Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le coefficient directeur pour déterminer si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires. Et puis, nous verrons comment nous pouvons utiliser ces relations géométriques pour résoudre des problèmes.
Le coefficient directeur d’une droite est une caractéristique très importante d’une droite, et il décrit à quel point une ligne est pentue. Le coefficient directeur d’une droite peut être calculé à partir de deux points distincts sur une droite. En général, nous pouvons dire que s’il y a deux points sur une ligne droite avec les coordonnées 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro et 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, alors nous pouvons calculer le coefficient directeur, souvent désigné par la lettre 𝑚, comme 𝑦 indice un moins 𝑦 indice zéro sur 𝑥 indice un moins 𝑥 indice zéro. Pour trouver le coefficient directeur, nous divisons le déplacement vertical, c’est-à-dire le changement en 𝑦, par le déplacement horizontal, ou le changement en 𝑥. Pour récapituler comment cela fonctionne dans la pratique, disons que nous avons les deux coordonnées quatre, six et 12,10. Nous pouvons définir quatre, six pour avoir les valeurs 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro, même si cela n’aurait pas d’importance si nous les définissons avec les valeurs 𝑥 indice un, 𝑦 indice un.
En les remplaçant dans la formule du coefficient directeur, nous aurions que 𝑚 est égal à 10 moins six sur 12 moins quatre. Cela simplifierait à quatre sur huit, ce qui à son tour se simplifie à un demi. Le coefficient directeur de cette droite est un demi. Nous pensons souvent à ce calcul en termes algébriques, mais examinons de plus près la géométrie impliquée. Lorsque nous trouvons le coefficient directeur d’une droite, nous créons un triangle rectangle. Les longueurs des deux côtés les plus courts sont les déplacements horizontaux et verticaux. Ainsi, lorsque nous pensons au coefficient directeur en fonction de triangles rectangles, nous pouvons alors utiliser les résultats que nous connaissons de la trigonométrie pour comprendre d’autres propriétés de la droite.
Une propriété qui nous intéresse souvent est l’angle aigu que fait la droite avec l’axe horizontal, que nous pouvons nommer 𝛼. La chose importante à noter ici est que l’angle 𝛼 entre la droite 𝐴𝐵 et cette droite horizontale sera le même que l’angle 𝛼 entre la droite 𝐴𝐵 et l’axe horizontal car ces deux droites horizontales sont parallèles. On peut donc trouver l’angle entre la droite et l’axe horizontal en trouvant l’angle 𝛼. Et comme déjà mentionné, nous pouvons le faire en utilisant la trigonométrie. Dans ce problème, nous avons l’angle 𝛼, nous avons le côté opposé à l’angle et nous avons le côté adjacent à l’angle.
On peut donc utiliser le fait que la tangente est le rapport du côté opposé et du côté adjacent dans un triangle rectangle. Et donc nous avons que la tangente de 𝛼 est égale à 𝑦 indice un moins 𝑦 indice zéro sur 𝑥 indice un moins 𝑥 indice zéro. En d’autres termes, la tangente de l’angle 𝛼 est simplement égale à 𝑚, où 𝑚 est le coefficient directeur de la droite. Rappelez-vous donc que nous avons calculé le coefficient directeur de cette droite modèle qui était un demi. Si nous voulions alors calculer l’angle 𝛼, nous savons que tangente de 𝛼 est égal à un demi. Par conséquent, 𝛼 est égal à l’arctangente de un demi. En degrés, cela correspond à environ 26,57 degrés arrondie au centièmes près. Nous pouvons également utiliser cette approche pour trouver l’angle entre une droite et l’axe horizontal lorsque l’angle n’est pas aigu.
