vers moins trois de 𝑓 de 𝑥 égale aussi zéro.

Maintenant, étant donné que les limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers moins trois existent et ont la même valeur, nous pouvons utiliser cette règle générale pour dire que la limite normale existe également et égale aussi la même valeur. Nous concluons donc que la limite normale lorsque 𝑥 tend vers moins trois de 𝑓 de 𝑥 égale aussi zéro. Nous avons maintenant répondu aux parties a) jusqu’à d) de notre question. Un point intéressant à noter ici est que même si la valeur de 𝑓 de moins trois est égale à deux, la limite gauche, droite et normale lorsque 𝑥 tend vers moins trois sont égalent toutes zéro. De nouveau, les limites concernent les valeurs de 𝑥 qui sont proches de mais égalent pas moins trois.

Dans ce cas, les limites ne tiennent absolument pas compte de la valeur exacte de 𝑓 de moins trois, et ne sont concernées que par les valeurs que 𝑥 prend en tendant vers moins trois. En fait, nous pourrions supprimer le point moins trois complètement de notre graphique. Et cela laisserait toutes nos limites complètement inchangées même si la valeur de 𝑓 de moins trois resterait indéfinie. Passons maintenant aux quatre parties suivantes de notre question.

Premièrement, nous devons trouver la valeur de 𝑓 de un. Notre graphique montre qu’il y a un point rempli au point un, moins deux et un point creux au point un, quatre. Nous savons que le point rempli est où 𝑓 de 𝑥 définie. Et par conséquent, 𝑓 de un est égale à moins deux. Ensuite, pour la limite gauche lorsque 𝑥 tend vers un pour 𝑓 de 𝑥, nous voyons ce qu’il arrive à notre fonction lorsque nous approchons de la valeur où 𝑥 égale un dans la direction négative. Ici, il est clair que la valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers moins deux. Et par conséquent, c’est aussi la valeur de notre limite gauche. Pour la limite droite, nous voyons ce qui arrive à la valeur de 𝑓 de 𝑥 en se rapprochons de la direction positive. Et à partir de notre graphique, la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche plus en plus de quatre lorsque 𝑥 tend vers un de la direction positive. Cela signifie que notre limite droite est égale à quatre.

Passons maintenant à la dernière partie de notre question, la limite normale lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥. Ici, nous savons que la limite gauche et droite existent toutes les deux. Cependant, elles prennent des valeurs différentes. Et par conséquent, elles ne concordent pas étant donné que nous pouvons conclure que la limite normale n’existe pas. Nous avons maintenant répondu à toutes les parties de notre question. Cet exemple illustre différentes manières où la valeur de la fonction, les limites gauche et droite, ainsi que les limites normales d’une fonction peuvent être liées les unes aux autres.

Pour terminer, reprenons quelques points clés. Les limites gauche et droite d’une fonction 𝑓 de 𝑥 concernent la valeur de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers une valeur 𝑎 dans le sens négatif et dans le sens positif, respectivement. Une définition plus formelle a été donnée ci-dessous. Si les limites gauche et droite existent et ont une même valeur 𝐿, alors la limite normale existera aussi et égalera la même valeur. Parfois on peut aussi prendre l’inverse de cette règle, en tirant des conclusions sur les limites gauche et droite étant donnée la limite normale.

Parfois, une limite normale, gauche ou droite peut être exprimée comme plus ou moins l’infini. Dans ces cas, nous ne disons pas que l’infini, qu’il soit positif ou négatif, prend une valeur numérique. Nous ne disons pas non plus que la limite existe. Mais c’est plutôt une façon particulière d’exprimer que la limite n’existe pas car elle nous donne des informations utiles sur la fonction. Enfin, rappelons-nous que les limites droite et gauche peuvent exister alors que la limite normale n’existe pas. Et elles nous fournissent donc des outils supplémentaires utiles pour décrire une fonction, par exemple lorsqu’on considère une fonction définie par morceaux avec une discontinuité.

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