Nous savons qu’il est possible que le coefficient directeur d’une droite soit négatif, ce qui se produit lorsque 𝑦 indice un moins 𝑦 indice zéro et 𝑥 indice un moins 𝑥 indice zéro sont de signes opposés. Dans ce cas, la droite ira vers le bas de gauche à droite. Et puis l’angle positif, qui est l’angle mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre, entre la direction positive de l’axe des 𝑥 et la droite est alors obtus. Comme on peut le constater, en utilisant une calculatrice, la tangente d’un angle obtus est négative. Et donc la relation que nous avons trouvée entre le coefficient directeur d’une droite et la tangente de l’angle positif que le droit fait avec la direction positive de l’axe des 𝑥 est également valable pour les angles obtus.
Nous pouvons maintenant prendre une note plus formelle de ce que nous avons appris. Premièrement, nous savons que le coefficient directeur 𝑚 entre deux coordonnées 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro et 𝑥 indice un, 𝑦 indice un est donné par 𝑚 est égal à 𝑦 indice un moins 𝑦 indice zéro sur 𝑥 indice un moins 𝑥 indice zéro. De plus, le coefficient directeur est égal à la tangente de l’angle positif formé entre la droite et la direction positive de l’axe des 𝑥 tel que 𝑚 est égal à tangente de 𝛼. L’angle 𝛼 est mesuré à partir de l’axe des 𝑥 positif jusqu’à la droite dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Un angle aigu a une tangente positive, alors qu’un angle obtus a une tangente négative. Et une dernière note que puisque la tangente d’un angle de 90 degrés n’est pas définie, on dit que les droites verticales ont un coefficient directeur indéfini.
Nous allons maintenant examiner un exemple où nous trouvons le coefficient directeur d’une droite étant donné l’angle qu’elle fait avec l’axe horizontal.
Trouvez, au centièmes près, le coefficient directeur de la droite qui fait un angle positif de 60 degrés avec la direction positive de l’axe des 𝑥.
Nous pouvons commencer ce problème en visualisant une droite qui fait un angle de 60 degrés avec la direction positive de l’axe des 𝑥. Pour répondre à ce problème, il faudra aussi rappeler que le coefficient directeur d’une droite 𝑚 est égal à la tangente de l’angle positif entre la droite et la direction positive de l’axe des 𝑥. Dans cette question, cet angle serait de 60 degrés. Nous aurions donc que 𝑚 est égal à tangente de 60 degrés. Tangente de 60 est égal à racine trois, mais en nombre décimal ce serait 1,732 et ainsi de suite. Arrondi au centièmes près, on peut dire que la pente de la droite est de 1,73.
Nous allons maintenant examiner des droites parallèles et perpendiculaires. Considérons le fait que deux droites se rencontrent en un point à moins qu’elles ne soient parallèles ou confondues. Les droites confondues seront exactement les unes sur les autres. On sait que deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Et d’après ce que nous venons de voir dans cette vidéo, nous pouvons maintenant ajouter que les droites sont parallèles si elles font le même angle avec la direction positive de l’axe des 𝑥. Si les droites ont un coefficient directeur de zéro, alors elles sont parallèles à l’axe des 𝑥 et parallèles les unes aux autres même si elles ne croisent pas l’axe des 𝑥. Deux droites sont parallèles mais non confondues lorsqu’elles ont le même coefficient directeur mais pas le même point d’intersection avec l’axe des 𝑦, comme le montre ce diagramme.
Rappelons que les droites perpendiculaires se coupent en un point et font un angle de 90 degrés entre elles. Nous allons maintenant voir ce que cela signifie pour les coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires. Prenons ces deux droites, qui ont des coefficients directeurs de 𝑚 indice un et 𝑚 indice deux. Ils font des angles de 𝛼 et 𝛽, respectivement, avec la direction positive de l’axe des 𝑥.
Une des choses que nous pouvons dire est que puisque les droites sont perpendiculaires, alors 𝛽 est égal à 𝛼 plus 90 degrés. Une propriété de la fonction tangente est que tangente de 𝛼 est égal à moins un sur tangente 𝛼 plus 90 degrés. Ensuite, en combinant ces deux équations, nous avons que tangente de 𝛼 est égale à moins un sur tangente de 𝛽. Et puis, puisque nous savons que 𝑚 indice un est égal à tangente de 𝛼 et 𝑚 indice deux est égal à tangente de 𝛽, nous avons que 𝑚 indice un est égal à moins un sur 𝑚 indice deux. Alternativement, cela peut être écrit comme 𝑚 indice un, 𝑚 indice deux est égal à moins un.
Vous vous demandez peut-être pourquoi c’est important, mais ce que nous avons vraiment démontré ici, c’est que le produit des coefficients directeurs perpendiculaires est moins un. C’est une propriété très importante des droites perpendiculaires, mais notez que si une droite est horizontale, le coefficient directeur est zéro. Par exemple, si 𝑚 indice deux est égal à zéro, alors pour trouver 𝑚 indice un, nous serions tentés de diviser par zéro. Cela nous donnerait une valeur indéfinie, mais bien sûr le coefficient directeur d’une droite verticale n’est pas définie. Cela a du sens car nous savons qu’une droite verticale est perpendiculaire à une droite horizontale. Mais nous ne pouvons pas automatiquement utiliser ce fait algébrique que 𝑚 indice un fois 𝑚 indice deux est égal à moins un avec des droites horizontales et verticales.
Nous pouvons maintenant faire un bref résumé des conditions pour les droites parallèles et perpendiculaires. Nous pouvons identifier les droites parallèles comme ayant le même coefficient directeur et différents points d’intersection avec l’axe des 𝑦. Alors, les droites identiques ont le même coefficient directeur et le même point d’intersection avec l’axe des 𝑦. Et puis, lorsque le produit des coefficients directeurs est égal à moins un, alors les deux droites sont perpendiculaires. Et comme indiqué précédemment, si le coefficient directeur de la droite est zéro, alors la droite est horizontale. Toute droite perpendiculaire à celle-ci n’aurait pas de coefficient directeur défini.
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment trouver le coefficient directeur d’une droite étant donné le coefficient directeur d’une droite perpendiculaire.
Si la droite 𝐴𝐵 est perpendiculaire à la droite 𝐶𝐷 et que le coefficient directeur de la droite 𝐴𝐵 est égal aux deux cinquièmes, trouvez le coefficient directeur de la droite 𝐶𝐷.
Ici, on nous dit que nous avons deux droites perpendiculaires 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷. Sachant que deux droites sont perpendiculaires signifie que nous savons quelque chose sur la relation entre leurs coefficients directeurs. Si nous définissons la droite 𝐴𝐵 ayant comme coefficient directeur 𝑚 indice un et la droite 𝐶𝐷 ayant pour coefficient directeur 𝑚 indice deux, alors nous savons que 𝑚 indice deux est égal à moins un sur 𝑚 indice un. Étant donné que le coefficient directeur 𝑚 indice un de la droite 𝐴𝐵 est de deux cinquièmes, alors 𝑚 indice deux est égal à moins un sur deux cinquièmes. Cela se simplifie en moins cinq sur deux. Comme ces deux droites sont perpendiculaires, leurs coefficients directeurs seront l’inverse négatif l’un de l’autre. Et donc le coefficient directeur de la droite est moins cinq sur deux.
Dans l’exemple suivant, nous identifierons la relation entre deux droites.
Soit 𝐿 la droite passant par les points moins sept, moins sept et moins neuf, six et 𝑀 la droite passant par un, un et 14, trois. Laquelle des affirmations suivantes est vraie à propos des droites 𝐿 et 𝑀 ? Option (A) elles sont parallèles, option (B) elles sont perpendiculaires, ou option (C) elles se coupent mais pas perpendiculairement.
Il serait intéressant de commencer cette question par un croquis rapide des deux droites passant par les deux ensembles de points. Lorsque nous le faisons, nous pouvons observer que les deux droites se coupent en fait. On peut donc dire que ces deux droites ne sont pas parallèles, on peut donc éliminer l’option (A). Maintenant, nous pouvons nous rappeler que deux lignes sont perpendiculaires si elles se coupent ou se rencontrent à un angle droit. D’après le diagramme, il apparaît que les deux droites forment un angle droit. Mais il se peut que les deux droites soient presque perpendiculaires et il n’est pas possible de distinguer cela du diagramme. Généralement, ce n’est pas une très bonne idée d’utiliser simplement un croquis pour déterminer si les droites sont parallèles ou perpendiculaires. En fait, nous devrions effectuer une sorte de calcul.
On peut rappeler que si deux droites ont des pentes de 𝑚 indice un et 𝑚 indice deux, alors elles sont perpendiculaires si 𝑚 indice deux est égal à moins un sur 𝑚 indice un. Nous devrons d’abord calculer les coefficients directeurs de chacune des droites 𝐿 et 𝑀. Le coefficient directeur de la droite passant par deux points de coordonnées 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro et 𝑥 indice un, 𝑦 indice un est calculée comme le coefficient directeur 𝑚 est égale à 𝑦 indice un moins 𝑦 indice zéro sur 𝑥 indice un moins 𝑥 indice zéro. Pour la droite 𝐿 alors, son coefficient directeur 𝑚 indice un est égale à six moins moins sept sur moins neuf moins moins sept, ce qui se simplifie en moins 13 sur deux.
Maintenant, trouvons le coefficient directeur de la droite 𝑀. Son coefficient directeur 𝑚 indice deux sera calculé comme trois moins un sur 14 moins un, ce qui est égal à deux sur 13. Maintenant, nous pouvons vérifier si 𝑚 indice deux est égal à moins un sur 𝑚 indice un. Si nous ne connaissions pas la valeur de 𝑚 indice deux, nous pourrions trouver une droite perpendiculaire à la droite 𝐿 en prenant 𝑚 indice deux et en la fixant à moins un sur moins 13 sur deux. Et cela nous donnerait en effet une valeur de deux treizièmes pour 𝑚 indice deux. On peut donc répondre que l’énoncé qui est vrai sur les droites 𝐿 et 𝑀 est l’option (B). Elles sont perpendiculaires.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Le coefficient directeur 𝑚 d’une droite passant par 𝑥 indice zéro, 𝑦 indice zéro et 𝑥 indice un, 𝑦 indice un est donnée par 𝑚 est égal à 𝑦 indice un moins 𝑦 indice zéro sur 𝑥 indice un moins 𝑥 indice zéro. L’angle 𝛼 est mesuré à partir de l’axe horizontal, tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre jusqu’à rencontrer la droite. Soit 𝑚 le coefficient directeur d’une droite, les résultats suivants sont valables. Pour 𝑚 supérieur ou égal à zéro, l’angle entre cette droite et l’axe horizontal est exprimé comme 𝛼 est égal à l’arctangente de 𝑚. Pour 𝑚 inférieur à zéro, l’angle entre cette droite et l’axe horizontal est exprimé comme 180 degrés plus arctangente de 𝑚. Et pour les l=droites verticales, 𝛼 est égal à 90 degrés.
Nous avons également vu que si nous prenons deux droites avec des coefficients directeurs 𝑚 indice un et 𝑚 indice deux et des points d’intersection avec l’axe des 𝑦 𝑐 un et 𝑐 deux, alors si 𝑚 indice un est égal à 𝑚 indice deux et 𝑐 un n’est pas égal à 𝑐 deux, alors les deux droites sont distinctes et parallèles. Cela signifie que les droites ne se rencontrent jamais et qu’elles font le même angle avec l’axe horizontal. Mais si 𝑚 indice un est égal à 𝑚 indice deux et 𝑐 un est égal à 𝑐 deux, alors les droites sont confondues ou identiques. Mais si 𝑚 indice un fois 𝑚 indice deux est égal à moins un, alors les deux droites sont perpendiculaires.
